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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Mo 30.05.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IK \to \IW [/mm] mit [mm] f(x)=2\pi [/mm] x + sin [mm] (\pi [/mm] x).
(a) Bestimmen sie [mm] \IK [/mm] größtmöglich sowie [mm] f(\IK) [/mm] und zeigen
Sie, dass f'(x)>0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IK.
[/mm]
(b) Die unter (a) nachgewiesene Eigenschaft ist
hinreichend dafür, dass f eine Umkerhfunktion
[mm] f^{-1}:\IW \to \IK [/mm] bestitzt. Berechnen Sie den Wert
der Ableitung von [mm] f^{-1} [/mm] an der Stelle f(1).
Hinweis: Es ist nicht nötig, die Umekehrfunktione zu
berechnen. |
Hallo,
mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was überhaupt bei (a) verlangt ist. Ich wüsste nicht, was die da von mir haben wollen bzw was ich ausrechen soll. Zu (b): Wenn es nicht nötig ist, eine Umkehrfunktion zu errechnen, heißt das, ich kann die normal Funktion einfach ableiten und davon eine Umkehrfunktion bilden?
LG
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Hallo,
so wie ich das verstehe, soll in a) nichts anderes als der maximale Definitionsbereich von f bestimmt werden und auf diesem maximalen Definitionsbereich dann die strenge Monotonie gezeigt werden, welche ja hinreichende Bedingung für die Existenz einer Umkehrfunktion ist.
In Aufgabe b) geht es um folgende Problematik: zwar ist f umkehrbar, jedoch lässt sich die Umkehrfunktion nicht geschlossen darstellen. Nun sollst du deine Kenntnisse darüber, wie die Schaubilder einer umkehrbaren Funktion f: [mm] \IR->\IR [/mm] und ihrer Umkehrfunktion im kartesischen Koordinatensystem zueinander liegen, anwenden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mo 30.05.2011 | | Autor: | al3pou |
also ich hab die Funktion mal zeichnen lassen und sehe dann, dass sie eigentlich für [mm] \IR [/mm] definiert ist. Darüberhinaus ist sie noch monoton wachsend also muss f'(x) > 0 sein.
Aber wie würde ich das jetzt für den ersten Teil berechnen, also das mit der Definitionsmenge? Das mit dem f'(x) würde ich einfach mittels Induktion zeigen. Geht das?
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Hallo,
> also ich hab die Funktion mal zeichnen lassen und sehe
> dann, dass sie eigentlich für [mm]\IR[/mm] definiert ist.
> Darüberhinaus ist sie noch monoton wachsend also muss
> f'(x) > 0 sein.
> Aber wie würde ich das jetzt für den ersten Teil
> berechnen, also das mit der Definitionsmenge?
das ist keine Rechen- sondern eine Denkaufgabe.  Insofern hilft dir die Zeichnung vielleicht auf die Sprünge, aber du musst es im Prinzip irgendwie begründen. Was hier aber sehr einfach ist, da sowohl Polynome als auch die Sinusfunktion auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert sind.
> Das mit dem
> f'(x) würde ich einfach mittels Induktion zeigen. Geht
> das?
Ich kann mir zwar noch nicht einmal ansatzweise vorstellen, was du hier machen willst, aber ich versteige mich dennoch zu der Ansage: nein, das geht nicht.
Überlege dir, was für die Graphen von f und von [mm] f^{-1} [/mm] aus der Bijektivität folgend gelten muss. Die Antwort liefert dir eine sehr einfache Berechnungsmethode für den gesuchten Ableitungswert.
Wenn du schon beim Zeichnen bist: betrachte doch mal die e-Funktion und die ln-Funktion zusammen in einem Koordinatensystem, vielleicht geht dir dabei ein (gespiegeltes) Licht auf. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mo 30.05.2011 | | Autor: | al3pou |
hmmm ich komm irgendwie nicht drauf.
Ich würde das für (a) jetzt so schreiben:
h(x) = [mm] 2\pi [/mm] x ist stetig
g(x) = [mm] sin(\pi [/mm] x) ist stetig
-> also ist auch f(x) = h + g stetig
Und bei dem zweiten Teil von (a) kann man einfach sagen, dass die Sinusfunktion nie [mm] \le [/mm] -1 wird. Folglich ist
[mm] f_{min}' [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] - [mm] \pi [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
Und somit nie kleiner als 0.
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Hallo,
es geht hier nicht um Stetigkeit! Und um f'(x)>0 zu zeigen, betrachte die Ableitung.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Mo 30.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Ich habe doch die Ableitung betrachtet. Oh aber hab was falsch gemacht beim ableiten. Kommt aber im Endeffekt das selbe raus.
f'(x) = [mm] 2\pi [/mm] + [mm] \pi cos(\pi [/mm] x)
und diese Funktion wird nie kleiner als [mm] \pi, [/mm] da der cos minimal -1 wird und somit steht da ja dann [mm] 2\pi [/mm] - [mm] \pi [/mm] und das ist [mm] \pi.
[/mm]
Oh und aus dem Stetig folgt doch, dass die Funktion auf komplett [mm] \IR [/mm] definiert ist. Nicht?
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Hallo,
jetzt ist es schon ok. Nur vorher hast du im Zusammenhang mit der Ableitung noch von der Sinusfunktion gesprochen...
Und nun auf zu Teil b).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Mo 30.05.2011 | | Autor: | al3pou |
wäre dann die Umkehrfunktion
[mm] f^{-1} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel[2]{1-(\pi x)^{2}}} [/mm] ?
Ich wüsste nicht, wie ich sonst etwas mache. Bijektivität sagt mir nix, aber das mit der Umkehrfunktion ist bestimmt eh falsch nebenbei, muss man keine berechnen.
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Hallo,
> Ich wüsste nicht, wie ich sonst etwas mache. Bijektivität
> sagt mir nix, aber das mit der Umkehrfunktion ist bestimmt
> eh falsch nebenbei, muss man keine berechnen.
man kann keine Umkehrfunktion in dem Sinne berechnen, wie du das meinst. Es ist ein wenig wie bei Stammfunktionen: oft gibt es sie, aber man kann sie nicht als geschlossenen Term angeben.
Was ich nicht so ganz verstehe, ist: weshalb versuchst du nicht, dir das ganze mal graphisch im Koordinatensystem klar zu machen. Wenn du ein wenig darüber nachdenkst, so wirst du erkennen, dass die Graphen von Funktion unsd Umkehrfunktion an einer ganz bestimmten Spiegelachse (Achtung: es ist keine der Koordinatenachsen!) gespiegelt sind. Und wenn du das erkannt hast, wird die restliche Aufgabe zu einem Zweizeiler.
Gruß, Diophant
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