Funktionen der Klasse C² < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:38 Mo 23.09.2013 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | a) Warum gibt es keine Funktion [mm] $f:\IR^2 \to \IR$ [/mm] der Klasse [mm] $C^2$ [/mm] mit
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y) = xy*cos(xy)$ und [mm] $\bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (x,y) = [mm] x^2*cos(xy)-1$ [/mm]
für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ?
b) Finde alle [mm] $C^\infty$Funktionen $f:\IR^2 \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (x,y) = sin(xy) + xy*cos(xy)$ und [mm] $\bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (x,y) = [mm] x^2*cos(xy)-1$ [/mm]
für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ? |
Hallo zusammen,
meine Klausur rückt so langsam recht nah und hoffe, dass ich hier evtl. noch recht schnell Hilfe für die letzten Altklausur-Aufgaben finde, da ich derzeit sowieso zwei Drittel des Tages auf dieser Seite hier verbringe.
Ich muss leider sagen, dass dies eine von zwei Aufgaben ist, wo ich wirklich keine Idee habe, wie ich hier anfangen muss oder wie man hier zu einer Lösung kommt.
Daher wäre ich sehr erfreut, wenn ich vielleicht einen etwas größeren Ansatz oder Lösungsidee hierzu bekommen könnte.
Es wäre für mich sehr erfreulich, wenn ich bis zum Ende des Tages verstehen könnte, wie ich so eine Art von Aufgabe löse, auch wenn vielleicht die Funktionen etwas anders aussehen. (das wäre wirklich ideal)
Hoffnungsvolle Grüße,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mo 23.09.2013 | | Autor: | hippias |
Fuer die erste Frage scheint mir der Satz von Schwarz hilfreich zu sein. Bei der zweiten Aufgabe wuerde ich zuerst die zweite Gleichung nach $y$ integrieren, dann einen Koeffizientenvergleich mit der ersten machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mo 23.09.2013 | | Autor: | ggT |
Hallo,
zu a)
also der Satz von Schwarz sagt doch aus, dass $f_xy(x,y)=f_yx(x,y)$ ist, soweit ich weiß.
Das würde für mich bedeuten, dass ich die erste Funktion nach der Variablen $y$ partiell ableiten muss und die zweite Funktion nach $x$, was ich dann mit der Produktregel hinbekomme:
$ [mm] f_x [/mm] (x,y) = [mm] xy\cdot{}cos(xy) [/mm] $
$ [mm] f_y [/mm] (x,y) = [mm] x^2\cdot{}cos(xy)-1 [/mm] $
$ [mm] f_{xy} [/mm] (x,y) = x*cos(xy)+xy*(-sin(xy))*x = xcos(xy)-x^2ysin(xy) $
$ [mm] f_{yx} [/mm] (x,y) = [mm] 2x*cos(xy)+x^2*(-sin(xy))*y [/mm] = 2x*cos(xy)-x^2y*sin(xy)$
Wie man nun sieht sind die partiellen Ableitungen [mm] $f_{xy}$ [/mm] und [mm] $f_{yx}$ [/mm] nicht identisch, von daher gibt es keine Funktion der Klasse [mm] $C^2$.
[/mm]
Ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich nicht weiß, ob dies zumindest nun ansatzweise in die richtige Richtung ging.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mo 23.09.2013 | | Autor: | hippias |
Ich habe Deine Rechnungen nicht ueberprueft, aber der Gedankengang ist richtig.
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