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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:28 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man betrachte die Funktionenfolge :
[mm] $f_{n}: \IR_{+} \rightarrow \IR, f_{n}(x)= \frac{x}{n^{2}}e^{-x/n}, n\ge [/mm] 1$
a) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $(f_{n})_{n\ge 1 }$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] in [mm] $\IR_{+}$ [/mm] gleichmässig gegen die Nullfunktion konvergiert.
b) Berechnen Sie [mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\integral_{0}^{\infty}f_{n}(x)dx$
[/mm]
c) Gibt es einen Widerspruch zu [mm] $\integral [/mm] lim = lim [mm] \integral$ [/mm] ? |
Hallo,
a) $g(x) = 0 = [mm] \frac{0}{1} [/mm] = [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{x}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}}\frac{\sqrt[n]{e^{x}}}{n^{2}}}= \limes_{n\rightarrow \infty} [/mm] sup [mm] |f_{n}(x) [/mm] - g(x) | $
b) [mm] $\integral \frac{xe^{-x/n}}{n^{2}} [/mm] = [mm] \frac{e^{-x/n}(x+n)}{n} [/mm] + C$
[mm] $\Rightarrow \bigg|_{0}^{\infty}\frac{e^{-x/n}(x+n)}{n}=1$ [/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty} [/mm] 1 = 1$
c) in diesem Fall nicht.
stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man betrachte die Funktionenfolge :
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> [mm]f_{n}: \IR_{+} \rightarrow \IR, f_{n}(x)= \frac{x}{n^{2}}e^{-x/n}, n\ge 1[/mm]
>
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> a) Zeigen Sie, dass die Folge [mm](f_{n})_{n\ge 1 }[/mm] in [mm]\IR[/mm] in
> [mm]\IR_{+}[/mm] gleichmässig gegen die Nullfunktion konvergiert.
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> b) Berechnen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow \infty}\integral_{0}^{\infty}f_{n}(x)dx[/mm]
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> c) Gibt es einen Widerspruch zu [mm]\integral lim = lim \integral[/mm]
> ?
> Hallo,
>
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> a) [mm]g(x) = 0 = \frac{0}{1} = \limes_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{x}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}}\frac{\sqrt[n]{e^{x}}}{n^{2}}}= \limes_{n\rightarrow \infty} sup |f_{n}(x) - g(x) |[/mm]
Was soll das denn ??????????? Was soll das bedeuten ?
Tipp: Es ist [mm] e^t \ge [/mm] t für t [mm] \ge [/mm] 0 (warum ?). Zeige damit: $0 [mm] \le f_n(x) \le [/mm] 1/n$ für jedes x [mm] \ge [/mm] 0 und jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
>
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> b) [mm]\integral \frac{xe^{-x/n}}{n^{2}} = \frac{e^{-x/n}(x+n)}{n} + C[/mm]
Fast. Richtig: [mm]\integral \frac{xe^{-x/n}}{n^{2}} = -\frac{e^{-x/n}(x+n)}{n} + C[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bigg|_{0}^{\infty}\frac{e^{-x/n}(x+n)}{n}=1[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow \infty} 1 = 1[/mm]
Schlampig ! Berechne sauber (und nachvollziehbar) [mm] $\integral_{0}^{\infty}f_{n}(x)dx [/mm] $ und dann $ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\integral_{0}^{\infty}f_{n}(x)dx [/mm] $
>
> c) in diesem Fall nicht.
Na, warum denn ? Bist Du sicher ? Überlegs Dir nochmal
>
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> stimmt das so?
S.o.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
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Hallo
a)
> Was soll das denn ??????????? Was soll das bedeuten ?
Das ist der Grenzwert der Funktionenfolge [mm] $(f_{n})_{n\ge 1 }$ [/mm] rückwärts aufgeschrieben. Damit ist auch gleich die Konvergenz gezeigt und dorthin wo es konvergiert dass ist auch die Funktion welche man in die Definition der gleichmässigen Konvergenz:
[mm] $\limes_{n\rightarrow} [/mm] sup [mm] |f_{n}(x)-g(x)|=0$ [/mm] erfüllt.
also ist damit die gleichmässige Konvergenz gezeigT?
[mm] b)$\frac{1}{n^{2}}\integral xe^{-x/n} [/mm] $
[mm] $u=-ne^{-x/n}; u'=-ne^{-x/n}; [/mm] v=x ; v'=1$
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{n^{2}}(-ne^{-x/n}+n\integral e^{-x/n})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{n^{2}}(-ne^{-x/n}+n(-ne^{-x/n})$)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{-e^{-x/n}(x+n)}{n} [/mm] = I(x) $
$ [mm] I(\infty)= x\rightarrow \infty \frac{x+n}{ne^{x/n}}$ [/mm] hopital
$ [mm] \Rightarrow [/mm] 0$
$I(0)=-1$
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0--1 = 1 = [mm] \bigg|_{0}^{\infty}I(x)$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\integral_{0}^{\infty}\frac{xe^{-x/n}}{n^{2}}= \limes_{n\rightarrow \infty} \bigg|_{0}^{\infty}I(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} [/mm] 1 = 1$
c) ja es gibt einen Widerspruch :
[mm] $\limes \integral$ [/mm] ergibt hier 1 und
[mm] $\integral \limes [/mm] = [mm] \integral \limes \frac{xe^{-x/n}}{n^{2}}=0$ [/mm]
>FRED
Danke
gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 01.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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