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Funktionenschar: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Mo 18.11.2019
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br> Gegeben ist die Funktionenschar
fa(x)=x²+ax-4x+1
Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von fa in Abhängigkeit von a.
Für welche Werte von a liegt der Extrempunkt auf der x-Achse bzw. auf der y-Achse? 
 


<br>Die Berechnung des(r) Extrempunkte(s) ist ja einfach:
    fa'(x) = 2x+a-4
    fa'(x) = 0 (notwendige Bedingung)
         0 = 2x + a - 4
         x = 2- a/2
    Jetzt kann ich verschiedene Werte  für a einsetzen und die Koordinaten des Extrempunktes berechnen, dies solange bis ein a die geforderten Bedingungen erfüllt : schrittweises Lösungsverfahren.
Meine Frage geht aber dahin, das a zu berechnen, so dass die geforderten Bedingungen erfüllt werden.
Da hätte ich gerne einen Tipp!
Danke
     

        
Bezug
Funktionenschar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Mo 18.11.2019
Autor: fred97


> <br> Gegeben ist die Funktionenschar
>  fa(x)=x²+ax-4x+1
>  Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von fa in
> Abhängigkeit von a.
>  Für welche Werte von a liegt der Extrempunkt auf der
> x-Achse bzw. auf der y-Achse? 
>   
>  
> <br>Die Berechnung des(r) Extrempunkte(s) ist ja einfach:
>      fa'(x) = 2x+a-4
>      fa'(x) = 0 (notwendige Bedingung)
>           0 = 2x + a - 4
>           x = 2- a/2

Richtig !


>      Jetzt kann ich verschiedene Werte  für a einsetzen
> und die Koordinaten des Extrempunktes berechnen, dies
> solange bis ein a die geforderten Bedingungen erfüllt :
> schrittweises Lösungsverfahren.


Das ist nicht effektiv und unbrauchbar !


>  Meine Frage geht aber dahin, das a zu berechnen, so dass
> die geforderten Bedingungen erfüllt werden.
>  Da hätte ich gerne einen Tipp!
>  Danke
>       


Setzen wir [mm] x_a:= [/mm] 2- [mm] \frac{1}{2}a. [/mm]

Der Graph von [mm] f_a [/mm] ist eine nach oben geöffnete Parabel. Damit ist der Scheitelpunkt [mm] S_a(x_a |f_a(x_a)) [/mm] auch der Tiefpunkt von [mm] f_a. [/mm]

Berechne also [mm] f_a(x_a). [/mm]

Damit gilt:

[mm] S_a [/mm] liegt auf der x - Achse genau dann, wenn [mm] f_a(x_a)=0 [/mm] ist.

[mm] S_a [/mm] liegt auf der y - Achse genau dann, wenn [mm] x_a=0 [/mm] ist.


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