Funktion partiell/total diffb. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche $x = [mm] (x_{1},x_{2},x_{3})\in\IR^{3}$ [/mm] sind die Funktionen
$f(x) = [mm] |x_{1}*x_{2}|+|x_{3}|$
[/mm]
$g(x) = [mm] |x_{1}*x_{2}*x_{3}|^{1/3}$
[/mm]
partiell / total differenzierbar? |
Hallo!
Ich bin mir unsicher ob meiner Argumentation und wollte euch deswegen um einen kritischen Blick bitten  !
$f(x) = [mm] |x_{1}*x_{2}|+|x_{3}|$
[/mm]
Zunächst ist klar, dass f nach [mm] x_{3} [/mm] partiell differenzierbar ist, wenn [mm] (x_{1},x_{2},x_{3})\in\IR\times\IR\times\IR_{\not= 0} [/mm] beliebig (Betragsfunktion im Eindimensionalen). Als partielle Ableitung ergibt sich:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_{3}}(x) [/mm] = [mm] sgn(x_{3})$.
[/mm]
-------
Nun untersuche ich die partielle Diffbarkeit nach [mm] x_{1}.
[/mm]
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{1}+h,x_{2},x_{3}) - f(x_{1},x_{2},x_{3})}{h}$
[/mm]
$= [mm] \lim_{h\to 0}\frac{|(x_{1}+h)*x_{2}| + |x_{3}| - (|x_{1}*x_{2}|+|x_{3}|)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{|x_{2}|*(|x_{1}+h|-|x_{1}|)}{h}$
[/mm]
--> Es muss [mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR \times \IR$ [/mm] oder [mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\}\times \IR$ [/mm] sein, dann ist die partielle Ableitung:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}sgn(x_{1})*|x_{2}|, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR \times \IR\\ 0, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\}\times \IR\end{cases}$.
[/mm]
--> Es muss [mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR\times \IR_{\not= 0} \times \IR$ [/mm] oder [mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\}\times \IR$, [/mm] dann ist die partielle Ableitung
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}sgn(x_{2})*|x_{1}|, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR\times \IR_{\not= 0} \times \IR\\ 0, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\}\times \IR\end{cases}$.
[/mm]
-------
- Nun die Zusammenfassung: Alle partiellen Ableitungen existieren also, wenn [mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR_{\not= 0} \times \IR_{\not= 0}$ [/mm] oder [mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\} \times \IR_{\not= 0}$. [/mm] Stimmt das?
- [mm] \frac{\partial f}{\partial x_{3}} [/mm] ist stetig auf diesem obigen Bereich, ich würde auch sagen, dass [mm] \frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}} [/mm] stetig sind. Damit würde folgen, dass f dort überall auch total differenzierbar ist. Stimmt das?
---------------------
$g(x) = [mm] |x_{1}*x_{2}*x_{3}|^{1/3}$
[/mm]
Hierzu dachte ich, ich überprüfe erst, wo [mm] |x_{1}*x_{2}*x_{3}| [/mm] partiell differenzierbar ist. Weil [mm] x^{1/3} [/mm] überall auf dem Definitionsbereich außer in 0 "(total)" differenzierbar ist, müsste dann folgen, dass g(x) als Komposition zweier partiell differenzierbarer Funktionen dort auch partiell differenzierbar ist.
Stimmt das?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Für welche [mm]x = (x_{1},x_{2},x_{3})\in\IR^{3}[/mm] sind die
> Funktionen
> [mm]f(x) = |x_{1}*x_{2}|+|x_{3}|[/mm]
> [mm]g(x) = |x_{1}*x_{2}*x_{3}|^{1/3}[/mm]
>
> partiell / total differenzierbar?
> Hallo!
>
> Ich bin mir unsicher ob meiner Argumentation und wollte
> euch deswegen um einen kritischen Blick bitten !
>
> [mm]f(x) = |x_{1}*x_{2}|+|x_{3}|[/mm]
>
> Zunächst ist klar, dass f nach [mm]x_{3}[/mm] partiell
> differenzierbar ist, wenn
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in\IR\times\IR\times\IR_{\not= 0}[/mm]
> beliebig (Betragsfunktion im Eindimensionalen). Als
> partielle Ableitung ergibt sich:
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_{3}}(x) = sgn(x_{3})[/mm].
>
> -------
>
> Nun untersuche ich die partielle Diffbarkeit nach [mm]x_{1}.[/mm]
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{1}+h,x_{2},x_{3}) - f(x_{1},x_{2},x_{3})}{h}[/mm]
>
> [mm]= \lim_{h\to 0}\frac{|(x_{1}+h)*x_{2}| + |x_{3}| - (|x_{1}*x_{2}|+|x_{3}|)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{|x_{2}|*(|x_{1}+h|-|x_{1}|)}{h}[/mm]
>
> --> Es muss [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR \times \IR[/mm]
> oder [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\}\times \IR[/mm]
> sein, dann ist die partielle Ableitung:
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x) = \begin{cases}sgn(x_{1})*|x_{2}|, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR \times \IR\\ 0, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\}\times \IR\end{cases}[/mm].
>
> --> Es muss [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR\times \IR_{\not= 0} \times \IR[/mm]
> oder [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\}\times \IR[/mm],
> dann ist die partielle Ableitung
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(x) = \begin{cases}sgn(x_{2})*|x_{1}|, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR\times \IR_{\not= 0} \times \IR\\ 0, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\}\times \IR\end{cases}[/mm].
>
> -------
>
> - Nun die Zusammenfassung: Alle partiellen Ableitungen
> existieren also, wenn [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR_{\not= 0} \times \IR_{\not= 0}[/mm]
> oder [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\} \times \IR_{\not= 0}[/mm].
> Stimmt das?
Ja.
>
> - [mm]\frac{\partial f}{\partial x_{3}}[/mm] ist stetig auf diesem
> obigen Bereich, ich würde auch sagen, dass [mm]\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}[/mm]
> stetig sind. Damit würde folgen, dass f dort überall auch
> total differenzierbar ist. Stimmt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ---------------------
>
> [mm]g(x) = |x_{1}*x_{2}*x_{3}|^{1/3}[/mm]
>
> Hierzu dachte ich, ich überprüfe erst, wo
> [mm]|x_{1}*x_{2}*x_{3}|[/mm] partiell differenzierbar ist. Weil
> [mm]x^{1/3}[/mm] überall auf dem Definitionsbereich außer in 0
> "(total)" differenzierbar ist, müsste dann folgen, dass
> g(x) als Komposition zweier partiell differenzierbarer
> Funktionen dort auch partiell differenzierbar ist.
> Stimmt das?
>
Ja.
> Danke für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen Dank für deine Antwort!
Dann geht es jetzt darum, wo die folgende Funktion partiell / total differenzierbar ist:
$g(x) = [mm] |x_{1}*x_{2}*x_{3}|^{1/3}$.
[/mm]
Ich untersuche zunächst $h(x) = [mm] |x_{1}*x_{2}*x_{3}|$. [/mm] Die ist symmetrisch in allen drei Variablen, es reicht also für [mm] x_{1} [/mm] zu untersuchen. Ich erhalte:
[mm] $\frac{\partial h}{\partial x_{1}}(x) [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{h(x_{1}+h,x_{2},x_{3}) - h(x_{1},x_{2},x_{3})}{h}$
[/mm]
$= [mm] \frac{|x_{2}*x_{3}|*(|x_{1}+h|-|x_{1}|)}{h}$.
[/mm]
Der Limes existiert, falls [mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR \times \IR$ [/mm] oder [mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\} \times \IR$ [/mm] oder [mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \IR\times \{0\}$. [/mm] Dann ist die partielle Ableitung:
[mm] $\frac{\partial h}{\partial x_{1}}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases}sgn(x_{1})*|x_{2}*x_{3}|, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR \times \IR\\ 0, \quad\mbox{ falls } x_{1}=x_{2}=0 \mbox{ oder }x_{1} = x_{3} = 0 \end{cases}$.
[/mm]
-------------
Nun muss ich alles zusammenfassen, das finde ich aber sehr schwierig...
Also, h ist partiell differenzierbar in allen drei Variablen, falls gilt:
[mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR_{\not= 0} \times \IR_{\not= 0}$
[/mm]
[mm] $(x_{1},x_{2},x_{3})\in \{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\IR^{3}|x_{1}=x_{2}=0 \mbox{ oder }x_{2} = x_{3} = 0 \mbox{ oder } x_{1} = x_{3} = 0\}$
[/mm]
Die partiellen Ableitungen dürften in diesen Bereichen auch stetig sein. Stimmt das?
--> h(x) ist total differenzierbar in obigen Bereichen.
--> Ausgangsfunktion g(x) ist total differenzierbar in obigen Bereichen. Stimmt das?
-------------
Nun ist noch die Frage, ob g(x) nicht noch in anderen Punkten partiell / total differenzierbar ist. Die fehlenden Punkte sind gerade die, bei welchen eine der drei [mm] x_{1},x_{2},x_{3} [/mm] gleich Null ist und die anderen ungleich Null.
Dort ist aber auch g(x) nicht partiell diffbar, Beispiel [mm] x_{1} [/mm] = 0:
[mm] $\frac{\partial h}{\partial x_{1}}(x) [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{h(0+h,x_{2},x_{3}) - h(0,x_{2},x_{3})}{h}$
[/mm]
$= [mm] \frac{|h|^{1/3}*|x_{2}*x_{3}|^{1/3}}{h}$,
[/mm]
dieser Limes existiert auch nicht. Also sind die oben ermittelten Punkte die einzigen, wo g(x) partiell / total differenzierbar ist. Stimmt das?
Vielen, vielen Dank für Eure Hilfe !
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Hallo MathePower,
>
> vielen Dank für deine Antwort!
> Dann geht es jetzt darum, wo die folgende Funktion
> partiell / total differenzierbar ist:
>
> [mm]g(x) = |x_{1}*x_{2}*x_{3}|^{1/3}[/mm].
>
> Ich untersuche zunächst [mm]h(x) = |x_{1}*x_{2}*x_{3}|[/mm]. Die
> ist symmetrisch in allen drei Variablen, es reicht also
> für [mm]x_{1}[/mm] zu untersuchen. Ich erhalte:
>
> [mm]\frac{\partial h}{\partial x_{1}}(x) = \lim_{h\to 0}\frac{h(x_{1}+h,x_{2},x_{3}) - h(x_{1},x_{2},x_{3})}{h}[/mm]
>
> [mm]= \frac{|x_{2}*x_{3}|*(|x_{1}+h|-|x_{1}|)}{h}[/mm].
>
> Der Limes existiert, falls [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR \times \IR[/mm]
> oder [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \{0\} \times \IR[/mm]
> oder [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \{0\}\times \IR\times \{0\}[/mm].
> Dann ist die partielle Ableitung:
>
> [mm]\frac{\partial h}{\partial x_{1}}(x) = \begin{cases}sgn(x_{1})*|x_{2}*x_{3}|, \quad\mbox{ falls }(x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR \times \IR\\ 0, \quad\mbox{ falls } x_{1}=x_{2}=0 \mbox{ oder }x_{1} = x_{3} = 0 \end{cases}[/mm].
>
> -------------
>
> Nun muss ich alles zusammenfassen, das finde ich aber sehr
> schwierig...
> Also, h ist partiell differenzierbar in allen drei
> Variablen, falls gilt:
>
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \IR_{\not= 0}\times \IR_{\not= 0} \times \IR_{\not= 0}[/mm]
>
> [mm](x_{1},x_{2},x_{3})\in \{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\IR^{3}|x_{1}=x_{2}=0 \mbox{ oder }x_{2} = x_{3} = 0 \mbox{ oder } x_{1} = x_{3} = 0\}[/mm]
>
> Die partiellen Ableitungen dürften in diesen Bereichen
> auch stetig sein. Stimmt das?
Die Betragsfunktionen sind doch überall stetig.
> --> h(x) ist total differenzierbar in obigen Bereichen.
> --> Ausgangsfunktion g(x) ist total differenzierbar in
> obigen Bereichen. Stimmt das?
Für g(x) ist der Fall [mm]x_{i}=0, \ i \in \left\{1,2,3\right\}[/mm]
noch gesondert zu betrachten.
>
> -------------
>
> Nun ist noch die Frage, ob g(x) nicht noch in anderen
> Punkten partiell / total differenzierbar ist. Die fehlenden
> Punkte sind gerade die, bei welchen eine der drei
> [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] gleich Null ist und die anderen ungleich
> Null.
> Dort ist aber auch g(x) nicht partiell diffbar, Beispiel
> [mm]x_{1}[/mm] = 0:
>
> [mm]\frac{\partial h}{\partial x_{1}}(x) = \lim_{h\to 0}\frac{h(0+h,x_{2},x_{3}) - h(0,x_{2},x_{3})}{h}[/mm]
>
> [mm]= \frac{|h|^{1/3}*|x_{2}*x_{3}|^{1/3}}{h}[/mm],
>
> dieser Limes existiert auch nicht. Also sind die oben
> ermittelten Punkte die einzigen, wo g(x) partiell / total
> differenzierbar ist. Stimmt das?
>
> Vielen, vielen Dank für Eure Hilfe !
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für deine Antwort !
> Hallo steppenhahn,
> > --> Ausgangsfunktion g(x) ist total differenzierbar in
> > obigen Bereichen. Stimmt das?
> Für g(x) ist der Fall [mm]x_{i}=0, \ i \in \left\{1,2,3\right\}[/mm]
> noch gesondert zu betrachten.
Oh, du hast Recht!
[mm] $\sqrt[3]{x}$ [/mm] ist in 0 nicht differenzierbar. Das ist schonmal ein Problem.
Aber nach meinen Rechnungen komme ich auf dasselbe Ergebnis, also dass trotzdem [mm] g(x)=\sqrt[3]{|x_{1}x_{2}x_{3}|} [/mm] partiell differenzierbar ist, wenn [mm] x_{1}=x_{2}=0 [/mm] oder [mm] x_{1}=x_{3}=0 [/mm] oder [mm] x_{2}=x_{3}=0.
[/mm]
--> g ist auch dort überall total differenzierbar.
Ist es dann okay?
----------
> > Nun ist noch die Frage, ob g(x) nicht noch in anderen
> > Punkten partiell / total differenzierbar ist. Die fehlenden
> > Punkte sind gerade die, bei welchen eine der drei
> > [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] gleich Null ist und die anderen ungleich
> > Null.
> > Dort ist aber auch g(x) nicht partiell diffbar,
> Beispiel
> > [mm]x_{1}[/mm] = 0:
> >
> > [mm]\frac{\partial h}{\partial x_{1}}(x) = \lim_{h\to 0}\frac{h(0+h,x_{2},x_{3}) - h(0,x_{2},x_{3})}{h}[/mm]
>
> >
> > [mm]= \frac{|h|^{1/3}*|x_{2}*x_{3}|^{1/3}}{h}[/mm],
> >
> > dieser Limes existiert auch nicht. Also sind die oben
> > ermittelten Punkte die einzigen, wo g(x) partiell / total
> > differenzierbar ist. Stimmt das?
War das richtig, was ich hier geschrieben habe?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine Antwort !
>
> > Hallo steppenhahn,
> > > --> Ausgangsfunktion g(x) ist total differenzierbar
> in
> > > obigen Bereichen. Stimmt das?
>
> > Für g(x) ist der Fall [mm]x_{i}=0, \ i \in \left\{1,2,3\right\}[/mm]
>
> > noch gesondert zu betrachten.
>
> Oh, du hast Recht!
> [mm]\sqrt[3]{x}[/mm] ist in 0 nicht differenzierbar. Das ist
> schonmal ein Problem.
> Aber nach meinen Rechnungen komme ich auf dasselbe
> Ergebnis, also dass trotzdem
> [mm]g(x)=\sqrt[3]{|x_{1}x_{2}x_{3}|}[/mm] partiell differenzierbar
> ist, wenn [mm]x_{1}=x_{2}=0[/mm] oder [mm]x_{1}=x_{3}=0[/mm] oder
> [mm]x_{2}=x_{3}=0.[/mm]
Das trifft auf h(x) zu, nicht aber auf g(x).
>
> --> g ist auch dort überall total differenzierbar.
>
> Ist es dann okay?
>
Nun, wenn ein [mm]x_{i}=0, \ i \in \left\{1,2,3\right\}[/mm],
dann existiert die entsprechende partielle Ableitung dort nicht.
Demnach ist g(x) in allen diesen Punkten nicht partiell differenzierbar.
> ----------
>
> > > Nun ist noch die Frage, ob g(x) nicht noch in anderen
> > > Punkten partiell / total differenzierbar ist. Die fehlenden
> > > Punkte sind gerade die, bei welchen eine der drei
> > > [mm]x_{1},x_{2},x_{3}[/mm] gleich Null ist und die anderen ungleich
> > > Null.
> > > Dort ist aber auch g(x) nicht partiell diffbar,
> > Beispiel
> > > [mm]x_{1}[/mm] = 0:
> > >
> > > [mm]\frac{\partial h}{\partial x_{1}}(x) = \lim_{h\to 0}\frac{h(0+h,x_{2},x_{3}) - h(0,x_{2},x_{3})}{h}[/mm]
Hier meintest Du wohl:
[mm]\frac{\partial \blue{g}}{\partial x_{1}}(x) = \lim_{h\to 0}\frac{\blue{g}(0+h,x_{2},x_{3}) - \blue{g}(0,x_{2},x_{3})}{h}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]= \frac{|h|^{1/3}*|x_{2}*x_{3}|^{1/3}}{h}[/mm],
> > >
> > > dieser Limes existiert auch nicht. Also sind die oben
> > > ermittelten Punkte die einzigen, wo g(x) partiell / total
> > > differenzierbar ist. Stimmt das?
>
> War das richtig, was ich hier geschrieben habe?
Es ist richtig, daß dieser Limes nicht exisitiert.
g(x) ist nur in den Punkten partiell differenzierbar,
für die alle [mm]x_{i}, \ i \in \left\{1,2,3\right\}[/mm] von Null verschieden sind.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
wieder vielen Dank für deine Antwort!
$g(x) = [mm] \sqrt[3]{|x_{1}*x_{2}*x_{3}|}$
[/mm]
> g(x) ist nur in den Punkten partiell differenzierbar,
> für die alle [mm]x_{i}, \ i \in \left\{1,2,3\right\}[/mm] von Null
> verschieden sind.
Mir ist noch nicht ganz klar, warum das so ist.
Mir ist klar, dass die Differenzierbarkeit nicht aus der Kettenregel folgt. Aber wenn ich es direkt mache, und ich nehme [mm] $x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] = 0$, dann ist:
[mm] $\frac{\partial g}{\partial x_{1}} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|(0+h)*0*x_{3}|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} [/mm] = 0$ (?)
[mm] $\frac{\partial g}{\partial x_{3}} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{g(0,0,x_{3}+h) - g(0,0,x_{3})}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|0*0*(x_{3}+h)|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} [/mm] = 0$ (?)
Ich sehe noch nicht, warum g nicht partiell differenzierbar ist, es kommt doch immer "0" raus?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Hallo MathePower,
>
> wieder vielen Dank für deine Antwort!
>
> [mm]g(x) = \sqrt[3]{|x_{1}*x_{2}*x_{3}|}[/mm]
>
> > g(x) ist nur in den Punkten partiell differenzierbar,
> > für die alle [mm]x_{i}, \ i \in \left\{1,2,3\right\}[/mm] von
> Null
> > verschieden sind.
>
> Mir ist noch nicht ganz klar, warum das so ist.
> Mir ist klar, dass die Differenzierbarkeit nicht aus der
> Kettenregel folgt. Aber wenn ich es direkt mache, und ich
> nehme [mm]x_{1} = x_{2} = 0[/mm], dann ist:
>
> [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{1}} = \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|(0+h)*0*x_{3}|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} = 0[/mm]
> (?)
>
> [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{3}} = \lim_{h\to 0}\frac{g(0,0,x_{3}+h) - g(0,0,x_{3})}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|0*0*(x_{3}+h)|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} = 0[/mm]
> (?)
>
> Ich sehe noch nicht, warum g nicht partiell differenzierbar
> ist, es kommt doch immer "0" raus?
Betrachte [mm]g^{3}\left(x\right)=h\left(x\right)[/mm]
[mm]g^{3}\left(x\right)[/mm] ist also auch in den Punkten partiell differenzierbar wie h(x).
Dann gilt für die partielle Ableitung nach [mm]x_{1}[/mm]
[mm]3*g^{2}\left(x\right)*g_{x_{1}}\left(x\right)=h_{x_{1}}\left(x\right)[/mm]
Für [mm]x_{1}=x_{2}=0[/mm] gilt demanch
[mm]g\left(0,0,x_{3}\right)=0, \ h_{x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)=0[/mm]
Damit ist
[mm]3*g^{2}\left(0,0,x_{3}\right)*g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)=h_{x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)[/mm]
[mm]\gdw 3*0*g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)=0[/mm]
Hieraus ergibt sich, daß [mm]g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)[/mm] nicht eindeutig bestimmbar ist,
somit ist g an dieser Stelle nicht nach [mm]x_{1}[/mm] partiell differenzierbar.
>
> Danke für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für deine Antwort!
> >Aber wenn ich es direkt mache, und ich
> > nehme [mm]x_{1} = x_{2} = 0[/mm], dann ist:
> >
> > [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{1}} = \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|(0+h)*0*x_{3}|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} = 0[/mm]
> > (?)
> >
> > [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{3}} = \lim_{h\to 0}\frac{g(0,0,x_{3}+h) - g(0,0,x_{3})}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|0*0*(x_{3}+h)|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} = 0[/mm]
> > (?)
> >
> > Ich sehe noch nicht, warum g nicht partiell differenzierbar
> > ist, es kommt doch immer "0" raus?
> Betrachte [mm]g^{3}\left(x\right)=h\left(x\right)[/mm]
>
> [mm]g^{3}\left(x\right)[/mm] ist also auch in den Punkten partiell
> differenzierbar wie h(x).
>
> Dann gilt für die partielle Ableitung nach [mm]x_{1}[/mm]
>
> [mm]3*g^{2}\left(x\right)*g_{x_{1}}\left(x\right)=h_{x_{1}}\left(x\right)[/mm]
>
> Für [mm]x_{1}=x_{2}=0[/mm] gilt demanch
>
> [mm]g\left(0,0,x_{3}\right)=0, \ h_{x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)=0[/mm]
>
> Damit ist
>
> [mm]3*g^{2}\left(0,0,x_{3}\right)*g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)=h_{x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)[/mm]
>
> [mm]\gdw 3*0*g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)=0[/mm]
>
> Hieraus ergibt sich, daß [mm]g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)[/mm]
> nicht eindeutig bestimmbar ist,
> somit ist g an dieser Stelle nicht nach [mm]x_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
partiell
> differenzierbar.
Ich verstehe die Argumentation. Allerdings verstehe ich nicht, warum aus der Gleichung $3*0*g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)=0$ folgt, dass die partielle Ableitung von g nicht eindeutig bestimmbar ist. Es kann doch andere Möglichkeiten geben, die partielle Ableitung von g nach x_{1} zu bestimmen (?), zum Beispiel über die Definition...
Ich würde gern wissen, warum meine obige Argumentation mit den Limites falsch ist, weil das ist doch die Definition von partieller Differenzierbarkeit, es kann doch nicht sein, dass die erfüllt ist und g trotzdem nicht partiell differenzierbar ist.
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine Antwort!
>
> > >Aber wenn ich es direkt mache, und ich
> > > nehme [mm]x_{1} = x_{2} = 0[/mm], dann ist:
> > >
> > > [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{1}} = \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|(0+h)*0*x_{3}|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} = 0[/mm]
> > > (?)
> > >
> > > [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{3}} = \lim_{h\to 0}\frac{g(0,0,x_{3}+h) - g(0,0,x_{3})}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|0*0*(x_{3}+h)|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} = 0[/mm]
> > > (?)
> > >
> > > Ich sehe noch nicht, warum g nicht partiell differenzierbar
> > > ist, es kommt doch immer "0" raus?
>
>
> > Betrachte [mm]g^{3}\left(x\right)=h\left(x\right)[/mm]
> >
> > [mm]g^{3}\left(x\right)[/mm] ist also auch in den Punkten partiell
> > differenzierbar wie h(x).
> >
> > Dann gilt für die partielle Ableitung nach [mm]x_{1}[/mm]
> >
> >
> [mm]3*g^{2}\left(x\right)*g_{x_{1}}\left(x\right)=h_{x_{1}}\left(x\right)[/mm]
> >
> > Für [mm]x_{1}=x_{2}=0[/mm] gilt demanch
> >
> > [mm]g\left(0,0,x_{3}\right)=0, \ h_{x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)=0[/mm]
>
> >
> > Damit ist
> >
> >
> [mm]3*g^{2}\left(0,0,x_{3}\right)*g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)=h_{x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 3*0*g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)=0[/mm]
> >
> > Hieraus ergibt sich, daß [mm]g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)[/mm]
> > nicht eindeutig bestimmbar ist,
> > somit ist g an dieser Stelle nicht nach [mm]x_{1}[/mm] partiell
> > differenzierbar.
>
> Ich verstehe die Argumentation. Allerdings verstehe ich
> nicht, warum aus der Gleichung
> [mm]3*0*g_{x_{1}}}\left(0,0,x_{3}\right)=0[/mm] folgt, dass die
> partielle Ableitung von g nicht eindeutig bestimmbar ist.
Null mal irgenwas ergibt wieder Null.
Die partielle Ableitung kann an dieser Stelle sowohl 1
als auch jeden anderen Wert annehmen.
> Es kann doch andere Möglichkeiten geben, die partielle
> Ableitung von g nach [mm]x_{1}[/mm] zu bestimmen (?), zum Beispiel
> über die Definition...
>
> Ich würde gern wissen, warum meine obige Argumentation mit
> den Limites falsch ist, weil das ist doch die Definition
> von partieller Differenzierbarkeit, es kann doch nicht
> sein, dass die erfüllt ist und g trotzdem nicht partiell
> differenzierbar ist.
Deine obige Argumentation mit den Limites ist nicht falsch,
nur nicht ganz zu Ende gedacht.
Für eine beliebigen Punkt [mm]\left(x_{1}| x_{2} | x_{3}\right)[/mm] gilt:
[mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{g\left(x_{1}+h,x_{2},x_{3}\right)-g\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{h}[/mm]
[mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}-\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}}{h}[/mm]
Erweiterst Du hier geschickt, dann steht da:
[mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\vmat{h}x_{2} x_{3}}{h\left(\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}^{2}+\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}\wurzel[3]{\vmat{x_{1} x_{2}x_{3}}}+\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}^{2}\right)}[/mm]
Da h > 0 ergibt sich:
[mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{h x_{2} x_{3}}{h\left(\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}^{2}+\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}\wurzel[3]{\vmat{x_{1} x_{2}x_{3}}}+\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}^{2}\right)}[/mm]
[mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{x_{2} x_{3}}{\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}^{2}+\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}\wurzel[3]{\vmat{x_{1} x_{2}x_{3}}}+\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}^{2}}[/mm]
Dann siehst Du, daß für [mm]x_{1}=0[/mm] kein Grenzwert existiert.
>
> Vielen Dank!
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für deine Antwort!
> Für eine beliebigen Punkt [mm]\left(x_{1}| x_{2} | x_{3}\right)[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{g\left(x_{1}+h,x_{2},x_{3}\right)-g\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{h}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}-\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}}{h}[/mm]
>
> Erweiterst Du hier geschickt, dann steht da:
>
> [mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\vmat{h}x_{2} x_{3}}{h\left(\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}^{2}+\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}\wurzel[3]{\vmat{x_{1} x_{2}x_{3}}}+\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}^{2}\right)}[/mm]
>
> Da h > 0 ergibt sich:
>
> [mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{h x_{2} x_{3}}{h\left(\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}^{2}+\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}\wurzel[3]{\vmat{x_{1} x_{2}x_{3}}}+\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}^{2}\right)}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{x_{2} x_{3}}{\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}^{2}+\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}\wurzel[3]{\vmat{x_{1} x_{2}x_{3}}}+\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}^{2}}[/mm]
>
> Dann siehst Du, daß für [mm]x_{1}=0[/mm] kein Grenzwert
> existiert.
Das sehe ich ein. Wenn ich aber gleichzeitig zu [mm] x_{1} [/mm] = 0 auch [mm] x_{2}=0 [/mm] setze, dann habe ich doch wieder [mm] \frac{0}{0} [/mm] vorliegen (und im Zähler geht es sozusagen "schneller gegen 0")? Da kann ich doch nicht einfach behaupten, dass das nicht existiert?
Mir ist klar, dass es nicht partiell differenzierbar ist, wenn nur [mm] x_{1} [/mm] = 0 ist und die anderen beiden [mm] x_{2},x_{3}\not= [/mm] 0.
Aber für den Fall [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] = 0 würde sowohl deine als auch meine Argumentation weiterhin einen (eindeutigen) Limes von 0 für die partielle Ableitung nach [mm] x_{1} [/mm] liefern, oder?
Vielen Dank für deine Geduld !
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine Antwort!
>
>
> > Für eine beliebigen Punkt [mm]\left(x_{1}| x_{2} | x_{3}\right)[/mm]
> > gilt:
> >
> > [mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{g\left(x_{1}+h,x_{2},x_{3}\right)-g\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}{h}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}-\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}}{h}[/mm]
>
> >
> > Erweiterst Du hier geschickt, dann steht da:
> >
> > [mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{\vmat{h}x_{2} x_{3}}{h\left(\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}^{2}+\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}\wurzel[3]{\vmat{x_{1} x_{2}x_{3}}}+\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}^{2}\right)}[/mm]
>
> >
> > Da h > 0 ergibt sich:
> >
> > [mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{h x_{2} x_{3}}{h\left(\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}^{2}+\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}\wurzel[3]{\vmat{x_{1} x_{2}x_{3}}}+\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}^{2}\right)}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{x_{2} x_{3}}{\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}^{2}+\wurzel[3]{\vmat{\left(x_{1}+h\right)x_{2}x_{3}}}\wurzel[3]{\vmat{x_{1} x_{2}x_{3}}}+\wurzel[3]{\vmat{x_{1}x_{2}x_{3}}}^{2}}[/mm]
>
> >
> > Dann siehst Du, daß für [mm]x_{1}=0[/mm] kein Grenzwert
> > existiert.
>
> Das sehe ich ein. Wenn ich aber gleichzeitig zu [mm]x_{1}[/mm] = 0
> auch [mm]x_{2}=0[/mm] setze, dann habe ich doch wieder [mm]\frac{0}{0}[/mm]
> vorliegen (und im Zähler geht es sozusagen "schneller
> gegen 0")? Da kann ich doch nicht einfach behaupten, dass
> das nicht existiert?
Nun, wenn [mm]x_{2}[/mm] von [mm]x_{1}[/mm] abhängig ist,
dann kannst Du das nicht behaupten.
Genau genommen, muß man hier diesen Grenzwert berechnen:
[mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)=\limes_{t \rightarrow 0}\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{g\left(t+h,t,x_{3}\right)-g\left(t,t,x_{3}\right)}{h}[/mm]
Dann wirst Du zum selben Ergebnis kommen, daß an dieser Stelle,
die partielle Ableitung nach [mm]x_{1}[/mm] nicht existiert.
> Mir ist klar, dass es nicht partiell differenzierbar ist,
> wenn nur [mm]x_{1}[/mm] = 0 ist und die anderen beiden
> [mm]x_{2},x_{3}\not=[/mm] 0.
> Aber für den Fall [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] = 0 würde sowohl deine
> als auch meine Argumentation weiterhin einen (eindeutigen)
> Limes von 0 für die partielle Ableitung nach [mm]x_{1}[/mm]
> liefern, oder?
>
> Vielen Dank für deine Geduld !
>
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für deine Antwort
> > Das sehe ich ein. Wenn ich aber gleichzeitig zu [mm]x_{1}[/mm] = 0
> > auch [mm]x_{2}=0[/mm] setze, dann habe ich doch wieder [mm]\frac{0}{0}[/mm]
> > vorliegen (und im Zähler geht es sozusagen "schneller
> > gegen 0")? Da kann ich doch nicht einfach behaupten, dass
> > das nicht existiert?
>
>
> Nun, wenn [mm]x_{2}[/mm] von [mm]x_{1}[/mm] abhängig ist,
> dann kannst Du das nicht behaupten.
Aber wieso sollte [mm] x_{1} [/mm] von [mm] x_{2} [/mm] abhängen? Das sind doch zwei "unabhängige" Variablen?
> Genau genommen, muß man hier diesen Grenzwert berechnen:
>
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)=\limes_{t \rightarrow 0}\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{g\left(t+h,t,x_{3}\right)-g\left(t,t,x_{3}\right)}{h}[/mm]
Das verstehe ich nicht.
Partielle Differenzierbarkeit ist doch eine lokale Eigenschaft, also brauch' ich da doch keinen Grenzprozess durchzuführen? Ist nicht
[mm] $\frac{\partial g}{\partial x_{1}}(0,0,x_{3}) [/mm] := [mm] \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h}$
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Hier ist das zumindest klar ersichtlich (?).
Und wenn ich den obigen Limes auswerte, komme ich auf 0 (?)
Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine Antwort
>
> > > Das sehe ich ein. Wenn ich aber gleichzeitig zu [mm]x_{1}[/mm] = 0
> > > auch [mm]x_{2}=0[/mm] setze, dann habe ich doch wieder [mm]\frac{0}{0}[/mm]
> > > vorliegen (und im Zähler geht es sozusagen "schneller
> > > gegen 0")? Da kann ich doch nicht einfach behaupten, dass
> > > das nicht existiert?
> >
> >
> > Nun, wenn [mm]x_{2}[/mm] von [mm]x_{1}[/mm] abhängig ist,
> > dann kannst Du das nicht behaupten.
>
> Aber wieso sollte [mm]x_{1}[/mm] von [mm]x_{2}[/mm] abhängen? Das sind doch
> zwei "unabhängige" Variablen?
Das isses ja gerade.
>
> > Genau genommen, muß man hier diesen Grenzwert berechnen:
> >
> > [mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)=\limes_{t \rightarrow 0}\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{g\left(t+h,t,x_{3}\right)-g\left(t,t,x_{3}\right)}{h}[/mm]
>
> Das verstehe ich nicht.
Ich zeige, dass die partielle Ableitung an der Stelle [mm](0,0,x_{3})[/mm]
unstetig ist bzw. daß der Grenzwert nicht existiert.
> Partielle Differenzierbarkeit ist doch eine lokale
> Eigenschaft, also brauch' ich da doch keinen Grenzprozess
> durchzuführen? Ist nicht
>
> [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{1}}(0,0,x_{3}) := \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h}[/mm]
>
> Hier
> ist das zumindest klar ersichtlich (?).
> Und wenn ich den obigen Limes auswerte, komme ich auf 0
> (?)
Rechne das mal vor.
>
> Grüße,
> Stefan
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
danke für deine Antwort!
> > > Genau genommen, muß man hier diesen Grenzwert berechnen:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)=\limes_{t \rightarrow 0}\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{g\left(t+h,t,x_{3}\right)-g\left(t,t,x_{3}\right)}{h}[/mm]
>
> >
> > Das verstehe ich nicht.
>
>
> Ich zeige, dass die partielle Ableitung an der Stelle
> [mm](0,0,x_{3})[/mm] unstetig ist.
Ok, aber Unstetigkeit der partiellen Ableitung bedeutet doch nicht, dass die partielle Ableitung nicht existiert?
> > Partielle Differenzierbarkeit ist doch eine lokale
> > Eigenschaft, also brauch' ich da doch keinen Grenzprozess
> > durchzuführen? Ist nicht
> >
> > [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{1}}(0,0,x_{3}) := \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h}[/mm]
> Rechne das mal vor.
[mm] $\frac{\partial g}{\partial x_{1}}(0,0,x_{3}) [/mm] := [mm] \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|(0+h)*0*x_{3}|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h} [/mm] = 0$
(?) Was ist hier falsch?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mathepower,
>
> danke für deine Antwort!
>
> > > > Genau genommen, muß man hier diesen Grenzwert berechnen:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{\partial g}{\partial x_{1}}\left(0,0,x_{3}\right)=\limes_{t \rightarrow 0}\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{g\left(t+h,t,x_{3}\right)-g\left(t,t,x_{3}\right)}{h}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das verstehe ich nicht.
> >
> >
> > Ich zeige, dass die partielle Ableitung an der Stelle
> > [mm](0,0,x_{3})[/mm] unstetig ist.
>
> Ok, aber Unstetigkeit der partiellen Ableitung bedeutet
> doch nicht, dass die partielle Ableitung nicht existiert?
>
> > > Partielle Differenzierbarkeit ist doch eine lokale
> > > Eigenschaft, also brauch' ich da doch keinen Grenzprozess
> > > durchzuführen? Ist nicht
> > >
> > > [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{1}}(0,0,x_{3}) := \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h}[/mm]
>
> > Rechne das mal vor.
>
> [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{1}}(0,0,x_{3}) := \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|(0+h)*0*x_{3}|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h} = 0[/mm]
>
> (?) Was ist hier falsch?
Nichts !!!
FRED
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
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Hallo fred,
auch dir danke für deine Antwort
> > [mm]\frac{\partial g}{\partial x_{1}}(0,0,x_{3}) := \lim_{h\to 0}\frac{g(0+h,0,x_{3}) - g(0,0,x_{3})}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt[3]{|(0+h)*0*x_{3}|} - \sqrt[3]{|0*0*x_{3}|}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h} = 0[/mm]
>
> >
> > (?) Was ist hier falsch?
>
> Nichts !!!
Das bedeutet, die Funktion $g(x) = [mm] \sqrt[]{|x_{1}*x_{2}*x_{3}|}$ [/mm] ist partiell differenzierbar für
[mm] $(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR_{\not= 0}\times \IR_{\not= 0}\times \IR_{\not= 0}$
[/mm]
oder
[mm] $(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \IR \times \{0\}\times \{0\}$
[/mm]
oder
[mm] $(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \{0\}\times \{0\}\times \IR$
[/mm]
oder
[mm] $(x_{1},x_{2},x_{3}) \in \{0\}\times \IR\times \{0\}$,
[/mm]
und man erhält insbesondere die partielle Differenzierbarkeit der letzten drei Fälle zwar nicht aus der Kettenregel, aber durch direktes Nachrechnen (Kettenregel ist ja nur eine Implikation, keine Äquivalenz zu Differenzierbarkeit)?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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