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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Sa 19.12.2009 | | Autor: | etoxxl |
Ich habe versucht zu beweisen, dass die Dirichlet-Funktion nicht stetig ist,
bin hierbei auf einige Wissenslücken gestossen.
Anscheinend verstehe ich die Grenzwertbildung von Funktionen nicht:
Definition
"Seien D bzw. W Teilmengen von [mm] \IR. [/mm] Man sagt, die Funktion
f : D [mm] \to [/mm] W habe in [mm] x_0 [/mm] den Grenzwert [mm] y_0, [/mm] wenn für jede Folge [mm] (x_n)_{n \in N}
[/mm]
in D mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_n \not= x_0 [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] N gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] y_0"
[/mm]
1) Was bedeutet "jede Folge" und wie kann man sich anschaulich vorstellen,
was "jede Folge in D" bedeutet?
2)Wie kann man sich anschaulich vorstellen wenn man eine Folge als Funktionwert in einer Funktion einsetzt: [mm] "f(x_n) [/mm] ?
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Hallo etoxxl,
Vielleicht helfen dir meine Antworten nicht unbedingt weiter,
das Problem ist, dass es auf deine Fragen wahrscheinlich nicht
die Universal-Antwort gibt...
> Ich habe versucht zu beweisen, dass die Dirichlet-Funktion
> nicht stetig ist,
> bin hierbei auf einige Wissenslücken gestossen.
> Anscheinend verstehe ich die Grenzwertbildung von
> Funktionen nicht:
>
> Definition
> "Seien D bzw. W Teilmengen von [mm]\IR.[/mm] Man sagt, die Funktion
> f : D [mm]\to[/mm] W habe in [mm]x_0[/mm] den Grenzwert [mm]y_0,[/mm] wenn für jede
> Folge [mm](x_n)_{n \in N}[/mm]
> in D mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]x_0[/mm] und [mm]x_n \not= x_0[/mm]
> für alle n [mm]\in[/mm] N gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm]
> = [mm]y_0"[/mm]
>
> 1) Was bedeutet "jede Folge" und wie kann man sich
> anschaulich vorstellen,
> was "jede Folge in D" bedeutet?
"Jede Folge in D" ist einfach die Menge aller Folgen, die die natürlichen Zahlen auf Zahlen in D abbilden.
Das heißt jede Folge [mm] $(x_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] hat die folgende Form:
[mm] $x_{n}:\IN\to [/mm] D: [mm] n\to x_{n}$.
[/mm]
Das heißt, nicht der Definitionsbereich der Folge ist D, sondern der Wertebereich (in D bedeutet, dass die Folgenglieder in D sind).
Bei deiner Funktion geht es nun aber nicht um "jede Folge aus D", sondern nur um
solche, die den vorgegebenen Grenzwert [mm] $y_{0}$ [/mm] haben.
Das bedeutet, dass diese Folgen [mm] (x_{n}) [/mm] zwar immer noch bei den ersten 1000000000 Gliedern (und sogar noch weiter!) irgendwie aussehen können, aber irgendwann müssen sie sich dem Grenzwert [mm] $y_{0}$ [/mm] nähern und dürfen ihn nicht mehr verlassen.
Ich finde es übrigens verwirrend, dass in eurer Definition ein [mm] y_{0} [/mm] als Grenzwertbezeichnung verwendet wird, besser wäre ein [mm] x_{0}.
[/mm]
Mit [mm] x_{0} [/mm] wird nämlich klarer, wozu die Folgen in dieser Definition eigentlich dienen: Sie geben praktisch eine Abfolge von x-Werten ein, die nacheinander in die Funktion eingesetzt werden sollen.
Und es muss eben "jede Folge" sein, weil es bestimmte Funktionen geben kann (zum Beispiel "einseitig" stetige Funktionen, d.h. links gehört der Funktionswert von [mm] x_{0} [/mm] noch zum Graphen, dann kommt zum Beispiel ein Sprung nach oben, und dann geht sie einfach stetig weiter), bei welchen die Folge [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] x_{0}-\frac{1}{n}$ [/mm] (eine linksseitige Näherung der x-Werte an [mm] x_{0}) [/mm] dann der Funktion an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] Stetigkeit bescheinigen würde.
Deswegen braucht man also auch so viele Folgen (alle), damit man diese Fehler ausschließen kann. Mit Folgen kannst du erreichen, dass nacheinander "irgendwie" x-Werte in die Funktion eingesetzt werden.
Zum Beispiel eben die Folgen
[mm] $x_{n} [/mm] = [mm] x_{0}-\frac{1}{n}$ [/mm] (linksseitige Näherung an [mm] x_{0})
[/mm]
[mm] $x_{n} [/mm] = [mm] x_{0}+\frac{1}{n}$ [/mm] (rechtsseitig)
[mm] $x_{n} [/mm] = [mm] x_{0}+(-1)^{n}*\frac{1}{n}$ [/mm] (von beiden Seiten)
...
"Jede Folge" hat also in etwa eines der drei obigen Aussehen, die liefern also schon eine gute Schablone für "alle".
> 2)Wie kann man sich anschaulich vorstellen wenn man eine
> Folge als Funktionwert in einer Funktion einsetzt: [mm]"f(x_n)[/mm]
Wie schon gesagt: Die Folge gibt also eine (geordnete) Menge von x-Werten an, die du nacheinander in die Funktion einzusetzen hast, zum Beispiel für [mm] $x_{n}\to [/mm] 1$:
[mm] $x_{1} [/mm] = 50, [mm] x_{2} [/mm] = 30, [mm] x_{3} [/mm] = -20, [mm] x_{4} [/mm] = 2, [mm] x_{5} [/mm] = -1, ...$
In der Definition oben ist es NICHT beabsichtigt, dass du sozusagen gleich die ganze Folge in die Funktion einsetzt, sondern sukzessive (nachfolgend) immer das nächste. Weil wenn du alle auf einmal einsetzt, erhältst du ja eine Menge, die schlecht gegen irgendwas konvergieren kann.
Und du musst nun, um die Stetigkeit der Funktion an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] = 1 überprüfen, ob egal welche x-Werte du einsetzt (Hauptsache sie nähern sich der 1), die Funktion dann auch gegen [mm] f(x_{0}) [/mm] geht.
Praktisch hast du also mit "Einsetzen" von [mm] x_{n} [/mm] in f wieder eine neue Folge [mm] $(f(x_{n}))_{n\in\IN}$, [/mm] deren Grenzwert du untersuchen musst.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Sa 19.12.2009 | | Autor: | etoxxl |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort, es wird langsam klarer!
Ich hätte dann direkt eine weitere Frage zu der Stetigkeit:
Ich habe mir jetzt eine Funktion überlegt, die einen Sprung macht:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \le 0 \\ x+1, & \mbox{für } x>0 \end{cases}
[/mm]
Da die Einzelfunktionen stetig sind, muss ich nur noch prüfen, ob die Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 stetig ist:
1) [mm] \varepsilon-\delta [/mm] kriterium:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und [mm] \delta [/mm] >0 mit [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Sei [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] (=) [mm] |x-0|=|x|<\delta
[/mm]
Fall 1: x [mm] \le [/mm] 0
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|=|x-0|=|x| [/mm] < [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn man von links kommt ist sie also stetig.
Fall 2: x > 0
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|x+1 [/mm] - [mm] (x_0+1) [/mm] | = |x+1-1|=|x|< [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Das kann ja nicht sein, wo ist hier der Fehler?
Folgernkriterium:
Für alle Folgen [mm] (x_n)\le [/mm] 0 mit [mm] (x_n)\to0
[/mm]
ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = f( [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n) [/mm] = f(0) = 0 = [mm] f(x_0)
[/mm]
Füe alle Folgen [mm] (x_n)>0 [/mm] mit [mm] (x_n)\to0
[/mm]
ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_n)=f(0) [/mm] = 1 [mm] \not= f(x_0)
[/mm]
Also ist f unstetig in [mm] x_0=0
[/mm]
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Sa 19.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich habe mir jetzt eine Funktion überlegt, die einen
> Sprung macht:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \le 0 \\ x+1, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
>
> Da die Einzelfunktionen stetig sind, muss ich nur noch
> prüfen, ob die Funktion an der Stelle [mm]x_0[/mm] = 0 stetig ist:
>
> 1) [mm]\varepsilon-\delta[/mm] kriterium:
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] und [mm]\delta[/mm] >0 mit [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> Sei [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] (=) [mm]|x-0|=|x|<\delta[/mm]
> Fall 1: x [mm]\le[/mm] 0
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|=|x-0|=|x|[/mm] < [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> Wenn man von links kommt ist sie also stetig.
>
> Fall 2: x > 0
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|x+1[/mm] - [mm](x_0+1)[/mm] | = |x+1-1|=|x|< [mm]\delta[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm]
> Das kann ja nicht sein, wo ist hier der Fehler?
Dein Fehler du musst direkt [mm] f(x_0)=f(0)=0 [/mm] einsetzen, das wäre auch für Fall 1 besser gewesen, [mm] f(0)\ne [/mm] f(0+1)
> Folgernkriterium:
> Für alle Folgen [mm](x_n)\le[/mm] 0 mit [mm](x_n)\to0[/mm]
> ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = f(
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n)[/mm] = f(0) = 0 = [mm]f(x_0)[/mm]
> Füe alle Folgen [mm](x_n)>0[/mm] mit [mm](x_n)\to0[/mm]
> ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_n)=f(0)[/mm]
> = 1 [mm]\not= f(x_0)[/mm]
> Also ist f unstetig in [mm]x_0=0[/mm]
> Ist das so richtig?
richtig, aber hier könntest du ne bestimmte Folge einsetzen, denn wenn nur eine Folge nicht klappt hast du schon Unstetigkeit.
i.A. beweist man Stetigkeit leichter mit [mm] \epsilon, \delta, [/mm] Unstetigkeit mit einer Folge [mm] x_n [/mm] wobei [mm] f(x_n) [/mm] nicht gegen [mm] f(x_0) [/mm] konv.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Sa 19.12.2009 | | Autor: | etoxxl |
> > Fall 2: x > 0
> > [mm]|f(x)-f(x_0)|=|x+1[/mm] - [mm](x_0+1)[/mm] | = |x+1-1|=|x|< [mm]\delta[/mm] =
> > [mm]\varepsilon[/mm]
> > Das kann ja nicht sein, wo ist hier der Fehler?
> Dein Fehler du musst direkt [mm]f(x_0)=f(0)=0[/mm] einsetzen, das
> wäre auch für Fall 1 besser gewesen, [mm]f(0)\ne[/mm] f(0+1)
Also wäre das dann für Fall 2 mit x > 0
[mm] |x-x_0|<\delta [/mm] (=) [mm] |x-0|=|x|<\delta
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|x+1-0|=|x+1|
[/mm]
Hätte ich aber [mm] \delta [/mm] so gewählt: [mm] \delta [/mm] = [mm] min(1,\bruch{\varepsilon}{2})
[/mm]
dann würden sich folgendes ergeben:
[mm] |x+1|\le|x|+|1| [/mm] < |x| + [mm] \delta [/mm] < [mm] \delta [/mm] + [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2} +\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Schon wieder hat sich irgendwo ein Fehler eingeschichen :(
> > Folgernkriterium:
> > Für alle Folgen [mm](x_n)\le[/mm] 0 mit [mm](x_n)\to0[/mm]
> > ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = f(
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n)[/mm] = f(0) = 0 = [mm]f(x_0)[/mm]
> > Füe alle Folgen [mm](x_n)>0[/mm] mit [mm](x_n)\to0[/mm]
> > ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f(\limes_{n\rightarrow\infty} x_n)=f(0)[/mm]
> > = 1 [mm]\not= f(x_0)[/mm]
> > Also ist f unstetig in [mm]x_0=0[/mm]
> > Ist das so richtig?
> richtig, aber hier könntest du ne bestimmte Folge
> einsetzen, denn wenn nur eine Folge nicht klappt hast du
> schon Unstetigkeit.
> i.A. beweist man Stetigkeit leichter mit [mm]\epsilon, \delta,[/mm]
> Unstetigkeit mit einer Folge [mm]x_n[/mm] wobei [mm]f(x_n)[/mm] nicht gegen
> [mm]f(x_0)[/mm] konv.
> Gruss leduart
>
Könnte ich da die Folge [mm] (x_n)=\bruch{1}{n} [/mm] nehmen.
Für sie gilt [mm] (x_n) [/mm] >0 für alle n und [mm] (x_n)\to0
[/mm]
somit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = f( [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n) [/mm] = f(0) = 1 [mm] \not= [/mm] 0 = [mm] f(x_0)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Sa 19.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst 1 nicht durch [mm] \delta [/mm] ersetzten, falls [mm] \epsilon/2<1 [/mm] denn dann ist ja [mm] \delta=\epsilon/2 [/mm] und nicht 1.
Gruss leduart
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> Ich habe versucht zu beweisen, dass die Dirichlet-Funktion
> nicht stetig ist,
> bin hierbei auf einige Wissenslücken gestossen.
> Anscheinend verstehe ich die Grenzwertbildung von
> Funktionen nicht:
>
> Definition
> "Seien D bzw. W Teilmengen von [mm]\IR.[/mm] Man sagt, die Funktion
> f : D [mm]\to[/mm] W habe in [mm]x_0[/mm] den Grenzwert [mm]y_0,[/mm] wenn für jede
> Folge [mm](x_n)_{n \in N}[/mm]
> in D mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]x_0[/mm] und [mm]x_n \not= x_0[/mm]
> für alle n [mm]\in[/mm] N gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm]
> = [mm]y_0"[/mm]
>
> 1) Was bedeutet "jede Folge" und wie kann man sich
> anschaulich vorstellen,
> was "jede Folge in D" bedeutet?
>
> 2)Wie kann man sich anschaulich vorstellen wenn man eine
> Folge als Funktionwert in einer Funktion einsetzt: [mm]"f(x_n)[/mm] ?
Hallo etoxxl,
man kann die Definition mit etwas anderen Worten
vielleicht deutlicher machen:
"Falls für jede beliebige gegen [mm] x_0 [/mm] konvergierende
Folge [mm] (x_n) [/mm] von Zahlen [mm] x_n\in{D} [/mm] gilt [mm] \limes_{n\to\infty}f(x_n)=y_0 [/mm] , so
sagt man, f habe in [mm] x_0 [/mm] den Grenzwert [mm] y_0:
[/mm]
[mm] \limes_{x\to x_0}f(x)=y_0 [/mm] "
Es ist dabei gar nicht die Rede von einer "Folge in D",
sondern von einer Folge von Elementen [mm] x_n [/mm] aus D.
Wendet man die Funktion f auf alle Glieder [mm] x_n (n\in\IN)
[/mm]
der Folge [mm] (x_n) [/mm] an, so erhält man eine Folge [mm] (y_n),
[/mm]
wobei [mm] y_n=f(x_n) [/mm] für jedes [mm] n\in\IN [/mm] .
LG Al-Chw.
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