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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Hallo, habe gerade eine aufgabe mit Funktionalgleichungen. Diese Funktionalgleichung gilt für [mm] a^x [/mm] wenn ich das richtig sehe. Ich soll nun zeigen das f(0)=1 und [mm] f(-x)=\bruch{1}{f(x)} [/mm] Wie ist dieses zu lösen?
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> f(x+y)=f(x)*f(y)
> Hallo, habe gerade eine aufgabe mit Funktionalgleichungen.
> Diese Funktionalgleichung gilt für [mm]a^x[/mm] wenn ich das
> richtig sehe. Ich soll nun zeigen das f(0)=1 und
> [mm]f(-x)=\bruch{1}{f(x)}[/mm] Wie ist dieses zu lösen?
Hallo,
es ist sicher eine gute idee, wenn Du Dir klarmachst, daß 0=0*0,
also f(0)=f(0+0) und daraus Deine Schlüsse ziehst.
Bedenke, daß für jedes x gilt 0=x+(-x),
also f(0)=f(x+(-x)).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Ok das hatte ich mir auch überlegt, denke ich da zum umständlich wenn ich sage das f(x+y)=f(x)*f(y) = f(-x+y)=f(-x)*f(y) ist, wobei x und y gleich sind bis auf das Vorzeichen. Wenn man dann für f(-x) und f(y) zum Beispiel die Funktion [mm] x^2 [/mm] nimmt kommt dabei [mm] f(0)=-1^2*1^2=1 [/mm] raus. Kann man das so erklären? Wobei dieser Fall nur für 1 gültig wäre...
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> Ok das hatte ich mir auch überlegt, denke ich da zum
> umständlich wenn ich sage das f(x+y)=f(x)*f(y) =
> f(-x+y)=f(-x)*f(y) ist, wobei x und y gleich sind bis auf
> das Vorzeichen.
Hallo,
warum so verschleiert? Du arbeitest mit x und -x, wie ich doch schon gesagt hatte.
f(0)=f(x+(-x))= ...
Achso, vielleicht erkenne ich Dein Problem: f(x+y)=f(x)*(y) bedeutet einfach bloß f( 1.Zahl + 2.Zahl)= f(1.Zahl) + f(2.Zahl).
Wenn man dann für f(-x) und f(y) zum
> Beispiel die Funktion [mm]x^2[/mm] nimmt kommt dabei [mm]f(0)=-1^2*1^2=1[/mm]
> raus.
Das kapiere ich jetzt nicht...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Ja f(0)=f(-x+x)=f(0)=f(x)*f(-x) und bei f(x)*f(-x) muss 1 rauskommen. Soweit verstehe ich das. Aber man sieht ja jetzt nicht direkt das f(x)*f(-x)=1 ist, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
wobei aus f(x)*f(-x)=1 lässt sich direkt sehen das [mm] f(-x)=\bruch{1}{f(x)}
[/mm]
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> Ja f(0)=f(-x+x)=f(0)=f(x)*f(-x) und bei f(x)*f(-x) muss 1
> rauskommen. Soweit verstehe ich das. Aber man sieht ja
> jetzt nicht direkt das f(x)*f(-x)=1 ist, oder?
Nein.
Man sieht nur folgendes:
sofern [mm] f(x)\not=0, [/mm] ist [mm] f(-x)=\bruch{f(0)}{f(x)}.
[/mm]
Hast Du denn über f(0) schon etwas herausgefunden? Ich hatte Dir ja einen Tip gegeben.
(Ich frag's jetzt doch: wie lautet eigentlich die korrekte Aufgabenstellung, oder anders gefragt: steht da was davon drin, daß f nicht die Nullfunktion sein soll?)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Die Aufgabenstellung ist so wie vorhanden, keine weiteren Infos.h
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Ich wäre davon ausgegangen das die Funktion im Nullpunkt stetig ist.
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> Ich wäre davon ausgegangen das die Funktion im Nullpunkt
> stetig ist.
Was hast Du denn jetzt über f(0) herausgefunden?
Welche beiden Möglichkeiten gibt es?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Ich sehe nur das ich für die Funktion einen positiven x-Wert und einen negativen x-Wert einsetze und das Produkt dieser beiden Funktionen soll 1 sein. Und zwar dann wenn f(x+y)=f(0) ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Di 25.08.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
berechne mal (unter Verwendung deiner Funktionalgleichung) f(x+0).
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Da komme ich auf [mm] f(x)=\bruch{f(0)}{f(-x)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Di 25.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Equinox!
Das erstaunt mich. ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie kommst Du darauf, wenn Du hier abakus' Tipp befolgst?
[mm] $$\red{f(x) \ =} [/mm] \ f(x+0) \ = \ [mm] \red{f(x)*f(0)}$$
[/mm]
Und nun diese Gleichung nach $f(0) \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Di 25.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Ich könnte mich gerade, ach egal, ja umgestellt ist es dann tatsächlich f(0)=1
Danke nochmal für die Hilfe, wenns auch schleppend war :(
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> ach egal, ja umgestellt ist es
> dann tatsächlich f(0)=1
Hallo,
nein.
Du erhältst dann, daß f(0)=1 ist oder f(x)=0 für alle x.
Sofern f nicht die Nullfunktion ist, hat man f(0)=1.
Daher vorhin meine Frage nach der Aufgabenstellung bzw. nach der Nullfunktion.
Gruß v. Angela
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> f(x+y)=f(x)*f(y)
> Hallo, habe gerade eine Aufgabe mit Funktionalgleichungen.
> Diese Funktionalgleichung gilt für [mm]a^x[/mm] wenn ich das
> richtig sehe. Ich soll nun zeigen das f(0)=1 und
> [mm]f(-x)=\bruch{1}{f(x)}[/mm] Wie ist dieses zu lösen?
Diese Funktionalgleichung gilt insbesondere auch
für die Nullfunktion [mm] f:x\mapsto [/mm] 0
Für diese sind beide Behauptungen falsch.
Al-Chw.
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