Funktionaldeterminante < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 28.12.2008 | | Autor: | mofbaum |
| Aufgabe | Funktionaldeterminante und Jacobi-Matrix
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich schreibe in mathe Facharbeit über das Thema Volumenberechnung durch mehrfache Integration.Zurzeit mache ich das Beispiel Kugel durch und hab ein paar Fragen bezüglich Formulierungen und so was. Ich hab jetzt die x,y,z Koordinanten in Kugelkoordinaten r,Theta,Phi angegeben.Jetzt macht man aber ja um zu rechnen die Jacobi-Matrix bzw davon die Funktionaldeterminante.Jetzt ist meine Frage: was genau macht die Funktionaldeterminante? Macht die aus Kugelkoordinaten wieder kartesische Koordinaten oder was kann man da als Begründung schreiben?Also warum macht man das alles mit Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante?Vielen Dank.
Ach ja ich suche noch jemand der vll Lust hat sich meine Facharbeit nach fertigstellung mal anzuschauen.Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 So 28.12.2008 | | Autor: | zetamy |
> Funktionaldeterminante und Jacobi-Matrix
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo!
> Ich schreibe in mathe Facharbeit über das Thema
> Volumenberechnung durch mehrfache Integration.Zurzeit mache
> ich das Beispiel Kugel durch und hab ein paar Fragen
> bezüglich Formulierungen und so was. Ich hab jetzt die
> x,y,z Koordinanten in Kugelkoordinaten r,Theta,Phi
> angegeben.Jetzt macht man aber ja um zu rechnen die
> Jacobi-Matrix bzw davon die Funktionaldeterminante.Jetzt
> ist meine Frage: was genau macht die
> Funktionaldeterminante? Macht die aus Kugelkoordinaten
> wieder kartesische Koordinaten oder was kann man da als
> Begründung schreiben?Also warum macht man das alles mit
> Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante?Vielen Dank.
Erstmal: Es ist oft schwerer über kartesische Koordinaten zu integrieren, als über Polar- bzw Kugelkoordinaten. Also substituiert man. Und das war bereits das Schlüsselwort! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Am einfachsten machst du dir das am eindimensionalen Fall klar, also für stetige Funktionen der Form $f: I [mm] \rightarrow \IR$. [/mm] Um ein Integral der Form [mm] $\int_{g(a)}^{g(b)} [/mm] f(z) dz$ zu berechnen, benutzt man oft die ![[]](/images/popup.gif) Substitutionsregel:
[mm] $\int_{g(a)}^{g(b)} [/mm] f(z) [mm] dz=\int_a^b f(g(x))\cdot [/mm] g'(x) dx$, wobei $g: [a,b] [mm] \rightarrow [/mm] I$.
Im mehrdimensionalen Fall, also $f: g(U) [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $g(U)\subset\IR^n$, [/mm] heißt die Substitutionsregel Transformationsformel:
[mm] $\int_{g(U)} [/mm] f(z) [mm] dz=\int_U f(g(x))\cdot\det [/mm] |Dg(x)|dx$, wobei $g: U [mm] \rightarrow \IR^n$. [/mm]
Beim Wechsel von kartesischen zu polaren Koordinaten, wendet man diese Regel ebenfalls an. Zum Beispiel ist für Kreiskoordinaten $g: [mm] ]0,1[\times ]0,\pi[ \rightarrow \IR^2$ [/mm] mit [mm] $g(r,t)=(r\cos(t),r\sin(t))$ [/mm] und [mm] $g(]0,1[\times ]0,\pi[)=B_2$, [/mm] wobei [mm] $B_2$ [/mm] den Kreis bezeichnet.
Ich hoffe, das ist klar geworden.
> Ach ja ich suche noch jemand der vll Lust hat sich meine
> Facharbeit nach fertigstellung mal anzuschauen.Danke
Ist das denn erlaubt? 
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 28.12.2008 | | Autor: | mofbaum |
| Aufgabe | | Funktionaldeterminante und Jacobi-Matrix |
Ist es dann so dass die Jacobi-Matrix mit Funktionaldeterminante die Resubstitution ist oder was?Ich hab ja meinen vektor r(x,y,z) umgewandelt in r(r sin theta cos phi,r sin theta sin phi ,r cos theta).Damit ist der ja in Kugelkoordinaten.Ist das jetzt schon die Substitution oder ist des nur einfaches umwandeln?Mein Problem ist nämlich dass ich nicht weiß wie ich es begründe dass ich die Jacobi-Matrix mit Funktionaldeterminante überhaupt benutze und nicht einfach mit dem x= r sin theta cos phi y=r sin theta sin phi z=r cos theta Term irgendwie integriere.Kann man sagen dass die Funktionaldeterminaten aus Kugelkoordinaten wieder kartesische macht?
> Ach ja ich suche noch jemand der vll Lust hat sich meine
> Facharbeit nach fertigstellung mal anzuschauen.Danke
Ist das denn erlaubt?
Ich denk mal es ist nicht verboten weil ich schreib sie ja selber es geht mir nur darum grobe Fehler zu vermeiden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mo 29.12.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
ich habe einen Fehler gemacht: die Transformationsformel lautet $ [mm] \int_{g(U)} [/mm] f(z) [mm] dz=\int_U f(g(x))\cdot \det [/mm] |Dg(x)| dx $, also über die Determinante der Jacobimatrix [mm] $\det|Dg(x)|$ [/mm] muss integriert werden (und nicht über [mm] $\det [/mm] |g(x)|$, wäre ja Blödsinn). Ich werde den Fehler auch in meiner ersten Antwort korrigieren.
> Ist es dann so dass die Jacobi-Matrix mit
> Funktionaldeterminante die Resubstitution ist oder was?
Zumindest ein Teil der Resubstitution (man spricht hier von (Re-)Transformation). Die Jacobimatrix $Dg(x)$ für $ g: U [mm] \rightarrow \IR [/mm] $ mit $ [mm] U\subset\IR^n [/mm] $ ist die Ableitung. Da diese eine Matrix ist, musst du mit der Determinante [mm] $\det|Dg(x)|$ [/mm] rechnen. Also entspricht [mm] $\det|Dg(x)|$ [/mm] in der Transformationsformel der Ableitung $g'(x)$ aus der Substitutionsformel, gehört also zur "Substitution" bzw. zur Transformation.
> Kann man sagen dass die Funktionaldeterminaten
> aus Kugelkoordinaten wieder kartesische macht?
Nein. Du transformierst die kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten. Die Determinante ist, wie gesagt, Teil der Transformation. Stell dir zum Beispiel ein Rechteck in kartesischen Koordinaten vor, das du auf die Kugel abbildest. Das Rechteck auf der Kugel wirkt dann verzerrt. Das beste Beispiel ist eine Weltkarte (bzw. ein Teil/Ausschnitt davon) und eine Weltkugel. Zur Veranschaulichung kannst du dir eine Weltkugel oder einen Fußball o.ä. nehmen und ein kleines Rechteck aus Papier darauf legen. Du musst die Ecken auf die Kugel drücken damit das Rechteck vollständig auf ihr liegt. Die Determinante gibt diesen "Korrekturprozess" wieder.
>>> Ach ja ich suche noch jemand der vll Lust hat sich meine
>>> Facharbeit nach fertigstellung mal anzuschauen.Danke
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>> Ist das denn erlaubt?
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> Ich denk mal es ist nicht verboten weil ich schreib sie ja
> selber es geht mir nur darum grobe Fehler zu vermeiden.
Ich empfehle dir nachzufragen, denn falls dein Lehrer im Internet auf deine Anfrage stößt... weiß man nicht wie er reagiert. Du solltest dann auch in deiner Facharbeit erwähnen, dass sie jemand durchgesehen hat und möglichst auch wer.
Gruß, zetamy
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