Funktionenfolge - glm. konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:19 Mo 08.01.2007 | | Autor: | moonylo |
Hallo,
ich habe mal eine Frage bezüglich der glm. Konvergenz.
Erstens wollte ich mal nach einem allgemeinen Beispiel einer Funktionenfolge fragen, die gleichmäßig konvergiert und zwar in ganz [mm] \IR. [/mm] Man findet haufenweise Folgen die punktweiße aber halt nicht gleichmäßig konvergieren, nur auf einmal Intervall.
Zweitens, ein Beispiel für eine Funktionenfolge die, egal welches Intervall man betrachtet, nicht glm. konvergiert.
Drittens hab ich hier eine Aufgabe: Z.z.: fn(x) := sin x/n konvergiert punktweise aber nicht glm.
1. Z.z: fn(x) konvergiert punktweise gegen 0:
Zu zeigen:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: | fn(x) - 0 | < [mm] \varepsilon
[/mm]
|sin x/N | < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] arcsin | sin x/N| < arcsin [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] | x/N | < arcsin [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] | x | < arcsin [mm] \varepsilon \* [/mm] N
[mm] \gdw [/mm] | x | / arcsin [mm] \varepsilon [/mm] < N
Also hab ich doch für jedes x und jedes epsilon so ein N gefunden, dass für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt: | sin x/n - 0 | = | sin x/n | < [mm] \varepsilon. [/mm] Korrekt?
2. Glm. Konvergenz:
Ich habe mir mal aus einem anderen Beitrag das hier kopiert - die Negation der glm. Konvergenz (und mich auch sonst an der Ausführung dort orientiert: https://matheraum.de/read?t=210264)
[mm] \exists \varepsilon \forall n_0 \exists n\ge n_0 \exists [/mm] x: [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
Hier also:
[mm] \exists \varepsilon \forall n_0 \exists n\ge n_0 \exists [/mm] x: | sin x/n - 0| = | sin x/n| [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
Ich muss also nur ein varepsilon finden, sodass die Ungleichung stimmt. Hier hab ich einfach mal [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 * [mm] \wurzel{2} [/mm] genommen:
| sin x/N | [mm] \ge [/mm] 1/2 [mm] *\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] arcsin(| sin x/N |) [mm] \ge [/mm] arcsin(1/2 * [mm] \wurzel{2})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] | x/N | [mm] \ge \pi/4
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] | x | [mm] \ge \pi*N/4
[/mm]
Da x [mm] \in \IR [/mm] lässt sich so ein x immer finden [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Irgendwie sehr unschlüssig für mich und macht irgendwie auch keinen sinn, zumal ich hier auch genauso gut hätte [mm] \varepsilon [/mm] = 1 nehmen könne.
Danke schonmal für die Hilfe!
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Hallo und guten Tag !
>
> Drittens hab ich hier eine Aufgabe: Z.z.: fn(x) := sin x/n
> konvergiert punktweise aber nicht glm.
>
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> 1. Z.z: fn(x) konvergiert punktweise gegen 0:
>
> Zu zeigen:
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR \forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N: | fn(x) - 0 | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> |sin x/N | < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] arcsin | sin x/N| < arcsin [mm]\varepsilon[/mm]
Ist nun [mm] f_n(x)=\frac{\sin (x)}{n} [/mm] oder [mm] f_n(x)=\sin(x\slash [/mm] n) ?
Im ersteren Fall:
Es ist dann
[mm] |\sin(x)\slash [/mm] n| = [mm] \frac{|\sin (x)|}{n}\leq \frac{1}{n},
[/mm]
nicht wahr ?
Mit dem arcussinus hat das nicht direkt was zu tun.
Im zweiten Fall:
Für jedes feste x>0 gilt ja [mm] \lim_{n\to\infty}x\slash [/mm] n =0, und damit aufgrund der Stetigkeit von sinus auch
[mm] \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty} \sin (x\slash n)=\sin [/mm] (0)=0.
Also konvergiert die Funktionenfolge punktweise.
Aber sie konvergiert nicht gleichmäßig, denn sonst gäbe es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] n_0=n_0(\epsilon) [/mm] so, daß
für alle x gilt:
[mm] m\geq n_0 [/mm] impliziert [mm] |f_m(x)|<\epsilon.
[/mm]
Setze jedoch für solch hypothetisches [mm] n_0 [/mm] einfach [mm] x=n_0, [/mm] dann ergibt sich für hinreichend kleines [mm] \epsilon
[/mm]
ein Widerspruch.
Gruß,
Mathias
> [mm]\gdw[/mm] | x/N | < arcsin [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] | x | < arcsin [mm]\varepsilon \*[/mm] N
> [mm]\gdw[/mm] | x | / arcsin [mm]\varepsilon[/mm] < N
>
> Also hab ich doch für jedes x und jedes epsilon so ein N
> gefunden, dass für alle n [mm]\ge[/mm] N gilt: | sin x/n - 0 | = |
> sin x/n | < [mm]\varepsilon.[/mm] Korrekt?
>
> 2. Glm. Konvergenz:
>
> Ich habe mir mal aus einem anderen Beitrag das hier kopiert
> - die Negation der glm. Konvergenz (und mich auch sonst an
> der Ausführung dort orientiert:
> https://matheraum.de/read?t=210264)
>
> [mm]\exists \varepsilon \forall n_0 \exists n\ge n_0 \exists[/mm] x:
> [mm]|f_n(x)[/mm] - f(x)| [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
> Hier also:
>
> [mm]\exists \varepsilon \forall n_0 \exists n\ge n_0 \exists[/mm] x:
> | sin x/n - 0| = | sin x/n| [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
> Ich muss also nur ein varepsilon finden, sodass die
> Ungleichung stimmt. Hier hab ich einfach mal [mm]\varepsilon[/mm] =
> 1/2 * [mm]\wurzel{2}[/mm] genommen:
>
> | sin x/N | [mm]\ge[/mm] 1/2 [mm]*\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] arcsin(| sin x/N |) [mm]\ge[/mm] arcsin(1/2 * [mm]\wurzel{2})[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] | x/N | [mm]\ge \pi/4[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] | x | [mm]\ge \pi*N/4[/mm]
>
> Da x [mm]\in \IR[/mm] lässt sich so ein x immer finden [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> N
>
> Irgendwie sehr unschlüssig für mich und macht irgendwie
> auch keinen sinn, zumal ich hier auch genauso gut hätte
> [mm]\varepsilon[/mm] = 1 nehmen könne.
>
> Danke schonmal für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 12.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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