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| Aufgabe | Es sei [mm] (f_n) \subset [/mm] C([a,b]) eine Folge stetiger Funktionen, die auf [a,b] gleichmäßig gegen eine Folge f konvergiert. Ferner sei [mm] (x_n) \subset [/mm] [a,b] eine gegen x [mm] \in [/mm] [a,b] konvergente Folge reeller Zahlen.
Zeigen Sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x_n) [/mm] = f(x) |
Hallo,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n\limes_{n\rightarrow\infty}x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] gilt, da die Folge gegen [mm] x_n [/mm] konvergiert.
Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit kann man nun [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) folgern.
Kann es aber sein, dass man quasi beide Limes gleichzeitig gegen unenedlich schicken muss und der Ansatz deshalb nicht sinnvoll ist?
Hat jemand einen Tipp für diese Aufgabe?
Viele Grüße
Anil
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm](f_n) \subset[/mm] C([a,b]) eine Folge stetiger
> Funktionen, die auf [a,b] gleichmäßig gegen eine Folge f
> konvergiert. Ferner sei [mm](x_n) \subset[/mm] [a,b] eine gegen x
> [mm]\in[/mm] [a,b] konvergente Folge reeller Zahlen.
>
> Zeigen Sie: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x_n)[/mm] = f(x)
> Hallo,
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n\limes_{n\rightarrow\infty}x_n)[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)[/mm] gilt, da die Folge
> gegen [mm]x_n[/mm] konvergiert.
Nein, so geht das nicht. In [mm] f_n(x_n) [/mm] kannst Du nicht das einen n laufen lassen und das andere nicht. Es ist dasselbe n !
>
> Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit kann man nun
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(x) folgern.
>
> Kann es aber sein, dass man quasi beide Limes gleichzeitig
> gegen unenedlich schicken muss
Das hast Du quasi , sozusagen, im Endeffekt richtig erkannt.
> und der Ansatz deshalb nicht
> sinnvoll ist?
So ist es.
>
> Hat jemand einen Tipp für diese Aufgabe?
1. f ist als gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen stetig.
2. [mm] |f_n(x_n)-f(x)|=|f_n(x_n)-f(x_n)+f(x_n)-f(x)| \le |f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)| [/mm]
Den ersten Summanden rechts bekommst Du wegen der gleichmäßgen Konvergenz klein, wenn n groß wird.
Den zweiten Summanden rechts bekommst Du wegen der Stetigkeit von f klein, wenn n groß wird.
Deine Aufgabe ist nun: fülle 2. mit Leben und präziser Mathematik.
FRED
>
> Viele Grüße
> Anil
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Der Ansatz ist mir schon klar, aber ich weiß nicht, wie ich nun folgern kann, dass der Grenzwert f(x) ist.
Über die beiden Summanden kann ich ja nichts aussagen, da ich nur weiß, dass [mm] x_n [/mm] gegen x konvergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Der Ansatz ist mir schon klar, aber ich weiß nicht, wie
> ich nun folgern kann, dass der Grenzwert f(x) ist.
> Über die beiden Summanden kann ich ja nichts aussagen, da
> ich nur weiß, dass [mm]x_n[/mm] gegen x konvergiert.
Ich hab Dir doch gesagt, was , wie zu tun ist !!!
Der Ansatz scheint Dir alles andere als klar zu sein !
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0.
Schauen wir uns den 1. Summanden rechts in
(1) $ [mm] |f_n(x_n)-f(x)|=|f_n(x_n)-f(x_n)+f(x_n)-f(x)| \le |f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)| [/mm] $
an. Da [mm] (f_n) [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert, gibt es ein [mm] N_1 \in \IN [/mm] mit
[mm] |f_n(x)-f(x)|< \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>N_1 [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [a,b],
also erst recht
(2) [mm] |f_n(x_n)-f(x_n)|< \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>N_1.
[/mm]
f ist in x stetig, also [mm] f(x_n) \to [/mm] f(x), daher gibt es ein [mm] N_2 \in \IN [/mm] mit
(3) [mm] |f(x_n)-f(x)|< \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>N_2.
[/mm]
Setze nun [mm] N_0:=\max\{N_1,N_2\}. [/mm] Aus (1), (2) und (3) folgt dann
$ [mm] |f_n(x_n)-f(x)|< [/mm] 2 [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] n>N_0.
[/mm]
FRED
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