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Hallo Forum,
ich habe 170 Punkte in der x-y-Ebene (mit mehr Rechengenauigkeit wären auch mehr zu finden). Nun suche ich einen Funktionsgraphen, der durch diese Punkte verläuft.
Der prinzipielle Verlauf der Funktion kommt einem bekannt vor:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei liegt die Nullstelle bei x=1, das Maximum etwa bei x=5, für x>5 nähert sich die Funktion asymptotisch der x-Achse.
Nun ist eine solche Funktion z.B. typisch für gedämpfte harmonische Schwingungen kurz vor dem aperiodischen Grenzfall. Da spielt dann noch eine trigonometrische Funktion mit.
Oft aber genügt die Modellierung über eine Funktion der Form [mm] f(x)=a*e^{bx}+c*e^{dx}.
[/mm]
So hat z.B. der Graph oben die Funktionsgleichung [mm] f(x)=10e^{6-x}-2e^{2(6-x)}.
[/mm]
Die Frage ist nun, wie ich die vier Parameter a,b,c,d wenigstens numerisch bestimmen kann. Es will mir trotz der bekannten Nullstelle - die die Rechnung ja schonmal vereinfacht - nicht gelingen, einen Weg zu finden, die Parameter zu ermitteln. Natürlich kann man probieren, aber das ist wenig erfolgversprechend.
Funktionswerte tun im Moment wohl wenig zur Sache; mir geht es darum, einen Ansatz zu finden.
Hat jemand eine Idee zu obigem Ansatz? Ich bin da seit einiger Zeit ratlos.
Oder kennt jemand andere Funktionstypen, die einen solchen Funktionsverlauf haben?
Nachtrag: Da über den Verlauf für x<1 nichts bekannt ist, gibt es natürlich auch gebrochen rationale Funktionen, die Nullstelle, Maximum und asymptotischen Verlauf wiedergeben. Da habe ich aber noch nicht geschafft, meine Werte unterzubringen.
Herzliche Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Mo 13.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Ich würde die Daten in Gnuplot einlesen und dann mal schauen, was bei einem Fit an eine der Funktionen herauskommt.
Für ich ist nun Schluss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Mo 13.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
wenn ich mir die (eher ungenauen) numerischen Ableitungen anschaue, frage ich mich, ob der Ansatz so stimmen kann.
Die erste Ableitung hat (offensichtlich) eine Nullstelle in der Nähe von x=5, aber auch ein Maximum bei x=3, ein Minimum bei x=8, und nähert sich dann für größere x der x-Achse asymptotisch von unten.
Die zweite Ableitung hat (wieder offensichtlich) eine Nullstelle bei x=3 (eher bei 2,5) und bei x=8, ein Minimum bei x=4, ein Maximum bei x=11, und nähert sich dann für größere x der x-Achse asymptotisch von oben.
Was für ein Funktionstyp kann das sein?
Nebenbei @chrisno: Gnuplot ist gut, um Daten und eine Modellfunktion gleichzeitig darzustellen; auch eine gewisse automatische Anpassung der Modellfunktion ist ja möglich, aber nicht mit so vielen Parametern.
Erst einmal muss man schon den Funktionstyp haben, und der fehlt mir halt noch.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Di 14.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
Diophant bringt mich gerade auf die Idee, dass eine Funktion des Typs [mm] f(x)=P(x)*e^{-tx} [/mm] womöglich Funktionsverlauf und Ableitungen erklären könnte, wobei P(x) natürlich ein Polynom in x ist.
Ich schau mir das mal an, wahrscheinlich aber erst heute Abend. Bis dahin habe ich nur Zeit für kürzere Unterfangen...
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
also für mich sieht das aus wie der aperiodische Grenzfall einer gedämpften Schwingung, von daher müsste
[mm] f(x)=a*(x-b)*e^{-cx}
[/mm]
ggf. noch in x-Richtung verschoben der Sache eigentlich doch ziemlich nahe kommen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Di 14.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Diophant,
> also für mich sieht das aus wie der aperiodische Grenzfall
> einer gedämpften Schwingung, von daher müsste
>
> [mm]f(x)=a*(x-b)*e^{-cx}[/mm]
>
> ggf. noch in x-Richtung verschoben der Sache eigentlich
> doch ziemlich nahe kommen.
Das dachte ich auch, aber es erklärt nicht die Ableitungen, siehe meine Mitteilung oben. Danke aber für die Erinnerung an den Aufbau der Funktion.
Eine Verschiebung in x-Richtung ist übrigens nicht nötig, eine Funktion dieser Form nähert sich ja wie gefordert für [mm] x\to\infty [/mm] der x-Achse asymptotisch von oben.
Herzliche Grüße
reverend
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> Hallo Forum,
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> ich habe 170 Punkte in der x-y-Ebene (mit mehr
> Rechengenauigkeit wären auch mehr zu finden). Nun suche
> ich einen Funktionsgraphen, der durch diese Punkte
> verläuft.
>
> Der prinzipielle Verlauf der Funktion kommt einem bekannt
> vor:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Dabei liegt die Nullstelle bei x=1, das Maximum etwa bei
> x=5, für x>5 nähert sich die Funktion asymptotisch der
> x-Achse.
>
> Nun ist eine solche Funktion z.B. typisch für gedämpfte
> harmonische Schwingungen kurz vor dem aperiodischen
> Grenzfall. Da spielt dann noch eine trigonometrische
> Funktion mit.
>
> Oft aber genügt die Modellierung über eine Funktion der
> Form [mm]f(x)=a*e^{bx}+c*e^{dx}.[/mm]
>
> So hat z.B. der Graph oben die Funktionsgleichung
> [mm]f(x)=10e^{6-x}-2e^{2(6-x)}.[/mm]
>
> Die Frage ist nun, wie ich die vier Parameter a,b,c,d
> wenigstens numerisch bestimmen kann. Es will mir trotz der
> bekannten Nullstelle - die die Rechnung ja schonmal
> vereinfacht - nicht gelingen, einen Weg zu finden, die
> Parameter zu ermitteln. Natürlich kann man probieren, aber
> das ist wenig erfolgversprechend.
>
> Funktionswerte tun im Moment wohl wenig zur Sache; mir geht
> es darum, einen Ansatz zu finden.
>
> Hat jemand eine Idee zu obigem Ansatz? Ich bin da seit
> einiger Zeit ratlos.
>
> Oder kennt jemand andere Funktionstypen, die einen solchen
> Funktionsverlauf haben?
> Nachtrag: Da über den Verlauf für x<1 nichts bekannt ist,
> gibt es natürlich auch gebrochen rationale Funktionen, die
> Nullstelle, Maximum und asymptotischen Verlauf wiedergeben.
> Da habe ich aber noch nicht geschafft, meine Werte
> unterzubringen.
>
> Herzliche Grüße
> reverend
Hallo reverend,
Graphen mit (qualitativ, approximativ) diesem Verlauf
kann man natürlich auch unter den rationalen Funktionen
finden, schon mit einem so einfachen Ansatz wie etwa
$\ f(x)\ =\ [mm] \frac{a}{x}-\frac{b}{x^2}\ [/mm] =\ [mm] \frac{a*x-b}{x^2}$
[/mm]
Da ist es besonders einfach, etwa eine gewünschte
Nullstelle einzubauen.
Um zu entscheiden, ob nun eher ein solcher Ansatz oder
z.B. ein exponentieller besser geeignet ist, sollte man
insbesondere das erwünschte Verhalten für [mm] x\to\infty
[/mm]
betrachten ...
Vielleicht hast du ja aber noch andere Indizien, welche
für eine gewisse Form des Ansatzes sprechen würden.
Woher kommen denn die Daten ?
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 14.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
danke auch für diesen Hinweis. Diese ziemlich elementare Lösung habe ich völlig übersehen. Peinlich, peinlich...
> > Funktionswerte tun im Moment wohl wenig zur Sache; mir geht
> > es darum, einen Ansatz zu finden.
Ich poste die gleich mal als Excel-Tabelle. Dann lassen sie sich auch leichter nutzen bzw. exportieren etc.
> Hallo reverend,
>
> Graphen mit (qualitativ, approximativ) diesem Verlauf
> kann man natürlich auch unter den rationalen Funktionen
> finden, schon mit einem so einfachen Ansatz wie etwa
>
> [mm]\ f(x)\ =\ \frac{a}{x}-\frac{b}{x^2}\ =\ \frac{a*x-b}{x^2}[/mm]
>
> Da ist es besonders einfach, etwa eine gewünschte
> Nullstelle einzubauen.
>
> Um zu entscheiden, ob nun eher ein solcher Ansatz oder
> z.B. ein exponentieller besser geeignet ist, sollte man
> insbesondere das erwünschte Verhalten für [mm]x\to\infty[/mm]
> betrachten ...
>
> Vielleicht hast du ja aber noch andere Indizien, welche
> für eine gewisse Form des Ansatzes sprechen würden.
> Woher kommen denn die Daten ?
Sagen wir aus einer Approximation, an der ich gerade arbeite. An die eigentlich zu approximierenden Daten bin ich jetzt sehr nahe herangekommen, mit einer maximalen Abweichung von ca. 110 ppm. Trotzdem ist auch die Abweichung eben noch sehr schön darzustellen - die besagten 170 Punkte - und sieht sehr danach aus, als könne man sie mit einer hinreichend einfachen Funktion gut approximieren. Mir geht es dabei um eine möglichst perfekte Näherung, wenn nicht gar exakte Darstellung.
Es geht also nur um die Elimination des Fehlers der jetzigen Darstellung. Ich kann zeigen, dass keine Variation eines bisher vorkommenden Parameters die Funktion noch verbessert; der jetzige Fehler ist der mit dem bisherigen Ansatz offenbar minimale. Mit einer möglichst genauen Darstellung des Fehlers wäre dieser aber zu eliminieren - also etwa wie die Restgliedabschätzung einer Taylorreihe (um die es sich hier aber leider nicht handelt).
Die bisherige Modellierung der Gesamtfunktion besteht aus dem Produkt eines vor allem exponentiellen Faktors mit einem gebrochen rationalen.
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Di 14.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
im Anhang eine Excel-Tabelle mit den Daten.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Link zum 1. Dateianhang
Spalte A: x-Werte
Spalte B: bisher zitierte Werte
Spalte C: eigentlich zu modellierende Werte.
Der Zusammenhang von B und C ist in den Formeln abzulesen: [mm] c_x=1+\bruch{b_x}{10^6}
[/mm]
Vorschläge sind willkommen...
Ein guter Hinweis dürften die weiter oben angegebenen (numerisch ermittelten) Werte der Ableitungen sein.
Herzliche Grüße
reverend
PS: Mir reicht eine Idee. Die Arbeit als solche mache ich durchaus gern allein. 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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> Excel-Tabelle mit den Daten:
>
> Link zum 1. Dateianhang
>
> Spalte A: x-Werte
> Spalte B: bisher zitierte Werte
> Spalte C: eigentlich zu modellierende Werte.
Hallo reverend,
ich würde zuerst versuchen, den "Schwanz" der Kurve
(vielleicht so etwa ab x=100) durch eine möglichst einfache
Regressionskurve zu approximieren. Dabei sollte sich
wohl herausstellen, ob man z.B. mit einer Potenzfunktion
der Form [mm] a*x^k [/mm] oder mit einem Exponentialansatz $\ a*exp(-k*x)$
besser zum Ziel kommt.
Im zweiten Schritt dann die Frage, wie man diesen asymptotischen
Term durch Addition oder Multiplikation mit einem geeigneten
zweiten Term (der rasch gegen 0 bzw. gegen 1 konvergieren
soll) so modifiziert, dass es auch vorne passt.
Seien T(x) die Tabellenwerte und [mm] f_{as}(x) [/mm] die Werte der mittels
Regression bestimmten (provisorischen) asymptotischen Funktion.
Dann würde ich die Differenz $\ [mm] d(x):=T(x)-f_{as}(x)$ [/mm] und auch den
Quotienten $\ [mm] q(x):=\frac{T(x)}{f_{as}(x)}$ [/mm] tabellieren und grafisch darstellen.
Dann sieht man möglicherweise, auf welche (möglichst
einfache) Weise man entweder d(x) oder q(x) modellieren
könnte. Für eine verfeinerte Darstellung lohnt es sich dann
bestimmt, die (provisorischen) $\ [mm] f_{as}(x)$ [/mm] und $\ d(x)$
bzw. $\ q(x)$ nochmals mittels Parametern etwas zu
verallgemeinern und dann durch eine weitere Regressions-
rechnung die vorläufigen Parameterwerte noch zu verbessern.
Liebe Grüße
Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 21.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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