Funktionen auf konvexen Mengen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Mi 13.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Sei f eine reelle Funktion, definiert auf einer offenen, konvexen Menge E [mm] \subset \IR^n [/mm] mit [mm] (D_{1}f)(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] E. Beweisen Sie, dass f(x) nur von [mm] x_{2},..., x_{n} [/mm] abhängig ist. |
Hallo,
tut mir leid, aber ich komm bei dieser Aufgabe auf gar keinen echten Ansatz, bin schon am Verzweifeln. Ich hoffe dennoch, dass jemand von euch mir einen ersten Tipp geben kann mit dem ich dann weitermachen kann...
Vielen Dank jedenfalls schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir halten mal [mm] x_2, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] fest und betrachten
$I:= [mm] \{t \in \IR: (t,x_2,...,x_n) \in E \}$
[/mm]
Mache Dir klar, dass $I$ ein ein offenes Intervall in [mm] \IR [/mm] ist (dazu benötigst Du, dass E offen und konvex ist).
Nun definiere $g:I [mm] \to \IR$ [/mm] durch $g(t) := [mm] f(t,x_2,...,x_n)$
[/mm]
Was kannst Du aus der Vor. $ [mm] (D_{1}f)(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] E$ für die Ableitung $g'$ folgern ?
Und was dann für $g$ selbst ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Do 14.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Wir halten mal [mm]x_2,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] fest und betrachten
>
> [mm]I:= \{t \in \IR: (t,x_2,...,x_n) \in E \}[/mm]
>
> Mache Dir klar, dass [mm]I[/mm] ein ein offenes Intervall in [mm]\IR[/mm] ist
> (dazu benötigst Du, dass E offen und konvex ist).
>
> Nun definiere [mm]g:I \to \IR[/mm] durch [mm]g(t) := f(t,x_2,...,x_n)[/mm]
>
> Was kannst Du aus der Vor. [mm](D_{1}f)(x)=0 \forall x \in E[/mm]
> für die Ableitung [mm]g'[/mm] folgern ?
>
> Und was dann für [mm]g[/mm] selbst ?
Dass g´=0 ist, unabhängig vom t. Dann hab ich den Pseudo-Mittelwertsatz verwendet und damit gezeigt, dass auch g unabhängig vom t ist und somit auch f.
Vielen Dank nochmal für deinen Tipp.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Do 14.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Pseudo-Mittelwertsatz
wie geht denn der ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Do 14.01.2010 | | Autor: | ms2008de |
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> > Pseudo-Mittelwertsatz
>
>
> wie geht denn der ?
Sei f:[a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] stetig und differenzierbar auf (a,b). Dann existiert ein [mm] \xi \in [/mm] (a,b) mit: [mm] \|f(b) [/mm] - [mm] f(a)\| \le \| f'(\xi )\|(b-a)
[/mm]
Viele Grüße
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