Funktion gegen unendlich < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Das ist mir leider (auch durch die Beiträge im Forum) immernoch nicht klar geworden, was das heißt, wenn man eine Funktion gegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bzw. {infty} "laufen" lässt...
Vor allem, was heißt dann -{infty} ?
Kann mir das vielleicht jemand an folgendem Bsp. erklären:
f(x)= 2*[x - [mm] \bruch{1}{2}*ln(x)] [/mm] ?
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Abend!
Also, zuerst: {infty} is eigentlich "infinity" und heisst unendlich. D.h. du lässt (in deinem Beispiel) n gegen unendlich (oder einfach gesagt was verdammt grosses) laufen und schaust was deine Funktion machen würde.
Und wenn man eine Funktion gegen unendlich laufen lässt, dann is das ne Grenzwertbetrachtung.
zum Beispiel für deine Funktion f(x) = 2(x-1/2*ln(x)) wäre eine Grenzwertbetrachtung folgende:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 2*(unendlich - 1/2*ln(unendlich))=2*(unendlich - 1/2*unendlich)= 2*(1/2 unendlich) = unendlich
ln(unendlich) ~ unendlich
Das grösste Problem bei sowas is, abzuschätzen welche diener Teilfunktionen stärker ansteigt..... Die hat dann sozusagen Überhand!
Mfg Chrissy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Danke, jetzt habe ich es begriffen... :)
Allerdings verstehe ich nicht so ganz, was du mit dem Abschätzen meinst, welche der Teilfunktionen stärker ansteigt...Es ist ja klar, dass jede Funktion einen anderen Anstieg hat, aber so wie man hier vorgeht ist dieses Abschätzen dann überhaupt nötig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 So 12.03.2006 | | Autor: | NewtonsLaw |
Nochmal Abend!
Also, abschätzen geht folgendermasen:
f1(x) = x²+x
f2(x) = x²-x
f3(x) = -x²+x
So..... Grenzwertbetrachtung der 3 Funktionen gibt:
für f1(x) = unendlich (weil [mm] unendlich^2 [/mm] + unendlich eben unendlich is)
für f2(x) = ebenfalls unendlich, weil x² nun mal stärker anstiegt als x...
für f3(x) = -unendlich, weil (wie bei f2) x² nun mal stärker ansteigt...... (da bringt auch das +x nix mehr!)
so, kapiert? Wenn net, frag nochmal!!
Chrissy
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Hallo und guten Morgen,
ich moechte mich Nachtwaechter dahingehend anschliessen,
vor einem allzu schwammigen und leichtfertigen Gebrauch der
Aufrechnung verschiedener [mm] ''\infty [/mm] ''s zu warnen, das kann auch schief gehen.
Mit [mm] \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty
[/mm]
meint man folgendes und nichts anderes:
Fuer jede beliebige Zahl [mm] U\in\IR [/mm] gibt es ein [mm] x_U\in\IR, [/mm] so dass fuer alle [mm] x\geq x_U [/mm] gilt: [mm] f(x)\geq [/mm] U.
Das muss man also zeigen.
Beii Deiner Funktion
[mm] f(x)=2x-\ln [/mm] (x) ist es sicher hilfreich, sauber folgendermassen vorzugehen:
Es gilt ja sicherlich [mm] \ln(x)\leq \frac{x}{2} [/mm] fuer [mm] x\geq [/mm] 1 (warum ?)
Dann ist aber doch
[mm] f(x)\geq [/mm] 2x-x =x,
und damit kannst Du in obiger Definition zu gegebenem [mm] U\in\IR [/mm] einfach [mm] x_U:=U [/mm] setzen
(rechne es einfach mal selber Schritt fuer Schritt nach).
Viele Gruesse,
Mathias
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> zum Beispiel für deine Funktion f(x) = 2(x-1/2*ln(x)) wäre
> eine Grenzwertbetrachtung folgende:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = 2*(unendlich -
> 1/2*ln(unendlich))=2*(unendlich - 1/2*unendlich)= 2*(1/2
> unendlich) = unendlich
Uns ist klar was Crissy gemeint hat, jedoch darf man so nie in der Schulaufgabe argumentieren, denn über [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] kann man nun mal keine Aussage treffen! Und wenn man schon [mm] \infty [/mm] oder unendlich in die Rechnung schreibt sollte man es in Anführungszeichen setzten.
Dies soll jetzt jedoch nicht Crissys tolle verständliche und dankenswerte Erklärung kritisieren!
Schönen Abend Euch noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Sa 22.04.2006 | | Autor: | NewtonsLaw |
Ha!!!
War leider net so oft hier unterwegs.... Aber jetzt hab ichs gesehn.... Also die Reaktionen!!!!
Ich wusste dass ich von einigen Mathematikern eins auf die Mütze bekomm für meine etwas "zu anschauliche" Unendlichkeitsabschätzung...
Andrerseits muss ich sagen dass ich mit mathematischen Definitionen leider recht wenig anfangen kann. Deswegen mach ich das meistens so wie ich in meiner obigen Antwort beschrieben hab....
Trotzdem danke für die Verbesserungsvorschläge!!!!! Werd ich mir zu Herzen nehmen!!!
Merci bien!
Salut!
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