Funktion maximieren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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> hallo liebes forum 
> Ich versuche diese funktion zu minimieren:
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> die nebenbedingungen sind:
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> Wir sollen das mit "schlupfvariablen machen,
> allerdings haben wir sowas noch nie gemacht. Der prof
> dachte wohl, wir kennen das
also nicht zeichnerisch?
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> Soweit hab ich mir das wissen über schlupfvariablen selber
> angeeignet:
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> dass ich anstatt z.b. es so schreibe:
>
> usw.
genau
>
> aber wie hilft mir das weiter? :(
Das lässt sich mittels Simplextableaus lösen.
f(x,y)=-x-y
[mm]x+2y+1s_1+0s_2+0s_3=11[/mm]
[mm]2x+y+0s_1+1s_2+0s_3=16[/mm]
[mm]-x+y+0s_1+0s_2+1s_3=4[/mm]
Jetzt kannst du auch alternativ alle [mm] $\binom{5}{3}$ [/mm] Ecken bestimmen und prüfen, ob sie zulässig sind, sowie welche den optimalen Fkt-wert besitzt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:40 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Lovella |
danke dass du geanwortet hast.
"Jetzt kannst du auch alternativ alle $ [mm] \binom{5}{3} [/mm] $ Ecken bestimmen und prüfen, ob sie zulässig sind, sowie welche den optimalen Fkt-wert besitzt."
was meinst du mit ecken? (ich mach sowas echt zum 1. mal, tut mir leid falls das ein problem ist :(
)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Di 24.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Di 24.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Wenn du die Schlupfvariablen "eingebaut" hast, dann hat du
[mm]Ax=\vektor{11\\
16\\
4}[/mm]
Deine Matrix A ist vom Format 3x5. Es gibt [mm] $\binom{5}{3}$ [/mm] Möglichkeiten Spalten auszuwählen. Hast du 3 Spalten von ausgewählt, dann hast du soetwas, wie
[mm] $\tilde{A}x=\vektor{11\\16\\4}$ [/mm]
Das kannst du mittels Gauß einfach lösen. [mm] ($\tilde{A}$ [/mm] muss invertierbar sein). Sind die Einträge in x nach dem lösen nichtnegativ, so hast du eine Ecke gefunden. Rechne den Funktionswert aus und bestimme das Maximum.
Falls jedoch vorausgesetzt werden kann, dass der Simplex verwendet wird, so solltest du dich doch da einlesen.
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Was mir vorhin nicht auffiel ist, dass die optimale Lösung (0,0) ist.
f(x,y) wird nur noch größer als 0, fall x oder y kleiner als Null werden, dass ist aber durch eine Nebenbedingung nicht erlaubt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 24.01.2012 | | Autor: | Lovella |
ohjöööö tut mir leid wieschoo, in meiner aufgabe heißt es "minimieren" statt "maximieren"... ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]") sorry.
aber ok, noch hat sich nix geändert, so sieht die matrix aus:
$ [mm] Ax=\vektor{11\\ 16\\ 4} [/mm] $ oder [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ }\cdot \vektor{x \\ y \\ s_1 \\ s_2 \\ s_3 }=\vektor{11 \\ 16 \\ 4 }
[/mm]
zitat: "Es gibt $ [mm] \binom{5}{3} [/mm] $ Möglichkeiten Spalten auszuwählen. Hast du 3 Spalten von ausgewählt, dann hast du soetwas, wie
$ [mm] \tilde{A}x=\vektor{11\\16\\4} [/mm] $
Das kannst du mittels Gauß einfach lösen. ($ [mm] \tilde{A} [/mm] $ muss invertierbar sein)"
das verstehe ich nicht ganz, heißt das, ich wähle einfach irgwelche 3 der 5 spalten aus, z.b. die drei ersten und dann habe ich so ewtas:
$ [mm] \tilde{A}x=\vektor{11\\16\\4} [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ }\cdot \vektor{x \\ y \\ s_1 \\ s_2 \\ s_3 }=\vektor{11 \\ 16 \\ 4 } [/mm] $
versteh ich dich so richtig?
gruß
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Moin,
Crashkurs Simplex.
Du versucht eine Funktion f zu minimieren unter der NB [mm]Ax\leq b[/mm]. Über Schlupfvariablen kommst du auf
min f u.d. NB. [mm]\tilde{A}x=b[/mm]
Bei dir eben
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
}\cdot \vektor{x \\
y \\
s_1 \\
s_2 \\
s_3 }=\vektor{11 \\
16 \\
4 } [/mm]
Du hast ein Polyeder mit [mm]\binom{5}{3}[/mm] Ecken. Das ist der Raum, in dem du dich bewegen darfst. Jetzt kannst du alle Ecken von diesem Raum bestimmen, da ein Optimum an einer Ecke angenommen wird.
Bezeichnen wir mit [mm]A_i[/mm] die i-te Spalte von A zu löst du nacheinander
[mm]\underbrace{\pmat{|&|&| \\
A_{i}&A_{j}&A_{k}\\
|&|&|}}_{A_b}\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{11\\
16\\
4}[/mm]
mit [mm]\{i,j,k\}\subset \{1,2,3,4,5\}[/mm] und [mm]i\neq j \neq k \neq i[/mm].
Das ist die einfache Methode die ganzen Ecken vom Polyeder abzuklappern. Die Matrix [mm] $A_b$ [/mm] sollte invertierbar sein und deine Lösung [mm] $(x_1,x_2,x_3)$ [/mm] eindeutig und [mm] $x_i\geq [/mm] 0$. Ansonsten ist die Ecke nicht zulässig und liegt außerhalb des interessanten Bereiches.
Das Simplex verfahren rattert nicht alle Ecken ab sondern garantiert in jedem Iterationsschritt nicht schlechter zu werden. Damit läufst du bildlich auf den Kanten vom Polyeder zielgerichtet auf das Optimum.
Falls du es mit dem Simplexverfahren lösen möchtest (wäre zu empfehlen), dann kannst du ja nach dieser Anleitung vorgehen:
http://www.fbmn.h-da.de/~ochs/pdf/mathe2/simplex09.pdf
Nur irgendwann sollte man sich auch Gedanken machen, warum etwas auch so funktioniert.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:23 Di 24.01.2012 | | Autor: | Lovella |
vielen vielen dank wieschoo!
nur eine klitzekleine frage: mache ich bei $ [mm] \underbrace{\pmat{|&|&| \\ A_{i}&A_{j}&A_{k}\\ |&|&|}}_{A_b}\vektor{x_1\\ x_2\\ x_3}=\vektor{11\\ 16\\ 4} [/mm] $
immer mal [mm] \vektor{x_1\\ x_2\\ x_3} [/mm] oder ist der vektor spaltenabhängig, z.b. falls spalten 1,4,5 jetzt invertierbar sind, mache ich dann $ [mm] \underbrace{\pmat{|&|&| \\ A_{1}&A_{4}&A_{5}\\ |&|&|}}_{A_b}\vektor{x_1\\ x_2\\ x_3}=\vektor{11\\ 16\\ 4} [/mm] $ oder
$ [mm] \underbrace{\pmat{|&|&| \\ A_{1}&A_{4}&A_{5}\\ |&|&|}}_{A_b}\vektor{x_1\\ s_2\\ s_3}=\vektor{11\\ 16\\ 4} [/mm] $
?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mi 25.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Mi 25.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
Du solltest dir wirklich mal das PDF durchlesen.
Das [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] ist die Lösung des LGS und i.a. sind die Ecken unterschiedlich, sofern keine überbestimmten Ecken vorliegen.
Probier mal das Tableau aufzustellen.
Da der Fälligkeitszeitpunkt deiner Fragen immer so extrem kurz ist, hat man kaum Zeit zu reagieren.
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