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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe 1 | Sei [mm] \mathbb{K}=\mathbb{R} [/mm] oder [mm] \mathbb{K}=\mathbb{C}
[/mm]
1. Ist X kompakt, so wird durch
[mm] d_{C(X;\mathbb{K})}(f,g) [/mm] = sup{|f(x) - g(x)| mit x [mm] \in [/mm] X}
eine Metrik auf [mm] C(x;\mathbb{K}) [/mm] definiert.
2. Für kompaktes X ist [mm] C(X;\mathbb{K}) [/mm] mit der Metrik [mm] d_{C(X;\mathbb{K})} [/mm] ein vollständiger metrischer Raum.
3. Für [mm] \lambda \in \mathbb{K}, [/mm] f,g [mm] \in C(X;\mathbb{K}) [/mm] und x [mm] \in [/mm] X setzen wir:
[mm] (\lambda [/mm] f)(x) = [mm] \lambda [/mm] f(x)
und
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Zeigen Sie, damit wird [mm] C(X;\mathbb{K}) [/mm] zum [mm] \mathbb{K}-Vektorraum [/mm] und im Fall X kompakt, sind die Abbildungen:
[mm] \mathbb{K} \times C(X;\mathbb{K}) \rightarrow C(X;\mathbb{K}): (\lambda, [/mm] f) [mm] \longmapsto \lambda [/mm] f
und
[mm] C(X;\mathbb{K}) \times C(X;\mathbb{K}) \rightarrow C(X;\mathbb{K}): [/mm] (f,g) [mm] \longmapso [/mm] f + g
stetig. |
| Aufgabe 2 | Für metrische Räume (X, [mm] d_X), [/mm] (Y, [mm] d_Y) [/mm] definieren wir den Raum
C(X;Y) = {f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y | f ist stetig und D(f) = X}
Ist X kompakt, so wird darauf eine Metrik durch:
[mm] d_{C(X;Y)}(f,g) [/mm] = [mm] sup({d_Y(f(x),g(x)) | x \in X})
[/mm]
erklärt.
Man zeige:
1. Ist X kompakt, so ist C(X;Y), [mm] d_{C(X;Y)} [/mm] ein metrischer Raum.
2. Für kompaktes X ist C(X;Y), [mm] d_{C(X;Y)} [/mm] genau dann vollständig, wenn Y vollständig ist. |
Hallo zusammen,
ich habe obige Aufgaben zu bearbeiten und mühe mich ziemlich damit ab. Die Aufgaben fordern im Grundsatz ja dasselbe (soweit ich das verstehe).
Zunächst mal meine Ideen:
Zu Aufgabe 1.)
Bei 1. muss ich ja nachweisen, dass eine Metrik vorliegt. Ich habe dazu folgende Überlegungen angestellt:
Es gilt d(f,g) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f=g
Beweis:
Ist f [mm] \neq [/mm] g, so findet man ein x [mm] \in [/mm] X für das gilt f(x) [mm] \neq [/mm] g(x). Bei diesem x gilt d(f,g) = sup{|f(x)-g(x)| | x [mm] \in [/mm] X} > 0 (w.g. f(x) [mm] \neq [/mm] g(x))
Es gilt also: f [mm] \neq [/mm] g [mm] \Rightarrow [/mm] d(f,g)
[mm] \Leftrightarrow [/mm] d(f,g) [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \neq [/mm] g
Ist d(f,g)=0 so gilt:
sup{|f(x)-g(x)| | x [mm] \in [/mm] X} = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X \ Rightarrow f = g
Es gilt d(f,g) = d(g,f)
Beweis:
d(f,g) = sup{|f(x)-g(x)| | x [mm] \in [/mm] X} = sup{|g(x)-f(x)| | x [mm] \in [/mm] X} = d(g,f)
Den Beweis für die Dreiecksungleichung bekomme ich bislang nicht hin. Befürchte aber, dass ich dafür ausnutzen muss, dass X kompakt ist.
Hier wäre Hilfe angebracht.
Zu 2.
Hier soll ich zeigen, dass im angegebenen Raum jede Cauchyfolge konvergiert. Ich habe mir also überlegt, dass ich mir einfach eine Cauchyfolge geben kann und aus den Eigenschaften der Cauchyfolge dan nachweisen muss, dass zusammen mit der Metrik eine solche Folge konvergiert. Leider habe ich keine Idee wie ich von Cauchyfolge zu konvergenz der Folge kommen soll. Auch hier wäre ein Tipp super nett.
Zu 3.
Hier muss ich die Vektorraumaxiome nachprüfen, also abelsche Gruppe bezüglich Addition und skalarer Multiplikation, Distributivgesetze. Sollte soweit noch machbar sein, poste sonst später noch mal meine Probleme hierbei. Und dann kommt der Teil mit Kompaktheit bei dem ich nicht weiß wie ich nachweisen soll, dass aus Kompaktheit von X folgt, dass die Funktionen stetig sind. Wäre nett, wenn ihr mir hier ein bisschen unter die Arme greifen könntet.
Aufgabe 2 fordert im wesentlichen dasselbe ein und wirft mir daher dieselben Probleme auf. Wäre super, wenn ihr mir ein bisschen helfen könntet.
Lieben Gruß aus Hamburg,
Theta
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Theta!
> Sei [mm]\mathbb{K}=\mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{K}=\mathbb{C}[/mm]
>
> 1. Ist X kompakt, so wird durch
>
> [mm]d_\{C(X;\mathbb{K})\}(f,g) = sup\{|f(x) - g(x)| mit x \in X\}[/mm]
>
> eine Metrik auf [mm]C(x;\mathbb{K})[/mm] definiert.
>
> 2. Für kompaktes X ist [mm]C(X;\mathbb{K})[/mm] mit der Metrik
> [mm]d_\{C(X;\mathbb{K})\}[/mm] ein vollständiger metrischer Raum.
>
> 3. Für [mm]\lambda \in \mathbb{K},[/mm] f,g [mm]\in C(X;\mathbb{K})[/mm] und
> x [mm]\in[/mm] X setzen wir:
> [mm](\lambda[/mm] f)(x) = [mm]\lambda[/mm] f(x)
> und
> (f + g)(x) = f(x) + g(x)
>
> Zeigen Sie, damit wird [mm]C(X;\mathbb{K})[/mm] zum
> [mm]\mathbb{K}-Vektorraum[/mm] und im Fall X kompakt, sind die
> Abbildungen:
>
> [mm]\mathbb{K} \times C(X;\mathbb{K}) \rightarrow C(X;\mathbb{K}): (\lambda,[/mm]
> f) [mm]\longmapsto \lambda[/mm] f
>
> und
>
> [mm]C(X;\mathbb{K}) \times C(X;\mathbb{K}) \rightarrow C(X;\mathbb{K}):[/mm]
> (f,g) [mm]\longmapso[/mm] f + g
>
> stetig.
> Für metrische Räume $(X, [mm] d_X), [/mm] (Y, [mm] d_Y)$ [/mm] definieren wir den Raum
> $C(X;Y) = [mm] \{f: X \rightarrow Y | f ist stetig und D(f) = X\}$
[/mm]
>
> Ist X kompakt, so wird darauf eine Metrik durch:
>
> [mm]d_\{C(X;Y)\}(f,g)[/mm] = [mm]sup(\{d_Y(f(x),g(x)) | x \in X\})[/mm]
>
> erklärt.
> Man zeige:
> 1. Ist X kompakt, so ist C(X;Y), [mm]d_{C(X;Y)}[/mm] ein metrischer
> Raum.
> 2. Für kompaktes X ist C(X;Y), [mm]d_{C(X;Y)}[/mm] genau dann
> vollständig, wenn Y vollständig ist.
> Hallo zusammen,
> ich habe obige Aufgaben zu bearbeiten und mühe mich
> ziemlich damit ab. Die Aufgaben fordern im Grundsatz ja
> dasselbe (soweit ich das verstehe).
>
> Zunächst mal meine Ideen:
> Zu Aufgabe 1.)
> Bei 1. muss ich ja nachweisen, dass eine Metrik vorliegt.
> Ich habe dazu folgende Überlegungen angestellt:
> Es gilt d(f,g) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f=g
>
> Beweis:
> Ist f [mm]\neq[/mm] g, so findet man ein x [mm]\in[/mm] X für das gilt $f(x) [mm] \neq [/mm] g(x)$. Bei diesem x gilt $d(f,g) = [mm] sup\{|f(x)-g(x)| | x \in X\} [/mm] > 0$ (w.g. $f(x) [mm] \neq [/mm] g(x)$)
> Es gilt also: f [mm]\neq[/mm] g [mm]\Rightarrow[/mm] d(f,g)
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] d(f,g) [mm]\Rightarrow[/mm] f [mm]\neq[/mm] g
>
> Ist d(f,g)=0 so gilt:
> [mm] $sup\{|f(x)-g(x)| | x \in X\} [/mm] = [mm] 0\Rightarrow [/mm] f(x) = g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] f = g$
>
> Es gilt d(f,g) = d(g,f)
> Beweis:
> $d(f,g) = [mm] sup\{|f(x)-g(x)| | x \in X\} [/mm] = [mm] sup\{|g(x)-f(x)| | x \in X\} [/mm] = d(g,f)$
>
> Den Beweis für die Dreiecksungleichung bekomme ich bislang
> nicht hin. Befürchte aber, dass ich dafür ausnutzen muss,
> dass X kompakt ist.
Überhaupt nicht. Schreib dir die Dreiecksungleichung für beliebiges aber festes x hin:
[mm] |f(x) -h(x)| \le |f(x)-g(x)| + |g(x)-h(x)|[/mm]
und bestimmte das Supinum!
> Zu 2.
> Hier soll ich zeigen, dass im angegebenen Raum jede
> Cauchyfolge konvergiert. Ich habe mir also überlegt, dass
> ich mir einfach eine Cauchyfolge geben kann und aus den
> Eigenschaften der Cauchyfolge dan nachweisen muss, dass
> zusammen mit der Metrik eine solche Folge konvergiert.
> Leider habe ich keine Idee wie ich von Cauchyfolge zu
> konvergenz der Folge kommen soll. Auch hier wäre ein Tipp
> super nett.
Es geht hier doch um stetige Funktionen, oder? Die nehmen auf einer kompakten Menge ihr Maximum und Minimum an.
Sei [mm] $(f_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge, also existiert zu jeden [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$, [/mm] sodass
[mm] $$\sup_{x\in X} |f_n(x) -f_m(x) [/mm] | [mm] <\varepsilon$$ [/mm] für alle $n,m>N$.
Das heißt natürlich auch, dass
[mm] $|f_n(x) -f_m(x) [/mm] | [mm] <\varepsilon$ [/mm] für alle $n,m>N$ und für alle [mm] $x\in [/mm] X$.
Da $K$ vollständig ist, ist für alle [mm] $x\in [/mm] X$ [mm] $f_n(x)$ [/mm] eine konvergente Folge; alle diese Grenzwerte definieren eine Funktion $f(x)$. Also gibt es zu jedem x eine Zahl [mm] $M(x)\in \IN$, [/mm] sodass
$$ [mm] |f_n(x) [/mm] -f(x)| [mm] <\varepsilon$$ [/mm] für alle $n,m> M(x) $.
Jetzt musst du noch zeigen, dass es im Fall X kompakt ein von x unabhängiges M gibt.
> Zu 3.
> Hier muss ich die Vektorraumaxiome nachprüfen, also
> abelsche Gruppe bezüglich Addition und skalarer
> Multiplikation, Distributivgesetze. Sollte soweit noch
> machbar sein, poste sonst später noch mal meine Probleme
> hierbei. Und dann kommt der Teil mit Kompaktheit bei dem
> ich nicht weiß wie ich nachweisen soll, dass aus
> Kompaktheit von X folgt, dass die Funktionen stetig sind.
> Wäre nett, wenn ihr mir hier ein bisschen unter die Arme
> greifen könntet.
Siehe 2.
> Aufgabe 2 fordert im wesentlichen dasselbe ein und wirft
> mir daher dieselben Probleme auf.
Ja, geht auch fast genauso, nur musst du anders herukm argumentieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 18.01.2009 | | Autor: | Theta |
Danke erstmal für die Hinweise, damit kann ich schon mal ein Stück weiter kommen. Habe aber noch eine Frage:
Woher weiß ich, dass X vollständig ist?
Und bei der Dreiecksungleichung:
Die kann ich ja für jedes x [mm] \in [/mm] X aufstellen und sie gilt dann, weil ich Werte aus [mm] \mathbb{R} [/mm] oder [mm] \mathbb{C} [/mm] bekomme, wo mit der Standardmetrik die Dreiecksungleichung gilt.
Wenn ich nun aber das Supremum betrachte ist mir nicht klar, warum die Ungleichung zwangsweise erfüllt sein muss.
Wenn ich das supremum betrachte dann bedeutet das ja, dass der maximale Abstand von Funktionswerten von f und h kleiner/gleich dem maximalen Abstand von Funktionswerten von f und g plus dem maximalen Abstand von Funktionswerten von g und h ist. Aber, warum ist das so? Bzw. warum MUSS das so sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 18.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke erstmal für die Hinweise, damit kann ich schon mal
> ein Stück weiter kommen. Habe aber noch eine Frage:
>
> Woher weiß ich, dass X vollständig ist?
Davon ist nirgendwo die Rede. Nah Voraussetzung ist $K$ vollständig.
> Und bei der Dreiecksungleichung:
>
> Die kann ich ja für jedes x [mm]\in[/mm] X aufstellen und sie gilt
> dann, weil ich Werte aus [mm]\mathbb{R}[/mm] oder [mm]\mathbb{C}[/mm]
> bekomme, wo mit der Standardmetrik die Dreiecksungleichung
> gilt.
> Wenn ich nun aber das Supremum betrachte ist mir nicht
> klar, warum die Ungleichung zwangsweise erfüllt sein muss.
> Wenn ich das supremum betrachte dann bedeutet das ja, dass
> der maximale Abstand von Funktionswerten von f und h
> kleiner/gleich dem maximalen Abstand von Funktionswerten
> von f und g plus dem maximalen Abstand von Funktionswerten
> von g und h ist. Aber, warum ist das so? Bzw. warum MUSS
> das so sein?
Schau dir die EIgenschaften des Supremums an:
Wenn $f(x) [mm] \le [/mm] C$ für alle x ist, dann muss auch
[mm]\sup_x f(x) \le C[/mm]
sein, denn wenn [mm] $\sup_x [/mm] f(x) > C$ wäre, dann gäbe es ein $y$ mit $f(y) > C$ .
Da die rechte Seite von
[mm] |f(x) -h(x)| \le |f(x)-g(x)| + |g(x)-h(x)| [/mm]
kleiner oder gleich dem Supremum $ [mm] \sup_x [/mm] |f(x)-g(x)| + [mm] \sup_x [/mm] |g(x)-h(x)|$ ist, ergibt sich die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Theta |
> Davon ist nirgendwo die Rede. Nah Voraussetzung ist [mm]K[/mm]
> vollständig.
Ach ja. Im Übereifer hab ich das falsch gelesen, sorry. Klar, damit ist das klar. Danke.
> Schau dir die EIgenschaften des Supremums an:
>
> Wenn [mm]f(x) \le C[/mm] für alle x ist, dann muss auch
>
> [mm]\sup_x f(x) \le C[/mm]
>
> sein, denn wenn [mm]\sup_x f(x) > C[/mm] wäre, dann gäbe es ein [mm]y[/mm]
> mit [mm]f(y) > C[/mm] .
>
> Da die rechte Seite von
>
> [mm]|f(x) -h(x)| \le |f(x)-g(x)| + |g(x)-h(x)| [/mm]
>
> kleiner oder gleich dem Supremum [mm]\sup_x |f(x)-g(x)| + \sup_x |g(x)-h(x)|[/mm]
> ist, ergibt sich die Behauptung.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Eine ähnliche Überlegung habe ich gestern auch angestellt, war mir aber über die Richtigkeit nicht so sicher, danke. Habe das jetzt verstanden.
Sollte noch etwas auftauchen, melde ich mich noch mal.
Danke und einen schönen Tag,
Theta
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Theta |
Beim letzten Teil von Aufgabe 3 muss ich dann doch Stetigkeit bezüglich Metriken auf [mm] \mathbb{K} \times C(X;\mathbb{K}) [/mm] und auf [mm] C(X;\mathbb{K}) [/mm] bzw. auf [mm] C(X;\mathbb{K}) \times C(X;\mathbb{K}) [/mm] und dem Funktionenraum zeigen...
Problem ist jetzt ja nur, dass mir gar keine Metrik auf den Kartesischen Produkten gegeben ist. Wie muss ich denn das jetzt angehen?
Muss das dann über Urbilder offener/abgeschlossener Mengen oder ähnliches gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mi 21.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Problem ist jetzt ja nur, dass mir gar keine Metrik auf
> den Kartesischen Produkten gegeben ist. Wie muss ich denn
> das jetzt angehen?
Normalerweise nimmt man dann die Produktmetrik [m]d((a,b),(x,y))=max(d(a,x),d(b,y))[/m] definiert.
SEcki
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