Funktionenschar, k bestimmen? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für 0<k<3 ist die Funktionenschar [mm] f_{k} [/mm] gegeben durch [mm] f_{k}(x)=-x^2+kx. [/mm] Wie ist k zu wählen, damit damit die Fläche zwischen dem Graphen von [mm] f_{k} [/mm] und der x-Achse zwischen x=0 und x=3 minimal wird? |
Mein Ansatz war es, zu sagen, dass wenn [mm] \integral_{0}^{3}{f_{k}(x) dx} [/mm] minimal ist, [mm] f_{k}(x)=0 [/mm] und [mm] f_{k}'(x)>0 [/mm] sein müssen.
Das habe ich, wie wir es vorher in der Schule gemacht haben, so berechnet, als hätte ich zwei Funktionen, die sich in (0|0) und (k|0) schneiden, dazwischen habe ich dann das Integral berechnet. [mm] (k^3/6) [/mm] Den Term habe ich anschließend A(k) zugewiesen und die erste Ableitung gleich Null gesetzt. Dabei ergibt sich k=0, was keinen Sinn macht, weil A''(k)=0 ist und eigentlich größer 0 sein müsste. Außerdem liegt dann eben unter der x-Achse ein Flächeninhalt, der nie und nimmer minimal ist...
Bin ich völlig auf dem falschen Dampfer oder habe ich mich irgendwo vertan? Dass es dafür eine eindeutige Lösung geben muss, wäre nämlich eigentlich logisch, wenn man sich den Graphen ansieht...
Ich hoffe auf eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Tauti |
Gegeben ist eine Funktionenschar [mm] $f_k$, [/mm] wobei bei der Aufgabenstellung leider nicht gesagt wurde aus welcher Menge $k$ ist.
Wir nehmen mal an, daß $k$ eine natürliche Zahl ist (also $k=1,2,3,...$). Das heißt für jedes $k$ haben wir eine neue Funktion [mm] $f_k$, [/mm] z. B. für $k=2$ haben wir
[mm] $f_2 [/mm] (x) = [mm] -x^2 [/mm] + 2x$.
Nun wird sich die Fläche, die [mm] $f_k$ [/mm] mit der $x$-Achse einschließt ja mit $k$ verändern. Gesucht ist jenes $k$, für das diese Fläsche minimal wird. Man müßte also ungefähr wie folgt vorgehen:
1. berechne $A (k) := [mm] \int_0^3 f_k(x) [/mm] dx$.
2. Suche Minimum von $A (K)$ über alle möglichen $k$. Das bedeutet Ableiten, null setzen, zweite Ableitung und der ganze Spaß.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Tauti |
Um die Fläsche zu bestimmen, die [mm] $f_k$ [/mm] mit der $x$-Achse einschließt, muß man zunächst die Nullstellen von [mm] $f_k$ [/mm] berechnen. Die sind, wie du richtig sagst, bei $0$ und $k$. Die Fläsche, die [mm] $f_k$ [/mm] mit der $x$-Achse einschließt berechnet sich dann zu
$A(k) := [mm] \left| \int_0^k f_k(x) dx \right| [/mm] + [mm] \left| \int_k^3 f_k(x) dx \right|$,
[/mm]
falls $k [mm] \leq [/mm] 3$ und
$A(k) := [mm] \left| \int_0^3 f_k(x) dx \right| [/mm] $,
falls $k>3$. Dann sollte man ein schönes Minumum von $A(k)$ finden.
Gruß
Tauti
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Hey, vielen Dank für deine Hilfe!
Als ich deine Antwort erst gelesen hab, dachte ich zwar erst "Na toll, das bringt mir auch nichts" - aber dann hab ich gesehen, dass das K groß geschrieben war...
Vielen Dank, das hat mich echt weitergebracht! :)
Liebe Grüße
ClairDeLune
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Eine Frage noch: Warum ist es wichtig, dass ich hier die Aufleitung A(K) bilde?
Schließlich könnte man auch einfach A(k)=0 setzen und A'(k)>0.
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Hallo!
Wie tauti schon gesagt hat, ist die eigentliche Funktion, um die es hier geht, diese:
$ A (k) := [mm] \int_0^3 f_k(x) [/mm] dx $
(bzw. die etwas exaktere Variante, ich verweise auf tautis Beitrag). Diese Funktion beschreibt nun die Fläche, welche die Funktion [mm] f_{k}(x) [/mm] mit der x-Achse einschließt.
Wir suchen ein Extremum der Funktion A(k), müssen also die Funktion A(k) wieder ableiten und Nullsetzen, um ein Ergebnis zu erhalten.
Dafür musst du jedoch erstmal wissen, wie A(k) eigentlich aussieht, wenn du nach k ableiten willst, und dafür musst du wohl oder übel erstmal das Integral ausrechnen, also "Aufleiten".
Grüße,
Stefan
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Tut mir Leid, irgendwie ist mir das noch immer nicht ganz klar...
Die Funktion, um die es geht, ist [mm] A(k)=\integral_{0}^{3}{f_{k}(x) dx}, [/mm] das ist mir klar. Um bei einer Funktion die Minimumstellen zu bestimmen, leitet man die Stammfunktion ja zweimal ab. Warum ist hier A(k) die erste Ableitung und nicht die Stammfunktion?
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Hallo!
> Die Funktion, um die es geht, ist
> [mm]A(k)=\integral_{0}^{3}{f_{k}(x) dx},[/mm] das ist mir klar. Um
> bei einer Funktion die Minimumstellen zu bestimmen, leitet
> man die Stammfunktion ja zweimal ab.
Oder die Funktion einfach einmal.
> Warum ist hier A(k)
> die erste Ableitung und nicht die Stammfunktion?
Wie gesagt, die Funktion A(k) gibt an, wieviel Fläche die Funktion [mm] f_{k}(x) [/mm] von 0 bis 3 mit der x-Achse einschließt. Und wir wollen wissen, wann A(k) einen maximalen bzw. minimalen Wert annimmt. Also müssen wir A(k) einmal ableiten und gleich 0 setzen.
Wir wissen (falls 0 < k < 3):
[mm] $A(k)=\left|\integral_{0}^{k}{f_{k}(x) dx}\right| [/mm] + [mm] \left|\integral_{k}^{3}{f_{k}(x) dx}\right| [/mm] = [mm] \left|\integral_{0}^{k}{-x^{2}+k*x dx}\right| [/mm] + [mm] \left|\integral_{k}^{3}{-x^{2}+k*x dx}\right|$
[/mm]
$= [mm] \left|\left[-\frac{1}{3}*x^{3}+\frac{1}{2}*k*x^{2}\right]_{0}^{k}\right|+\left|\left[-\frac{1}{3}*x^{3}+\frac{1}{2}*k*x^{2}\right]_{k}^{3}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{6}*k^{3}\right| [/mm] + [mm] \left|-9+\frac{9}{2}*k-\frac{1}{6}*k^{3}\right|$
[/mm]
Weil 0 < k < 3, ist
$= [mm] \frac{1}{6}*k^{3} [/mm] + [mm] 9-\frac{9}{2}*k+\frac{1}{6}*k^{3} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}*k^{3}-\frac{9}{2}*k+9$
[/mm]
So, und von dieser Funktion, die die Fläche, welche die Funktion [mm] f_{k}(x) [/mm] mit der x-Achse im Intervall von 0 bis 3 angibt, gilt es nun die Extremstellen herauszufinden (genauer: das Minimum!)
Grüße,
Stefan
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