Funktion plus Ableitung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)+f'(x)=x^{2}+3x+4
[/mm]
Wie lautet f(x) ? |
Da gehe ich vor wie Sherlock Holmes:
Zunächst einmal ist [mm] x^{2} [/mm] ein Teil der Funktion und nicht der Ableitung.
(In der Ableitung kommt [mm] x^{2} [/mm] gar nicht vor.
Die Ableitung von [mm] x^{2} [/mm] ist 2x.
Das 3x setzt sich somit zusammen aus 2x und x.
Das x ist somit Teil der Funktion.
Die Ableitung von diesem x ist wiederum 1
Die 4 setzt sich somit zusammen aus 1 und 3.
Die 3 ist somit Teil der Funktion.
Somit ist die Funktion:
[mm] f(x)=x^{2}+x+3 [/mm]
und die Ableitung ist:
f'(x)=2x+1
Die Frage von Dr. Watson ist eigentlich nur:
Was soll diese Verquickung von Funktion und Ableitung?
(Solche - und noch weit kompliziertere - Aufgaben hatte ich schon öfters hier im Mathe-Raum gesehen)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 19.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f(x)+f'(x)=x^{2}+3x+4[/mm]
>
> Wie lautet f(x) ?
> Da gehe ich vor wie Sherlock Holmes:
>
> Zunächst einmal ist [mm]x^{2}[/mm] ein Teil der Funktion und nicht
> der Ableitung.
> (In der Ableitung kommt [mm]x^{2}[/mm] gar nicht vor.
>
> Die Ableitung von [mm]x^{2}[/mm] ist 2x.
>
> Das 3x setzt sich somit zusammen aus 2x und x.
> Das x ist somit Teil der Funktion.
>
> Die Ableitung von diesem x ist wiederum 1
>
> Die 4 setzt sich somit zusammen aus 1 und 3.
> Die 3 ist somit Teil der Funktion.
>
> Somit ist die Funktion:
> [mm]f(x)=x^{2}+x+3[/mm]
>
> und die Ableitung ist:
> f'(x)=2x+1
>
>
> Die Frage von Dr. Watson ist eigentlich nur:
> Was soll diese Verquickung von Funktion und Ableitung?
> (Solche - und noch weit kompliziertere - Aufgaben hatte ich
> schon öfters hier im Mathe-Raum gesehen)
die Aufgabe ist gar nicht eindeutig lösbar. Du hast hier nun mit dem Sherlock-Holmes-Weg eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] (auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert) angegeben, die die Gleichung
[mm] $$f(x)+f'(x)=x^{2}+3x+4$$
[/mm]
für alle [mm] $x\,$ [/mm] - aus dem Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] - erfüllt. Betrachte ich nun [mm] $h(x):=e^{-x}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$), [/mm] so ist [mm] $h'(x)=-e^{-x}=-h(x),$ [/mm] also $h(x)+h'(x)=0$ für alle [mm] $x\,.$
[/mm]
Also wäre [mm] $g(x):=f(x)+h(x)=f(x)+e^{-x}=x^{2}+x+3+e^{-x}$ [/mm] schonmal eine weitere Funktion, die [mm] $g(x)+g'(x)=x^{2}+x+3$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] erfüllt.
Bei obiger Frage scheint es aber wohl so zu sein, dass [mm] $f\,$ [/mm] ein Polynom sein soll. In diesem Fall würde ich auch einfach den Ansatz machen
[mm] $$f(x)=ax^2+bx+c,\,$$
[/mm]
was
$$f'(x)=2ax+b$$
liefert und damit dann weiterarbeiten (Koeffizientenvergleich). Und naja, was die Verquickung von Funktion und Ableitung soll,weiß eher der Fragesteller. Man kann es einfach als "Herausforderung" ansehen, diese Frage zu beantworten, vll. gibt es aber auch durchaus Situationen, wo solche "Verquickungen" physikalisch eine Rolle spielen. Generell denke man ja einfach mal nur an Differentialgleichungen...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mo 20.07.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> die Aufgabe ist gar nicht eindeutig lösbar. Du hast hier
> nun mit dem Sherlock-Holmes-Weg eine Funktion [mm]f\,[/mm] (auf [mm]\IR[/mm]
> definiert) angegeben
> Also wäre [mm]g(x):=f(x)+h(x)=f(x)+e^{-x}=x^{2}+x+3+e^{-x}[/mm]
> schonmal eine weitere Funktion, ...
Wie käme Sherlock Homes auf die Sache mit dem e ?
Wenn er einen Verdacht hat, dass es noch einen Mittäter geben könnte, müsste alle möglichen und unmöglichen Funktionen daraufhin prüfen, ob irgendwo ein f(x)=-f'(x) ist.
Das trifft für [mm] f(x)=e^{-x} [/mm] zu. Woher hattest du diesen Verdacht?
Vielleicht müssen nun alle Fälle von Sherlock Holmes neu aufgerollt werden, da seinerzeit die DNA-Analyse noch nicht bekannt war.
> Was die Verquickung von Funktion und Ableitung soll,
> weiß eher der Fragesteller.
Die Frage ist also: Welches Motiv hatte der Täter ?
Oder hier: Welchen Vorteil hat man davon, so eine Art von Aufgabe zu lösen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Mo 20.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Die Frage ist also: Welches Motiv hatte der Täter ?
> Oder hier: Welchen Vorteil hat man davon, so eine Art von
> Aufgabe zu lösen ?
Hallo,
es waren wohl ursprünglich praktische Vorgänge, die zu Differenzialgleichungen (und damit zur Notwendigkeit ihrer Lösung) führten.
Jedes exponentielle Wachstum kann beschrieben werden durch f(t)=k*f'(t), jede ungedämpfte harmonische Schwingung durch f(t)+k*f''(t)=0.
Gruß Abakus
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> Welchen Vorteil hat man davon, so eine Art von
> Aufgabe zu lösen ?
Hallo,
Differentialgleichungen, also Gleichungen
für eine unbekannte Funktion f(x) (oder
für eine ganze Schar von Funktionen), in
welchen die Funktion f und einige ihrer
Ableitungen, etwa f' und f'' vorkommen,
kommen in vielen Anwendungen der
Mathematik vor. So besteht z.B. der
grösste Teil der physikalischen Formeln
aus Differentialgleichungen. Deshalb wurde
das Gebiet der Differentialgleichungen seit
Newton, den Bernoullis, Euler etc. zu einem
wichtigen Teilgebiet der anwendungsorien-
tierten Mathematik.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Mo 20.07.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Differentialgleichungen, also Gleichungen
> für eine unbekannte Funktion f(x),
> in welchen die Funktion f und einige ihrer
> Ableitungen, etwa f' und f'' vorkommen,
> kommen in vielen Anwendungen vor.
Also machen diese Art von Aufgaben - wo man aus einer Verquickung von Funktion und deren Ableitung auf die Ursprungs-Funktion schließen will - durchaus einen Sinn. Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Mo 20.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralph,
>
> > Differentialgleichungen, also Gleichungen
> > für eine unbekannte Funktion f(x),
> > in welchen die Funktion f und einige ihrer
> > Ableitungen, etwa f' und f'' vorkommen,
> > kommen in vielen Anwendungen vor.
>
> Also machen diese Art von Aufgaben - wo man aus einer
> Verquickung von Funktion und deren Ableitung auf die
> Ursprungs-Funktion schließen will - durchaus einen Sinn.
natürlich. Ich weiß nicht, welche Grundlagen Du hast, aber Du kannst ja gerne mal in Numerikbücher/Numerikskripte reingucken. Und Differentialgleichungen tauchen in vielen Anwendungsbereichen auf, vgl. etwa ![[]](/images/popup.gif) Auftreten und Anwendungen (Differentialgleichung).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mo 20.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ralph,
> > die Aufgabe ist gar nicht eindeutig lösbar. Du hast hier
> > nun mit dem Sherlock-Holmes-Weg eine Funktion [mm]f\,[/mm] (auf [mm]\IR[/mm]
> > definiert) angegeben
>
> > Also wäre [mm]g(x):=f(x)+h(x)=f(x)+e^{-x}=x^{2}+x+3+e^{-x}[/mm]
> > schonmal eine weitere Funktion, ...
>
> Wie käme Sherlock Homes auf die Sache mit dem e ?
> Wenn er einen Verdacht hat, dass es noch einen Mittäter
> geben könnte, müsste alle möglichen und unmöglichen
> Funktionen daraufhin prüfen, ob irgendwo ein f(x)=-f'(x)
> ist.
>
> Das trifft für [mm]f(x)=e^{-x}[/mm] zu. Woher hattest du diesen
> Verdacht?
dieser Verdacht beruhte auf der Erfahrung, dass [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] die Ableitung [mm] $f'=f\,$ [/mm] hat. Wegen der Kettenregel liegt es dann nahe, [mm] $x\,$ [/mm] durch [mm] $-x\,$ [/mm] zu ersetzen und zu prüfen, ob diese Funktion das gewünschte leistet.
Mathematisch kann man das auch durchaus herleiten:
Wir suchen eine Funktion [mm] $f(x)\,$ [/mm] mit $f'(x)=-f(x)$ für alle [mm] $x\,$. [/mm] Nehmen wir zunächst einfach mal an, dass $f(x) > [mm] 0\,$ [/mm] für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt, so folgt
[mm] $$\frac{f'(x)}{f(x)}=-1\,$$
[/mm]
für alle [mm] $x\,.$ [/mm] Integration liefert
[mm] $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx=\int -1\;dx\,.$$
[/mm]
Substitutiert man nun $y=f(x)$ [mm] ($>\, [/mm] 0$ für alle [mm] $x\,$), [/mm] so ist [mm] $dy=f'(x)\;dx$ [/mm] und es folgt
[mm] $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\;dx=\int \frac{1}{y}dy=\ln(y)$$
[/mm]
und damit wegen [mm] $y=f(x)\,$
[/mm]
[mm] $$\ln(f(x))=-x+\text{const}\,.$$
[/mm]
Anwendung von [mm] $\exp(.)$ [/mm] liefert nun [mm] $f(x)=e^{-x}*e^{\text{const}}\,.$
[/mm]
Setzt man nun [mm] $\text{const}=0,\,$ [/mm] so erhältst Du die von mir vorgeschlagene Funktion [mm] $f(x)=e^{-x},$ [/mm] welche $f'+f=0$ erfüllt.
Gruß,
Marcel
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