Funktionenschar Hoch- & Tiefp. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
Wir haben heute ein komplett neues Thema angefangen:
Funktionenscharen.
Mit der gegebenen Aufgabenstellung fühle ich mich allerdings teilweise überfordert, es fehlt mir jeglicher Ansatzgedanke oder jegliche Idee zur Vorgehensweise:
http://home.arcor.de/qbblatt3/mathe_aufgabe.jpg
In der Abbildung finden sich die beiden Aufgabenblöcke, ich hoffe man kann sie einigermassen erkennen, zur Sicherheit nochmal die Funktion aus Aufgabe 4)
[mm] f_{a} [/mm] (x) = ax³ + x² - [mm] \bruch{x}{a}
[/mm]
Aufgabe 5:
[mm] f_{a} [/mm] (x) = x³ + ax² + (a-1) x
Bei 4a) habe ich es so verstanden, dass man die Nullstellen der Funktion mit dem Parameter (kann man a als Parameter bezeichnen?) a, berechnen muss, also in Abhängigkeit von a:
N1 ( [mm] \bruch{x}{2a} [/mm] / 0 )
N2 ( [mm] \bruch{-3x}{2a} [/mm] / 0 )
N3 (0 / 0)
Richtig?
Bei 4b) hatte ich eigentlich auch noch Ahnung und hab die erste Ableitung der Funktion gebildet, nämlich:
[mm] f_{a} [/mm] ' (x) = 3ax² + 2x - [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
und diese gleich Null gesetzt:
Allerdings kam dann bei der PQ Formel ein Wert heraus, der mich sehr verwirrt hat:
[mm] X_{E1/2} [/mm] = [mm] \bruch{-2x}{6a} [/mm] + - [mm] \wurzel{ \bruch{4x²}{36a²} + \bruch{12}{36a²} }
[/mm]
Nun wie verfahre ich mit der Wurzel? Aus 4x² lässt sich ja gut die Wurzel ziehen, aber aus 12?
Geht dort teilweises Wurzelziehen?
Hab ich jedenfalls so gemacht, hab dann am Ende für die Extremwerte:
[mm] X_{E1} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{12}}{6a}
[/mm]
[mm] X_{E2} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{12}-4x}{6a}
[/mm]
Nur rechnet man sich ja dann wie blöde, wenn man die Y-Werte durch einsetzen in f(x) errechnen will und erhält bei der zweiten Stelle auch ein X in der LÖsung kann das also richtig sein und wie sehe ich bei solchen parameterverseuchten Termen ob sie Hoch- oder Tiefpunkt sind?
Nun und bei Aufgabe5) fehlt mir jeglicher Lösungsgedanke ...
Wäre dankbar für erklärende Schritte oder kleine Tipps, eigentlich über alles, was mir bezüglich dieser Aufgabe helfen könnte (Klingt, als hätte ich es mir leicht gemacht, aber sowas hatten wir noch niemals, weiß nicht, was in dem Kopf unseres Lehrers vorgeht)...
Danke im Vorraus
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> Guten Tag!
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum im Internet
> gestellt.
> Wir haben heute ein komplett neues Thema angefangen:
> Funktionenscharen.
>
> Mit der gegebenen Aufgabenstellung fühle ich mich
> allerdings teilweise überfordert, es fehlt mir jeglicher
> Ansatzgedanke oder jegliche Idee zur Vorgehensweise:
>
> ![[]](/images/popup.gif) http://home.arcor.de/qbblatt3/mathe_aufgabe.jpg
>
> In der Abbildung finden sich die beiden Aufgabenblöcke, ich
> hoffe man kann sie einigermassen erkennen, zur Sicherheit
> nochmal die Funktion aus Aufgabe 4)
>
> [mm]f_{a}[/mm] (x) = ax³ + x² - [mm]\bruch{x}{a}
[/mm]
>
> Aufgabe 5:
>
> [mm]f_{a}[/mm] (x) = x³ + ax² + (a-1) x
>
> Bei 4a) habe ich es so verstanden, dass man die Nullstellen
> der Funktion mit dem Parameter (kann man a als Parameter
> bezeichnen?) a, berechnen muss, also in Abhängigkeit von
> a:
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> N1 ( [mm]\bruch{x}{2a}[/mm] / 0 ) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> N2 ( [mm]\bruch{-3x}{2a}[/mm] / 0 )
> N3 (0 / 0)
> Richtig?
>
in der Lösung für x kann doch kein x mehr auftreten. Falsche Anwendung der p-q-Formel
[mm] x^2+\bruch{1}{a}x-\bruch{1}{a^2}=0
[/mm]
mit [mm] p=\bruch{1}{a}
[/mm]
[mm] q=-\bruch{1}{a^2} [/mm]
noch mal lösen !
Lösung: [mm] N_1_,_2 =-\bruch{1}{2a} \pm \wurzel{\bruch{5}{4a^2}} [/mm] / 0 )
Rest selbst kürzen...
> Bei 4b) hatte ich eigentlich auch noch Ahnung und hab die
> erste Ableitung der Funktion gebildet, nämlich:
>
> [mm]f_{a}[/mm] ' (x) = 3ax² + 2x - [mm]\bruch{1}{a}
[/mm]
> und diese gleich Null gesetzt:
bis hierhin
> Allerdings kam dann bei der PQ Formel ein Wert heraus, der
> mich sehr verwirrt hat:
>
> [mm]X_{E1/2}[/mm] = [mm]\bruch{-2x}{6a}[/mm] + - [mm]\wurzel{ \bruch{4x²}{36a²} + \bruch{12}{36a²} }
[/mm]
>
selber Fehler
aus [mm] f'(x)=3ax^2+2x-\bruch{1}{a}=0 [/mm] |:3a
[mm] \Rightarrow x^2+\bruch{2}{3a}*x-\bruch{1}{3a^2}=0
[/mm]
mit [mm] p=\bruch{2}{3a}
[/mm]
[mm] q=-\bruch{1}{3a^2}
[/mm]
kein x in der Lösung bitte !!
ab hier nochmal neu rechnen
> Nun wie verfahre ich mit der Wurzel? Aus 4x² lässt sich ja
> gut die Wurzel ziehen, aber aus 12?
> Geht dort teilweises Wurzelziehen?
>
> Hab ich jedenfalls so gemacht, hab dann am Ende für die
> Extremwerte:
>
> [mm]X_{E1}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{12}}{6a}
[/mm]
>
> [mm]X_{E2}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{12}-4x}{6a}
[/mm]
>
> Nur rechnet man sich ja dann wie blöde, wenn man die
> Y-Werte durch einsetzen in f(x) errechnen will und erhält
> bei der zweiten Stelle auch ein X in der LÖsung kann das
> also richtig sein und wie sehe ich bei solchen
> parameterverseuchten Termen ob sie Hoch- oder Tiefpunkt
> sind?
>
> Nun und bei Aufgabe5) fehlt mir jeglicher Lösungsgedanke
> ...
>
> Wäre dankbar für erklärende Schritte oder kleine Tipps,
> eigentlich über alles, was mir bezüglich dieser Aufgabe
> helfen könnte (Klingt, als hätte ich es mir leicht gemacht,
> aber sowas hatten wir noch niemals, weiß nicht, was in dem
> Kopf unseres Lehrers vorgeht)...
>
>
> Danke im Vorraus
>
so zu Aufgabe 5:
die Aufgabe ist auch ein klein wenig "mystisch", aber wenn man verstanden hat, um was es geht, eigentlich easy...
Du sollst für zwei beliebige Parameterwerte beweisen, dass die Funktionenschar immer zwei gemeinsame Punkte hat
nennen wir zwei beliebige Parameter [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2
[/mm]
dann ergibt sich mit [mm] f(a_1)=f(a_2):
[/mm]
[mm] x^3+a_1x^2+(a_1-1)x=x^3+a_2x^2+(a_2-1)x
[/mm]
[mm] \Rightarrow (a_1-a_2)x^2+(a_1-a_2)x=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (a_1-a_2)(x^2-x)=0
[/mm]
und das gilt für [mm] x^2-x=0, [/mm] unabhängig von a!
und [mm] x^2-x=0 [/mm] kriegst du selber hin (zwei Lösungen)
Teil b) funktioniert nach demselben Prinzip, nur musst du hier die Ableitungen für zwei beliebige Parameter gleichsetzen, also [mm] f'(a_1)=f'(a_2)
[/mm]
Rest selbst....
Teil c) setz die 2.Winkelhalbierende f(x)=-x mit der Funktion gleich, und überlege dir, für welchen Wert von a es eine, zwei oder überhaupt keine Lösung gibt...
wenn noch Fragen sind, frag nach
P.S.: und gib nächstes mal dein Buch und Seite an, dann kann ich nachlesen, hab die Aufgabe jetzt im LS Analysis gefunden (bei mir S.145, ist aber der LK-Gesamtband)
Gruß
OLIVER
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Erstmal vielen Dank soweit für die intensive Befassung mit der Aufgabe, werde mich jez daran machen, alles nachzurechnen und zu verstehen.
Wenn noch Fragen sind, melde ich mich.
Bis dahin, vielen vielen dank
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Ok hab mich jetzt endlich mal drangesetzt
Die Nullstellen hab ich jez richtig heraus.
Für die Extremstellen hab ich:
T ( [mm] \bruch{1}{3a} [/mm] / - [mm] \bruch{5}{27a²} [/mm] )
H ( - [mm] \bruch{1}{a} [/mm] / [mm] \bruch{1}{a²} [/mm] )
Den Rest mach ich jetzt noch.
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> so zu Aufgabe 5:
>
> die Aufgabe ist auch ein klein wenig "mystisch", aber wenn
> man verstanden hat, um was es geht, eigentlich easy...
>
> Du sollst für zwei beliebige Parameterwerte beweisen, dass
> die Funktionenschar immer zwei gemeinsame Punkte hat
>
> nennen wir zwei beliebige Parameter [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2
[/mm]
>
> dann ergibt sich mit [mm]f(a_1)=f(a_2):
[/mm]
>
> [mm]x^3+a_1x^2+(a_1-1)x=x^3+a_2x^2+(a_2-1)x
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (a_1-a_2)x^2+(a_1-a_2)x=0
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (a_1-a_2)(x^2-x)=0
[/mm]
STOP! Heißt es hier nicht [mm] (x^2+x) [/mm] ??
Da der Term die Zeile darüber ausmultipliziert doch:
[mm] x²a_{1} [/mm] - [mm] x²a_{2} [/mm] + [mm] xa_{1} [/mm] - [mm] xa_{2}
[/mm]
heißt...?!
>
> und das gilt für [mm]x^2-x=0,[/mm] unabhängig von a!
>
> und [mm]x^2-x=0[/mm] kriegst du selber hin (zwei Lösungen)
>
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meine schnittpunkte sind dann
s1(0/0)
s2(-1/0)
richtig?
und zu teil b) noch ne Frage, wieso genau setzt man die beiden Ableitungen hier gleich, würde das gerne verstehen und nicht einfach nur so machen, weil es mir jemand sagt ...weil es ist ja nach der stelle gefragt, wo sie die gleiche steigung haben...und nicht nach einem schnittpunkt?! *etwas verwirrt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Do 10.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Benni!
> meine schnittpunkte sind dann
> s1(0/0)
> s2(-1/0)
>
> richtig?
Korrekt !!
> und zu teil b) noch ne Frage, wieso genau setzt man die
> beiden Ableitungen hier gleich, würde das gerne verstehen
> und nicht einfach nur so machen, weil es mir jemand sagt
> ...weil es ist ja nach der stelle gefragt, wo sie die
> gleiche steigung haben...und nicht nach einem
> schnittpunkt?! *etwas verwirrt
Was gibt denn die 1. Ableitung einer Funktion an?
Das ist doch genau die Steigung der Kurve in jedem beliebigen Punkt.
So berechnen wir doch auch unsere Extremwerte, da an diesen Stellen ja auch immer eine horizontale Tangente (d.h. Steigung = 0) vorliegt.
Daher setzen wir bei dieser Aufgabe die beiden Ableitungen gleich ...
Nun klar(er) ?
Gruß
Loddar
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ok
ich meine es zu verstehen, aber ich weiß trotzdem nicht wie ich das ergebnis interpretieren muss...
ich bekomme beim gleichsetzen heraus:
x * [mm] (2a_{1} [/mm] - [mm] 2a_{2} [/mm] ) + [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} [/mm] = 0
X = 0 , dies gilt für x unabhängig von a.
Nun was genau sagt mir das jetzt??
Antwort auf die Frage?
an welcher stelle gibt es eine gemeinsame steigung?
P (0/0) ?
Steigung = a-1 ? (hab x=0 in die erste ableitung eingesetzt)
bin echt voll verwirrt, bitte um hilfe
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Hmm blicke noch nicht ganz durch...
Erstmal verstehe ich nicht, wie ich da auf x = -1/2 kommen soll.
Es ist logisch, dass man die zwei ausklammern muss, das hab ich vergessen, aber deinen hinweis danach kann ich nicht nachvollziehen:
Du mußt aus der 1. Klammer zunächst die 2 ausklammern, anschließend kann man den Ausdruck [..] ausklammern ...
???
Und dann errechne ich die Steigung indem ich den x - wert bei f'(x) einsetze. Ok ...bekomme ich m = 1/2 heraus. Das ist also die Steigung aber an welcher Stelle ?
Ist die stelle der x-Wert den ich ermittelt hab also -1/2 und müsste ich den dann noch in f(x) einsetzen oder wie lautet die antwort auf die stelle , wo die steigung gleich ist?
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Hallo Ben,
> Hmm blicke noch nicht ganz durch...
>
> Erstmal verstehe ich nicht, wie ich da auf x = -1/2 kommen
> soll.
$ x [mm] \cdot{} (2a_{1} [/mm] - [mm] 2a_{2} [/mm] ) + [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} [/mm] = 0 $
$ x [mm] \cdot{} 2*(a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} [/mm] ) =- ( [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{2})$
[/mm]
nun kannst du durch [mm] $(a_{1} [/mm] - [mm] a_{2} [/mm] )$ teilen, weil ja nach Voraussetzung [mm] a_1 \ne a_2 [/mm] gilt, un danschließend kürzen:
$ x = [mm] \bruch{- ( a_{1} - a_{2})}{2*( a_{1} - a_{2})}$
[/mm]
$ x = [mm] \bruch{-1}{2}$
[/mm]
> Es ist logisch, dass man die zwei ausklammern muss, das
> hab ich vergessen, aber deinen hinweis danach kann ich
> nicht nachvollziehen:
>
> Du mußt aus der 1. Klammer zunächst die 2 ausklammern,
> anschließend kann man den Ausdruck [..] ausklammern ...
>
> Und dann errechne ich die Steigung indem ich den x - wert
> bei f'(x) einsetze. Ok ...bekomme ich m = 1/2 heraus.
> Das ist also die Steigung aber an welcher Stelle ?
$f'( [mm] \bruch{-1}{2}) [/mm] = 3*( [mm] \bruch{-1}{2})^2 [/mm] + 2a*( [mm] \bruch{-1}{2}) [/mm] + a - 1$
[mm] \Rightarrow [/mm] $m = [mm] \bruch{-1}{4}$
[/mm]
An der Stelle $ x = [mm] \bruch{-1}{2}$ [/mm] haben alle Funktionen dieselbe Steigung,
nämlich $m = [mm] \bruch{-1}{4}$
[/mm]
> Ist die stelle der x-Wert den ich ermittelt hab also -1/2
> und müsste ich den dann noch in f(x) einsetzen oder wie
> lautet die antwort auf die stelle , wo die steigung gleich
> ist?
Wenn du diese Stelle in den Funktonsterm einsetzt, wirst du sehen, dass die y-Werte durchaus verschieden sind, weil sie ja vom Parameter a abhängen.
Jetzt klar(er)?
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ok vielen dank
dummer rechen fehler meinerseits, dann kann ich ja jetzt gut gerüstet zu mathe gehen
nochmal vielen dank loddar,informix und vorallem oliver!
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![[]](http://home.arcor.de/qbblatt3/mathe_aufgabe.jpg){kind=small}
http://home.arcor.de/qbblatt3/mathe_aufgabe.jpg
)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Bis hierher stimmt's ...
