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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Fr 17.11.2006 | | Autor: | denwag |
Hallo, ich hab zwei hausaufgaben bekommen, und blicke gar nicht durch, kann mir jemand helfen es zu verstehen? ich weiß nichtmal wie ich ran gehen muss an die aufgabe.
also hier die aufgaben schonmal:
untersuchen sie ob die folgenden funktionen stetig fortsetzbar sind:
a) f: [mm] \IR^{2} [/mm] \ [mm] \{ \vektor{0\\ 0} \} \to \IR, \vektor{x \\ y} \mapsto \bruch{x\cdot{}y^{2}}{x^{2} + y^{4}} [/mm]
b) g: [mm] \IR^{2} [/mm] \ [mm] \{ \vektor{0\\ 0} \} \to \IR, \vektor{x \\ y} \mapsto \bruch{x^{2}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm]
vielleicht kann mir jemand bei a helfen. ich mach dann b alleine. und vielleicht kannst du b dann kontrollieren.
ich danke schonmal.
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Betrachte bei a) zum Beispiel die Folgen
[mm](x_n,y_n) = \left( \frac{1}{n} , 0 \right)[/mm] bzw. [mm](x_n,y_n) = \left( \frac{1}{n} , \sqrt{\frac{1}{n}} \right)[/mm]
für [mm]n \to \infty[/mm] und wende [mm]f[/mm] auf sie an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Fr 17.11.2006 | | Autor: | denwag |
Danke schonmal. aber wie kommst du darauf?
Kannst du mir deine denkweise erklären?
Danke
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Ich habe schlichtweg probiert. Ich habe möglichst einfache Folgen gesucht, die gegen [mm](0,0)[/mm] konvergieren. Und es schien mir vernünftig, etwas mit Wurzeln zu probieren, da diese durch das Quadrieren wegfallen, so daß einfache Terme entstehen. Und dann noch das nötige Quentchen Glück ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 17.11.2006 | | Autor: | denwag |
ich hatte ähnliche aufgaben, wie diese. aber hast du nicht nur auf stetigkeit untersucht und nicht auf stetig fortsetzbar?
danke
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Die Frage verstehe ich nicht ganz. Die Stetigkeit der gegebenen Funktion ist ja klar. Wenn also nach stetiger Fortsetzbarkeit gefragt ist, kann es nur um die Stelle gehen, an der [mm]f[/mm] bislang noch nicht definiert ist, also um [mm](0,0)[/mm].
Und? Ist [mm]f[/mm] nun nach [mm](0,0)[/mm] stetig fortsetzbar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Fr 17.11.2006 | | Autor: | denwag |
Also ich hab jetzt die Folgen [mm] (x_{n}, y_{n}) [/mm] = ( [mm] \bruch{1}{n},0 [/mm] ) bzw. [mm] (x_{n}, y_{n}) [/mm] = ( [mm] \bruch{1}{n}, \wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] ) eingesetzt und nach n [mm] \to \infty [/mm] ausgerechnet.
ergebnis war einmal 0, also gegen 0
und 2, also auch gegen 2.
Das heißt, dass die Funktion im punkt (0,0) stetig ist.
habe ich das jetzt richtig verstanden?
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[mm]f[/mm] ist mit Sicherheit in [mm](0,0)[/mm] nicht stetig. Es ist aber auch nicht unstetig. Die Frage nach der Stetigkeit verbietet sich, und zwar einfach deshalb, weil [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm] gar nicht definiert ist. Du kannst also höchstens nach der stetigen Fortsetzbarkeit fragen. Es geht also darum, ob man die Definition von [mm]f[/mm] so ergänzen kann, daß die neue Funktion, nennen wir sie etwa [mm]f*[/mm], in [mm](0,0)[/mm] stetig wird. Angenommen, das ginge, dann müßte sich bei jeder Art der Annäherung an [mm](0,0)[/mm] derselbe Grenzwert ergeben. Wie du aber selbst festgestellt hast, ist das nicht der Fall (bei der zweiten Folge hast du noch einen Rechenfehler). Was folgt also hinsichtlich der stetigen Fortsetzbarkeit?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Fr 17.11.2006 | | Autor: | denwag |
ja, du hast recht in der zweiten kommt [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus.
richtig?
und nach der definition, kann man dann sagen das diese f* nicht stetig ist, da wir unterschiedliche ergebnisse herausbekommen.
Richtig?
Viellen dank nochmal. Sehr nett von dir
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Irgendwie stimmt es, aber du hast es noch etwas verquer ausgedrückt. Du kannst nicht sagen, daß "dieses [mm]f*[/mm] nicht stetig ist". Denn es gibt ja überhaupt kein [mm]f*[/mm]. Du mußt sagen: Es gibt kein [mm]f*[/mm], das in [mm](0,0)[/mm] erklärt und ansonsten wie [mm]f[/mm] definiert ist, welches in [mm](0,0)[/mm] stetig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Fr 17.11.2006 | | Autor: | denwag |
aha, danke dir.
zu b)
da hab ich [mm] (x_{n}, y_{n}) [/mm] = ( [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}}, \bruch{1}{n} [/mm] ) gewählt und es gegen n -> [mm] \infty [/mm] laufen lassen.
ich bekomme 0 raus.
dann hab ich noch (0, [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] gewählt und 0 erhalten.
jetzt kann ich auch wieder sagen das die funktion stetig fortsetzbar ist, da wir gleiche grenzwerte herausbekommen.
richtig?
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Bei deiner ersten Folge bekomme ich aber [mm]\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/mm] heraus. Und das geht gegen 0 für [mm]n \to \infty[/mm]. Den gewünschten Widerspruch hast du also nicht erhalten. Vielleicht kannst du mit der folgenden Abschätzung etwas anfangen:
[mm]0 \leq \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} \leq \frac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \sqrt{x^2 + y^2} = \left| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right|[/mm]
Die senkrechten Striche bezeichnen hierbei die euklidische Norm.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Fr 17.11.2006 | | Autor: | denwag |
ich probier es die ganze zeit, aber irgendwie, wenn ich halt [mm] (\wurzel{1/n}, [/mm] 1/n) einsetze geht es nicht auf?
was soll ich jetzt tun? ich hab wie ich es bewiesen habe reicht es.
hm...
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Du wirst keinen Erfolg damit haben, einen Widerspruch herbeizuzwingen, und zwar einfach deshalb, weil diese Funktion im Ursprung stetig ergänzbar ist. Genau das zeigt übrigens meine Abschätzung.
Schau noch einmal genau die Definition der Stetigkeit an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Fr 17.11.2006 | | Autor: | denwag |
ja, ich weiß. wenn wir gleiche grenzwerte bekommen, ist dei funktion gegen (0,0) stetig.
aber reicht es nicht so wie ich es gezeigt habe?
muss ich deine abschätzung benutzen? kapiere sie nämlich nicht.
danke das du mir hilfst.
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Nun, ich behaupte, daß die Funktion
[mm]f^{\star}(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} & \mbox{für} \ (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{für} \ (x,y) = (0,0) \end{cases}[/mm]
in [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] stetig ist. Da ist also zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm] zu bestimmen, so daß
[mm]\left| f^{\star}(x,y) - f^{\star}(x_0,y_0) \right| < \varepsilon[/mm] für [mm]\left| (x,y) - (x_0,y_0) \right| < \delta[/mm]
Und wenn man jetzt [mm](x_0,y_0) = (0,0)[/mm] einsetzt und die Definition von [mm]f^{\star}(0,0)[/mm] verwendet, reduziert sich alles auf den Nachweis von
[mm]\left| f^{\star}(x,y) \right| < \varepsilon[/mm] für [mm]\left| (x,y) \right| < \delta[/mm]
Die von mir angegebene Abschätzung zeigt aber, daß man [mm]\delta = \varepsilon[/mm] wählen kann. Fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Fr 17.11.2006 | | Autor: | denwag |
aber geht es auch ohne die abschätzung? oder muss ich es mit abschätzung zeigen?
danke dir
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Was du auf keinen Fall machen kannst, ist, zwei gegen [mm](0,0)[/mm] konvergierende Folgen auszuprobieren, für die die Funktionswerte beide Male gegen 0 streben, und dann zu sagen: Hurra! Die Funktion ist stetig. Denn die Stetigkeit wäre nur dann bewiesen, wenn du das für alle Folgen mit Grenzwert [mm](0,0)[/mm] gezeigt hättest. Da ist doch ein [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Beweis einfacher. Und meine Abschätzung liefert einen solchen ja sofort. Wenn dir dieser Beweis aber nicht gefällt, darfst du auch nach einem anderen suchen. Ich würde nie behaupten, daß mein Beweis der alleinig richtige und ästhetisch schönste ist. Es ist einfach nur einer.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:07 Sa 18.11.2006 | | Autor: | denwag |
hallo, ich danke dir nochmal.
kannst du mir den beweis aber nochmal genau schildern.
damit ich ihn meiner arbeitsgruppe auch erklären kann. würde mich freuen.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 20.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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