Funktion mit Betrag < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Di 04.02.2014 | | Autor: | wilmi |
| Aufgabe | | Ist die Funktion [mm] f(x,y)=\bruch{xy}{(|x|+|y|)} [/mm] bei [mm] (x,y)\not= [/mm] (0,0) und f(0,0)=0 f: [mm] R^2 [/mm] --> R stetig im Nullpunkt? |
Hallo, hier meine Frage:
Bei der Funktion weiß ich nicht so genau wie ich rangehen soll. Es gibt ja die Möglichkeit eine Nullfolge zu finden, für die gilt [mm] (x_k,y_k)--> [/mm] 0 und [mm] f(x_k,y_k) [/mm] geht nicht gegen 0. Dann wäre die Funktion nicht stetig im Nullpunkt. Allerdings mag mir hier keine geeignete Funktion einfallen, sodass ich vermute, dass die Funktion stetig ist.
Dann gibt es ja noch die Möglichkeit [mm] |\bruch{xy}{(|x|+|y|)}| [/mm] nach oben abzuschätzen und zu sehen, dass die Abschätzung bei (x,y)--> 0 auch gegen 0 geht. Ich weiß aber nicht genau wie ich den Betrag nach oben abschätzen kann. Meine Idee:
[mm] |\bruch{xy}{(|x|+|y|)}| \le |\bruch{xy}{(x+y)}| [/mm] (mit der Dreiecksungleichung). Ab hier weiß ich nicht so recht weiter. Hat jemand einen Tipp wie ich weiter machen kann oder ist meine erste Abschätzung schon unsinnig.
Freue mich über eure Hilfe
Beste Grüße wilmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Di 04.02.2014 | | Autor: | Opi |
Die Funktion ist stetig in O(0/0).
Plausibilität: der Zähler geht schneller gegen 0 als der Nenner (Produkt von 2 Nullfolgen).
Skizze zum Beweis: (kann den Formeleditor nicht)
(x,y) in Kreisscheibe um [mm] O:x^2+x^2< r^2 [/mm] führt zu Betrag(x) < Delta, ebenso
Betrag(y). Dann ist Dein Betrags-Term = 1/(1/Betrag(x)+1/Betrag(y))<Delta/2=Epsilon .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Funktion [mm]f(x,y)=\bruch{xy}{(|x|+|y|)}[/mm] bei
> [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0) und f(0,0)=0 f: [mm]R^2[/mm] --> R stetig im
> Nullpunkt?
>
> Hallo, hier meine Frage:
> Bei der Funktion weiß ich nicht so genau wie ich rangehen
> soll. Es gibt ja die Möglichkeit eine Nullfolge zu finden,
> für die gilt [mm](x_k,y_k)-->[/mm] 0 und [mm]f(x_k,y_k)[/mm] geht nicht
> gegen 0. Dann wäre die Funktion nicht stetig im Nullpunkt.
> Allerdings mag mir hier keine geeignete Funktion einfallen,
> sodass ich vermute, dass die Funktion stetig ist.
> Dann gibt es ja noch die Möglichkeit
> [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}|[/mm] nach oben abzuschätzen und zu
> sehen, dass die Abschätzung bei (x,y)--> 0 auch gegen 0
> geht. Ich weiß aber nicht genau wie ich den Betrag nach
> oben abschätzen kann. Meine Idee:
> [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}| \le |\bruch{xy}{(x+y)}|[/mm] (mit der
> Dreiecksungleichung). Ab hier weiß ich nicht so recht
> weiter. Hat jemand einen Tipp wie ich weiter machen kann
> oder ist meine erste Abschätzung schon unsinnig.
>
> Freue mich über eure Hilfe
>
> Beste Grüße wilmi
Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist [mm] \bruch{|xy|}{(|x|+|y|)} \le \bruch{|xy|}{|x|}=|y|.
[/mm]
Im Nachhinein sieht man, dass die Ungleichung
[mm] \bruch{|xy|}{(|x|+|y|)} \le [/mm] |y|
Für alle (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) richtig ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Di 04.02.2014 | | Autor: | wilmi |
Hallo Fred, danke für deine Antwort,
und die Gleichung $ [mm] \bruch{|xy|}{(|x|+|y|)} \le [/mm] $ |y| betrachte ich dann für (x,y)--> (0;0)?
Hätte ich nicht genau so gut folgende gleichung für y [mm] \not= [/mm] 0 betrachten können?
$ [mm] \bruch{|xy|}{(|x|+|y|)} \le [/mm] $ |x| ?
Woher weiß ich, ob ich nach |x| oder |y| abschätzen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, danke für deine Antwort,
> und die Gleichung [mm]\bruch{|xy|}{(|x|+|y|)} \le[/mm] |y|
> betrachte ich dann für (x,y)--> (0;0)?
> Hätte ich nicht genau so gut folgende gleichung für y
> [mm]\not=[/mm] 0 betrachten können?
>
> [mm]\bruch{|xy|}{(|x|+|y|)} \le[/mm] |x| ?
Ja
>
> Woher weiß ich, ob ich nach |x| oder |y| abschätzen muss?
Bei obiger Funktion ist das so egal, wie wenn in China ein Sack Reis umfällt....
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Di 04.02.2014 | | Autor: | wilmi |
Hallo Fred,
ok danke.
Lg wilmi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Di 04.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Ist die Funktion [mm]f(x,y)=\bruch{xy}{(|x|+|y|)}[/mm] bei
> [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0) und f(0,0)=0 f: [mm]R^2[/mm] --> R stetig im
> Nullpunkt?
>
> Hallo, hier meine Frage:
> Bei der Funktion weiß ich nicht so genau wie ich rangehen
> soll. Es gibt ja die Möglichkeit eine Nullfolge zu finden,
> für die gilt [mm](x_k,y_k)-->[/mm] 0 und [mm]f(x_k,y_k)[/mm] geht nicht
> gegen 0. Dann wäre die Funktion nicht stetig im Nullpunkt.
> Allerdings mag mir hier keine geeignete Funktion einfallen,
> sodass ich vermute, dass die Funktion stetig ist.
> Dann gibt es ja noch die Möglichkeit
> [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}|[/mm] nach oben abzuschätzen und zu
> sehen, dass die Abschätzung bei (x,y)--> 0 auch gegen 0
> geht. Ich weiß aber nicht genau wie ich den Betrag nach
> oben abschätzen kann. Meine Idee:
> [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}| \le |\bruch{xy}{(x+y)}|[/mm] (mit der
> Dreiecksungleichung). Ab hier weiß ich nicht so recht
> weiter. Hat jemand einen Tipp wie ich weiter machen kann
> oder ist meine erste Abschätzung schon unsinnig.
>
> Freue mich über eure Hilfe
>
> Beste Grüße wilmi
Hallo,
verwende doch Polarkoordinaten.
Dann gilt [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}| =|\bruch{r*sin(\phi)*r*cos(\phi)}{(r+r)}|=|\bruch{r*sin(\phi)*cos(\phi)}{2}|[/mm].
Jetzt lasse r gegen Null gegen...
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Di 04.02.2014 | | Autor: | wilmi |
Hallo Abakus,
danke für den Tipp :)
Gruß wilmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Ist die Funktion [mm]f(x,y)=\bruch{xy}{(|x|+|y|)}[/mm] bei
> > [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0) und f(0,0)=0 f: [mm]R^2[/mm] --> R stetig im
> > Nullpunkt?
> >
> > Hallo, hier meine Frage:
> > Bei der Funktion weiß ich nicht so genau wie ich
> rangehen
> > soll. Es gibt ja die Möglichkeit eine Nullfolge zu
> finden,
> > für die gilt [mm](x_k,y_k)-->[/mm] 0 und [mm]f(x_k,y_k)[/mm] geht nicht
> > gegen 0. Dann wäre die Funktion nicht stetig im
> Nullpunkt.
> > Allerdings mag mir hier keine geeignete Funktion
> einfallen,
> > sodass ich vermute, dass die Funktion stetig ist.
> > Dann gibt es ja noch die Möglichkeit
> > [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}|[/mm] nach oben abzuschätzen und zu
> > sehen, dass die Abschätzung bei (x,y)--> 0 auch gegen
> 0
> > geht. Ich weiß aber nicht genau wie ich den Betrag
> nach
> > oben abschätzen kann. Meine Idee:
> > [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}| \le |\bruch{xy}{(x+y)}|[/mm] (mit
> der
> > Dreiecksungleichung). Ab hier weiß ich nicht so recht
> > weiter. Hat jemand einen Tipp wie ich weiter machen
> kann
> > oder ist meine erste Abschätzung schon unsinnig.
> >
> > Freue mich über eure Hilfe
> >
> > Beste Grüße wilmi
> Hallo,
> verwende doch Polarkoordinaten.
> Dann gilt [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}| =|\bruch{r*sin(\phi)*r*cos(\phi)}{(r+r)}|=|\bruch{r*sin(\phi)*cos(\phi)}{2}|[/mm].
>
> Jetzt lasse r gegen Null gegen...
> Gruß Abakus
>
Hallo abakus,
Polarkoordinaten ist eine gute Idee.
Aber seit wann ist [mm] |r*sin(\phi)|=r [/mm] und [mm] |r*cos(\phi)|=r [/mm] ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 04.02.2014 | | Autor: | abakus |
> > > Ist die Funktion [mm]f(x,y)=\bruch{xy}{(|x|+|y|)}[/mm] bei
> > > [mm](x,y)\not=[/mm] (0,0) und f(0,0)=0 f: [mm]R^2[/mm] --> R stetig im
> > > Nullpunkt?
> > >
> > > Hallo, hier meine Frage:
> > > Bei der Funktion weiß ich nicht so genau wie ich
> > rangehen
> > > soll. Es gibt ja die Möglichkeit eine Nullfolge zu
> > finden,
> > > für die gilt [mm](x_k,y_k)-->[/mm] 0 und [mm]f(x_k,y_k)[/mm] geht
> nicht
> > > gegen 0. Dann wäre die Funktion nicht stetig im
> > Nullpunkt.
> > > Allerdings mag mir hier keine geeignete Funktion
> > einfallen,
> > > sodass ich vermute, dass die Funktion stetig ist.
> > > Dann gibt es ja noch die Möglichkeit
> > > [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}|[/mm] nach oben abzuschätzen und
> zu
> > > sehen, dass die Abschätzung bei (x,y)--> 0 auch
> gegen
> > 0
> > > geht. Ich weiß aber nicht genau wie ich den Betrag
> > nach
> > > oben abschätzen kann. Meine Idee:
> > > [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}| \le |\bruch{xy}{(x+y)}|[/mm] (mit
> > der
> > > Dreiecksungleichung). Ab hier weiß ich nicht so
> recht
> > > weiter. Hat jemand einen Tipp wie ich weiter machen
> > kann
> > > oder ist meine erste Abschätzung schon unsinnig.
> > >
> > > Freue mich über eure Hilfe
> > >
> > > Beste Grüße wilmi
> > Hallo,
> > verwende doch Polarkoordinaten.
> > Dann gilt [mm]|\bruch{xy}{(|x|+|y|)}| =|\bruch{r*sin(\phi)*r*cos(\phi)}{(r+r)}|=|\bruch{r*sin(\phi)*cos(\phi)}{2}|[/mm].
>
> >
> > Jetzt lasse r gegen Null gegen...
> > Gruß Abakus
> >
>
>
> Hallo abakus,
>
> Polarkoordinaten ist eine gute Idee.
>
> Aber seit wann ist [mm]|r*sin(\phi)|=r[/mm] und [mm]|r*cos(\phi)|=r[/mm] ?
>
> FRED
Autsch,
da ist mir im Nenner einiges durch die Lappen gegangen.
Danke für den aufmerksamen Blick.
Gruß Abakus
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