Funktionen mehrerer Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute
Hier die Aufgabenstellung:
Gegeben sei [mm] z=x_{1}^p....x_{n}^pexp(a_{1}x_{1}+....+a_{n}x_{n}), [/mm] wobei [mm] a_{1},......,a_{n} [/mm] und p Konstanten sind. Bestimmen Sie die paritellen Elastizitäten von z bezüglich [mm] x_{1},.....,x_{n}.
[/mm]
Die Lösung wäre [mm] El_{i}z= p+a_{i}x_{i} [/mm] für i = 1,....,n
In der Aufgabenstellung verwirrt mich vor allem das exp. Könnt mir da helfen, wie ich da vorgehen muss?
Lieber Gruss
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Di 08.03.2011 | | Autor: | QCO |
Also die partielle Elastizität einer Funktion [mm]f = f(x_1, x_2, ...)[/mm] ist definiert als als [mm]\varepsilon_{f,i} = \bruch{\partial f(x_1, x_2, ...)}{\partial x_i} * \bruch{x_i}{f(x_1, x_2, ...)}[/mm].
Mit [mm]exp(a_1 x_1 + a_2 x_2 + ...)[/mm] ist [mm]e^{a_1 x_1 + a_2 x_2 + ...}[/mm] gemeint - das ist eine gängige Schreibweise der Exponentialfunktion.
Du musst also eine entsprechende partielle Ableitung [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_i}[/mm] bilden, d.h. die Funktion [mm]f[/mm] einfach so ableiten, als wären alle Variablen außer [mm]x_i[/mm] Konstanten.
|
|
|
| |
|
Man kann die Formel ja auch anders schreiben:
[mm] \bruch{\partial lnz}{\partial lnx_i}
[/mm]
Ich hab jetzt auf beiden Seiten den Log gebildet:
[mm] lnz=p*lnx_1....+lne^{a_1x_1....}
[/mm]
Stimmt das? Und wie weiter? Was ist [mm] \partial lnx_i?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 09.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man kann die Formel ja auch anders schreiben:
>
> [mm]\bruch{\partial lnz}{\partial lnx_i}[/mm]
Was machst Du hier ? Und wozu ?
QCO hats doch gesagt:
$ [mm] \varepsilon_{f,i} [/mm] = [mm] \bruch{\partial f(x_1, x_2, ...)}{\partial x_i} \cdot{} \bruch{x_i}{f(x_1, x_2, ...)} [/mm] $.
Rechne es doch einfach aus und Du wirst sehen, es kommt heraus:
[mm] $p+a_ix_i$
[/mm]
FRED
>
> Ich hab jetzt auf beiden Seiten den Log gebildet:
>
> [mm]lnz=p*lnx_1....+lne^{a_1x_1....}[/mm]
>
> Stimmt das? Und wie weiter? Was ist [mm]\partial lnx_i?[/mm]
|
|
|
| |
|
Ok ich habe es mal abgeleitet:
[mm] px_i^{p-1}*a_ie^{a_ix_i}
[/mm]
Das ist jetzt nur [mm] \bruch{\partialf}{\partialx_i} [/mm] abgeleitet und mit f dividiert (aus dem anderen Faktor [mm] \bruch{x_i}{f}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:56 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo blackkilla,
> Ok ich habe es mal abgeleitet:
>
> [mm]px_i^{p-1}*a_ie^{a_ix_i}[/mm]
>
> Das ist jetzt nur [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_i}[/mm] abgeleitet
> und mit f dividiert (aus dem anderen Faktor [mm]\bruch{x_i}{f}[/mm]
Nein, ist es nicht. Rechne deine Ableitung doch mal hier vor. Ich fürchte, du hast u.a. die Prokuktregel falsch/nicht angewandt...
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Ok dann leit ich mal z nach [mm] x_i [/mm] ab:
Das gibt bei mir [mm] px_i^{p-1}a_ix_ie^{a_ix_i-1}
[/mm]
Stimmt das? Und wie weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Do 31.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
also Du hast
[mm] f(x_1,...,x_n)=\produkt_{i=1}^{n}x_i^p*e^{\summe_{i=1}^{n}\alpha_i{x_i}}
[/mm]
Die Elastizität berechnet sich nach QCO durch
[mm] \epsilon_{f,i}=\bruch{\partial f(x_1, x_2, ...)}{\partial x_i} \cdot{} \bruch{x_i}{f(x_1, x_2, ...)} [/mm]
D.h.
[mm] \bruch{\partial f(x_1, x_2, ...)}{\partial x_i}=\bruch{p\produkt_{i=1}^{n}x_i^p}{x_i}*e^{\summe_{i=1}^{n}\alpha_i{x_i}}+\produkt_{i=1}^{n}x_i^p*e^{\summe_{i=1}^{n}\alpha_i{x_i}}\alpha_i
[/mm]
also
[mm] \epsilon_{f,i}=\left(\bruch{p\produkt_{i=1}^{n}x_i^p}{x_i}*e^{\summe_{i=1}^{n}\alpha_i{x_i}}+\produkt_{i=1}^{n}x_i^p*e^{\summe_{i=1}^{n}\alpha_i{x_i}}\alpha_i\right)*\bruch{x_i}{\produkt_{i=1}^{n}x_i^p*e^{\summe_{i=1}^{n}\alpha_i{x_i}}}
[/mm]
ausklammern ergibt
[mm] \epsilon_{f,i}=\produkt_{i=1}^{n}x_i^p*e^{\summe_{i=1}^{n}\alpha_i{x_i}}\left(\bruch{p}{x_i}+\alpha_i\right)\bruch{x_i}{\produkt_{i=1}^{n}x_i^p*e^{\summe_{i=1}^{n}\alpha_i{x_i}}}=p+\alpha_i{x_i}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hey vielen vielen Dank. Jetzt seh ichs. Doch leider habe ich noch ein paar Fragen:
Was ist der Unterschied zwischen diesem komischen pi-Zeichen und dem E-Zeichen? Warum i=1?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo blackkilla,
[mm]\prod[/mm] ist ein ein großes Pi und steht für "Produkt", [mm]\sum[/mm] ist ein großes Sigma und steht für "Summe".
Beide Zeichen haben einen Laufindex - oft [mm]i[/mm] genannt - und es gilt:
[mm]\prod_{i=1}^{n} a_i=a_1*a_2*a_3*\ldots *a_{n-1}*a_n[/mm]
[mm]\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2*a_3+\ldots +a_{n-1}+a_n[/mm]
Das sind also nur abkürzende Schreibweisen. In deiner ursprünglichen Aufgabenstellung steht ja [mm]z=x_{1}^p....x_{n}^p exp(a_{1}x_{1}+....+a_{n}x_{n})[/mm] und wie ullim schon geschrieben hat, kannst du das auch schreiben als
[mm]z=\prod_{i=1}^n x_i^p *\exp\left(\sum_{k=1}^n a_kx_k\right)[/mm].
Zu beachten ist allerdings, dass ullims Version (beide Laufindizes heißen $i$) etwas missverständlich ist: man könnte meinen, dass sich das Produkt auch auf die i-Indizes in der Exponentialfunktion bezieht. Das kannst du durch Setzen von Klammern oder durch Umbenennen der Indizes (wie ich es hier gemacht habe) beheben.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Was ist wenn ich i=2 setze?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 So 03.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
i ist ein "Laufindex" der nacheinender die werte 1,2,.. bis n annimmt, das kannst du nicht setzen.
wenn dir die summen und Produktzeichen nicht vertraut sind, lass sie weg und schreib statt [mm]\produkt_{i=1}^{n}x_i^p\textrm{ einfach } x_1^p*x^2^p...*x_n^p usw.
[/mm].
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 So 03.04.2011 | | Autor: | blackkilla |
Ok vielen Dank an alle, die mir hier wertvolle Tipps und Erklärungen gegeben haben!
|
|
|
|
