Funktionenfolge < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laurent |
Hallo!
Ich habe eine Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] definiert als [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{f_{n-1}^2(y)+y^2 dy} [/mm] für [mm] x\in [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]
[/mm]
Ich soll zeigen, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig gegen ein f konvergiert, sodass f stetig differenzierbar ist.
Gezeigt habe ich schon, dass alle [mm] f_n [/mm] stetig sind und außerdem, dass [mm] sup|f_{n+1}(x)-f_n(x)| \le \bruch{1}{2}sup|f_n(x)-f_{n-1}(x)| [/mm] gilt.
Für die gleichmäßige Konvergenz müsste ich doch jetzt zeigen, dass ein N existiert sodass [mm] |f(x)-f_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] wird für bel. [mm] \varepsilon [/mm] und alle n [mm] \ge [/mm] N.
Meine Überlegung dazu war, dass ich f nicht bestimmen kann, also kann ich doch hier nur f als [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n [/mm] setzen.
Demnach komme ich auf [mm] |\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] - [mm] f_n(x)|
[/mm]
Hier weiß ich nicht weiter. Wenn ich auf die Form [mm] |f_{n+1}(x)-f_n(x)| [/mm] käme könnte ich dies ja mit [mm] (\bruch{1}{2})^n [/mm] abschätzen was unabhängig von x gegen 0 geht. Habt ihr einen Tipp für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laurent |
Okay nach dem Cauchykriterium für gleichmäßige Konvergenz habe ich nun die gleichmäßige Konvergenz der [mm] f_n.
[/mm]
Wie komme ich jetzt noch an die stetig Differenzierbarkeit?
Kann ich nicht einfach sagen, dass die [mm] f_n [/mm] alle differenzierbar sind, da sie als Integral von einer stetigen Funktion definiert sind und damit ist die Grenzfunktion differenzierbar?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Di 19.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
>
> Ich habe eine Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] definiert als [mm]f_n(x)[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{x}{f_{n-1}^2(y)+y^2 dy}[/mm] für [mm]x\in [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}][/mm]
>
> Ich soll zeigen, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig
> gegen ein f konvergiert, sodass f stetig differenzierbar
> ist.
>
> Gezeigt habe ich schon, dass alle [mm]f_n[/mm] stetig sind und
> außerdem, dass [mm]sup|f_{n+1}(x)-f_n(x)| \le \bruch{1}{2}sup|f_n(x)-f_{n-1}(x)|[/mm]
> gilt.
>
> Für die gleichmäßige Konvergenz müsste ich doch jetzt
> zeigen, dass ein N existiert sodass [mm]|f(x)-f_n(x)|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] wird für bel. [mm]\varepsilon[/mm] und alle n [mm]\ge[/mm] N.
Oder du zeigst, dass [mm] $f_n$ [/mm] in der Supremumsnorm konvergiert, also
[mm] \limes_{n\to\infty} \sup |f(x)-f_n(x)| = 0 [/mm],
das ist äquivalent.
Tipp: wenn dein Raum bzgl. der Supremumsnorm vollständig ist, reicht es ja zu zeigen, dass [mm] $f_n$ [/mm] eine Cauchyfolge bzgl dieser Norm ist, also dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] gibt, sodass
[mm] \sup |f_m(x) -f_n(x)|<\varepsilon [/mm] für $n,m>N$.
Du musst diese Bedingung aus deiner oben genannten Ungleichung herzuleiten, dann bist du fertig.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laurent |
Das hatte ich ja noch eben geschafft, aber trotzdem danke!
Wie mache ich denn dann die Differnezierbarkeit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 19.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das hatte ich ja noch eben geschafft, aber trotzdem danke!
>
> Wie mache ich denn dann die Differnezierbarkeit?
Eine Möglichkeit ist es wieder, die passende Norm zu wählen, bzgl. der der Raum der stetig diff'baren Funktionen vollständig ist. Konvergiert die Folge bzgl dieser Norm, so ist die Grenzfunktion wieder stetig diff'bar.
Zwei mögliche Normen sind
(a) [mm]\|f\|_a = \max\{ \sup |f(x)|,\sup |f'(x)| \} [/mm] ,
(b) [mm]\|f\|_b = \sup|f(x)| +\sup |f'(x)| [/mm] .
Welche du nimmst, ist egal, da beide äquivalent sind:
[mm] \|f\|_a \le \|f\|_b \le 2 \|f\|_a [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Di 19.06.2012 | | Autor: | Laurent |
Okay, diese Normen kannte ich noch gar nicht =(
Ich entscheide mich mal spontan für die 2e. Es reicht [mm] f_{n+1}-f_n [/mm] anstatt [mm] f_n [/mm] und [mm] f_m [/mm] wegen Addition von 0 und Dreiecksungleichung.
Hier betrachte ich also [mm] ||f_{n+1}-f_n||_b [/mm] = [mm] sup|f_{n+1}-f_n| [/mm] + [mm] sup|f_{n+1}'-f_n'|. [/mm] Über das erste weiß ich ja schon, dass das gegen 0 geht, da [mm] f_n [/mm] glm konvergent. Jetzt müsste ich mir doch die Ableitungen anschauen, also was ist [mm] f_{n+1}'(x). [/mm] Und ich habe die Vermutung, bin mir aber nicht sicher, dass das dann [mm] f_n^2+x^2 [/mm] ist. Dann hätte ich dort [mm] sup|f_n^2-f_{n-1}^2| [/mm] = [mm] sup(|f_n+f_{n-1}||f_n-f_{n-1}|) \le sup|f_n-f_{n-1}| [/mm] und das verschwindet wiederum. Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:21 Do 21.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay, diese Normen kannte ich noch gar nicht =(
>
> Ich entscheide mich mal spontan für die 2e. Es reicht
> [mm]f_{n+1}-f_n[/mm] anstatt [mm]f_n[/mm] und [mm]f_m[/mm] wegen Addition von 0 und
> Dreiecksungleichung.
>
> Hier betrachte ich also [mm]||f_{n+1}-f_n||_b[/mm] =
> [mm]sup|f_{n+1}-f_n|[/mm] + [mm]sup|f_{n+1}'-f_n'|.[/mm] Über das erste
> weiß ich ja schon, dass das gegen 0 geht, da [mm]f_n[/mm] glm
> konvergent. Jetzt müsste ich mir doch die Ableitungen
> anschauen, also was ist [mm]f_{n+1}'(x).[/mm] Und ich habe die
> Vermutung, bin mir aber nicht sicher, dass das dann
> [mm]f_n^2+x^2[/mm] ist. Dann hätte ich dort [mm]sup|f_n^2-f_{n-1}^2|[/mm] =
> [mm]sup(|f_n+f_{n-1}||f_n-f_{n-1}|) \le sup|f_n-f_{n-1}|[/mm] und
> das verschwindet wiederum. Ist das so richtig?
Das sieht plausibel aus, ist aber keine saubere Argumentation.
"Verschwindet wiederum" ist kein ausreichendes Argument. Du zeigst wieder, dass es sich um eine Cauchyfolge bzgl. der genannten Norm handelt, und mit der Vollständigkeit des Funktionenraums folgt die Konvergenz gegen eine stetig diff'bare Funktion.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
