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| Aufgabe | [mm] f_a(x)= \bruch{1}{a}*e^{-a*x^2 }
[/mm]
a) Wlche Eigenschaften gelten für alle Funktionen der Schar?
b) Der Graph der Ableitng ist punktsymmetrisch zum Ursprung (Begründe mit und ohne Rechnung!)
c) Betsimme die Extram von [mm] f_a [/mm] ohne Rückgriff auf die Ableitung
d) Kann man den Parameter a so Wählen, dass [mm] f_a [/mm] W(1,1) als Wendepunkt hat?
e) In welcher Weise spiegeln sich die Wendepunkte von [mm] f_a [/mm] als besondere Punkte im Graphen
von f´_a? Gilt dieser Zusammenhang allgemein?
f) bei welchem a schneiden sich [mm] f_a [/mm] und f´_a? |
okay....also dann mal Schrit für Schritt:
a) Eigenschaften:
* Ursprung/ Schitpunkt in (0,0)
* symmetrisch zur y-Achse
* die Graphen der Funktion gehen gegen Unendlich
weiß nicht was noch fehlt..Monotonie vielleicht??
b) f´_a(x) = [mm] \bruch{2*e^{-a}*x}{a} [/mm]
f´´_(x)= [mm] \bruch{2*e^{-a}}{a}
[/mm]
(simmt die Ableitung so?????) Okay...wenn ich Punktsymmetrie berechnen will, muss ich dann beliebige Zahlen für a einsetzen oder wie mache ich das? Und wie stellt man das nicht rechnerisch dar?? Skizze??
c) okay...also die Extrempunkte [mm] f_a....es [/mm] ist ja klar, dass der Extrempunkt in (0,0) liegen muss...ber wie bestätige ich das ohne Rückgriff auf die Ableitung?
d) wie mache ich das am besten???
e) keine Ahnung....
f) infach [mm] f_a [/mm] und f´_a gleichsetzen oder??
g) mit größer werdendem positiven Parameter kommt es zu einer Parabelstreckung....
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Mo 23.05.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Mathegirl,
bitte überprüfe die Aufgabenstellung. Die angegebene Funktionenschar ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch enthält auch nur irgendeine der Funktionen den Ursprung.
Grüße
reverend
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nein, die ableitung soll punktsymmetrisch sein....und ja, die Funktion ist so korrekt angegeben!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mo 23.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Aus
[mm] f_a(x)= \bruch{1}{a}\cdot{}e^{-a\cdot{}x^2 } [/mm]
folgt, mit Kettenregel:
[mm] f_a'(x)= \bruch{1}{a}\cdot e^{-a\cdot{}x^2 }\cdot-2ax=-2x\cdot e^{-ax^{2}} [/mm]
Diese Funkion prüfe nun auf Ursprungssymmetrie, also zeige, dass
[mm] f_{a}'(-x)=-2(-x)\cdot e^{-a(-x)^{2}}=\ldots=-f_{a}'(x) [/mm]
Marius
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Hallo Marius,
du hast dich vertippt, da stimmt was mit den Minüssen nicht ...
Gruß
schachuzipus
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Hossa,
ich meinte bei der Ableitung!
Es ist [mm]f_a'(x)=\red{-}2xe^{\red{-}ax^2}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Mo 23.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Hossa,
>
> ich meinte bei der Ableitung!
>
> Es ist [mm]f_a'(x)=\red{-}2xe^{\red{-}ax^2}[/mm]
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Ok, überredet. Ich habs verbessert. Danke
Marius
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Hallo Mathegirl,
da die Aufgabe sehr umfangreich ist, beantworte ich nur einen kleinen Teil:
> [mm]f_a(x)= \bruch{1}{a}*e^{-a*x^2 }[/mm]
>
>
> a) Wlche Eigenschaften gelten für alle Funktionen der
> Schar?
> b) Der Graph der Ableitng ist punktsymmetrisch zum
> Ursprung (Begründe mit und ohne Rechnung!)
> c) Betsimme die Extram von [mm]f_a[/mm] ohne Rückgriff auf die
> Ableitung
> d) Kann man den Parameter a so Wählen, dass [mm]f_a[/mm] W(1,1)
> als Wendepunkt hat?
> e) In welcher Weise spiegeln sich die Wendepunkte von [mm]f_a[/mm]
> als besondere Punkte im Graphen
> von f´_a? Gilt dieser Zusammenhang allgemein?
> f) bei welchem a schneiden sich [mm]f_a[/mm] und f´_a?
>
> okay....also dann mal Schrit für Schritt:
>
> a) Eigenschaften:
> * Ursprung/ Schitpunkt in (0,0)
Wenn ich [mm]f_a(0)[/mm] berechne, erhalte ich aber [mm]\frac{1}{a}[/mm]
[mm](0,0)[/mm] liegt auf keiner der Scharen
> * symmetrisch zur y-Achse ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> * die Graphen der Funktion gehen gegen Unendlich
Das ist viel zu ungenau!
Was genau passiert für [mm]x\to\pm\infty[/mm] in Abh. von a?
>
> weiß nicht was noch fehlt..Monotonie vielleicht??
Nun, was meinst du denn?
Untersuche das doch!
>
> b) f´_a(x) = [mm]\bruch{2*e^{-a}*x}{a}[/mm]
Nein, das ist falsch!
Du musst die Kettenregel anwenden:
[mm]f_a(x)=\frac{1}{a}\cdot{}e^{-ax^2}\Rightarrow f_a'(x)=\frac{1}{a}\cdot{}(-2ax)\cdot{}e^{-ax^2}=-2xe^{-ax^2}[/mm]
Vllt. kannst du das zur Monotonieuntersuchung verwenden?
> f´´_(x)= [mm]\bruch{2*e^{-a}}{a}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> (simmt die Ableitung so?????)
Nein, beide sehr falsch!
> Okay...wenn ich
> Punktsymmetrie berechnen will, muss ich dann beliebige
> Zahlen für a einsetzen oder wie mache ich das? Und wie
> stellt man das nicht rechnerisch dar?? Skizze??
>
> c) okay...also die Extrempunkte [mm]f_a....es[/mm] ist ja klar, dass
> der Extrempunkt in (0,0) liegen muss... ber wie bestätige
> ich das ohne Rückgriff auf die Ableitung?
>
> d) wie mache ich das am besten???
Prüfe die Bedingungen für einen WP (1/1) ...
Es muss [mm]f_a(1)=1[/mm] sein, weiter [mm]f_a''(1)=...[/mm] ...
>
> e) keine Ahnung....
Rechne die WP erstmal aus und vgl. wie sie im Graphen der [mm]f_a'[/mm] liegen ...
>
> f) infach [mm]f_a[/mm] und f´_a gleichsetzen oder??
Ja!
>
> g) mit größer werdendem positiven Parameter kommt es zu
> einer Parabelstreckung....
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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Ja, stimmt, ich habe mich total vertan...habe mir die Funktionenschar mal mit Geogebra veranschaulicht...also das ganze nochmal:
a) Eigenschaften für alle Funktionen von [mm] f_a(x): [/mm]
- Symmetrisch zur y-Achse
- keine Schnittpunkte mit x
- Schnittpunkte der y-Achse bei a
- Extremstellen bei [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
- für alle positiven a geht der grenzwert gegen +0- für alle negativen a gegen -0
- Monotonie: für positive a: links vom scheitelpunkt monoton steigend, rechts vom Scheitelpunkt monoton fallend
für negative a: links vom Scheitelpunkt monoton fallend, rechts vom scheitelpunkt monoton steigend
- Parabel
- positive a: schrumpft mit zunehmendem a(
negative a: schrumpft mit kleiner werdenden a (also a gegen 0)
gibt es noch mehr eigenschaften?
b) f´_a(x) ist punktsymmetrisch: begründe mit und OHNE Rechnung:
[mm] -2*(-x)*e^{-a*x²} [/mm] = [mm] -(-2*x*e^{-a*x²})
[/mm]
Aber wie zeige ich das ohne rechnen?? (Skizze???)
c)Extrema von [mm] f_a [/mm] sind alle [mm] \bruch{1}{a}
[/mm]
Aber wie kann ich das Bestätigen ohne Rückgriff auf die Ableitung?? (auch wieder skizze???)
d) [mm] f_a(1)= \bruch{1}{a}*e^{-a} [/mm] so... da kommt aber nicht [mm] f_a(1)=1 [/mm] raus...
e) da scheitere ich.....
f) Für welche Parameter a schneiden sich [mm] f_a [/mm] und f´_a?
[mm] \bruch{1}{a}*e^{-a*x²}= -2*e^{-a*x²} [/mm]
a= [mm] -\bruch{1}{2x}
[/mm]
g) wie verändert sich [mm] f_a [/mm] mit wachsendem a? begründe!
mit wachsendem a nähert sich die Funktionsschar immer mehr der x- Achse an und schrumpft...ich weiß nicht wie man das richtig ausdrückt und wie soll ich das begründen? wegen [mm] \bruch{1}{a} [/mm] wird der anstieg immer geringer oder soo??
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mo 23.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ja, stimmt, ich habe mich total vertan...habe mir die
> Funktionenschar mal mit Geogebra veranschaulicht...also das
> ganze nochmal:
>
> a) Eigenschaften für alle Funktionen von [mm]f_a(x):[/mm]
> - Symmetrisch zur y-Achse
Korrekt
> - keine Schnittpunkte mit x
Auch korrekt
> - Schnittpunkte der y-Achse bei a
Nein, [mm] f_{a}(0)=\frac{1}{a}e^{-a\cdot0^{2}}=\frac{1}{a}e^{0}=\frac{1}{a}
[/mm]
> - Extremstellen bei [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
Nein, wir hatten:
$ [mm] f_{a}'(x)=-2x\cdot e^{-ax^{2}} [/mm] $
Und [mm] f_{a}'\left(\frac{1}{a}\right)=-2\cdot\frac{1}{a}\cdot e^{-a\left(\frac{1}{a}\right)^{2}}\ne0
[/mm]
Berechne $ [mm] f_{a}'(x)=-2x\cdot e^{-ax^{2}}=0 [/mm] $ nochmal neu.
> - für alle positiven a geht der grenzwert gegen +0- für
> alle negativen a gegen -0
Warum betrachtest du [mm] \limes_{x\to0}f_{a}(x)? [/mm]
0 ist doch keine Definitionslücke.
Betrachte die beiden Grenzwerte:
[mm] \limes_{x\to\infty}f_{a}(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\to-\infty}f_{a}(x)
[/mm]
Wenn du aber die y-Achsensymmetrie nutzt, kannst du dir einiges an Rechnerei spraren.
> - Monotonie: für positive a: links vom scheitelpunkt
> monoton steigend, rechts vom Scheitelpunkt monoton fallend
> für negative a: links vom Scheitelpunkt monoton fallend,
> rechts vom scheitelpunkt monoton steigend
Von welchem Scheitelpunkt? Einen Scheitelpunkt haben nur Parabeln.
> - Parabel
> - positive a: schrumpft mit zunehmendem a(
> negative a: schrumpft mit kleiner werdenden a (also a
> gegen 0)
Welche Parabel?
>
> gibt es noch mehr eigenschaften?
Wendepunkte z.B.
>
> b) f´_a(x) ist punktsymmetrisch: begründe mit und OHNE
> Rechnung:
> [mm]-2*(-x)*e^{-a*x²}[/mm] = [mm]-(-2*x*e^{-a*x²})[/mm]
>
> Aber wie zeige ich das ohne rechnen?? (Skizze???)
Beachte, dass die Ableitung einer y-Achsensymmetrischen (also geraden) Funktion eine ungerade Funktion ist.
>
>
> c)Extrema von [mm]f_a[/mm] sind alle [mm]\bruch{1}{a}[/mm]
> Aber wie kann ich das Bestätigen ohne Rückgriff auf die
> Ableitung?? (auch wieder skizze???)
Die Extremstelle ist falsch, wie oben schon gesagt.
>
> d) [mm]f_a(1)= \bruch{1}{a}*e^{-a}[/mm] so... da kommt aber nicht
> [mm]f_a(1)=1[/mm] raus...
Und das heisst im Bezug auf die Aufgabe was?
>
> e) da scheitere ich.....
Die Wendestellen sind die Stellen mit der stärksten Steigung, also die Extremstellen der Ableitung.
>
> f) Für welche Parameter a schneiden sich [mm]f_a[/mm] und f´_a?
> [mm]\bruch{1}{a}*e^{-a*x²}= -2*e^{-a*x²}[/mm]
> a= [mm]-\bruch{1}{2x}[/mm]
Ist das die komplette teilaufgabenstellung? Oder fehhlt dort ein Zusatz? So kann man die Frage nicht beantworten.
>
> g) wie verändert sich [mm]f_a[/mm] mit wachsendem a? begründe!
> mit wachsendem a nähert sich die Funktionsschar immer
> mehr der x- Achse an und schrumpft...ich weiß nicht wie
> man das richtig ausdrückt und wie soll ich das begründen?
> wegen [mm]\bruch{1}{a}[/mm] wird der anstieg immer geringer oder
> soo??
Was passiert denn mit dem y-Achsenabschnitt, wenn [mm] a\to\infty?
[/mm]
>
>
> mathegirl
Marius
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ich verstehe nicht was du bei der Punktsymmetrie zur y-Achse mit : "Beachte, dass die Ableitung einer y-Achsensymmetrischen (also geraden) Funktion eine ungerade Funktion ist. "
zu f) Es ist nur das Intervall [-4, 4] noch gegeben...mehr ist nicht bekannt!
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> ich verstehe nicht was du bei der Punktsymmetrie zur
> y-Achse mit : "Beachte, dass die Ableitung einer
> y-Achsensymmetrischen (also geraden) Funktion eine ungerade
> Funktion ist. "
>
Wenn f symmetrisch zur y-Achse ist, so gilt:
f(x)=f(-x) für alle x
Differentiation liefert:
f'(x)= -f'(-x) für alle x
FRED
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ja, aber es ging hier um die Punktsymmetrie von f´(x) durch den Ursprung! 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> ja, aber es ging hier um die Punktsymmetrie von f´(x)
> durch den Ursprung!
Ääääääääähm ? Mir auch:
f'(x)= -f'(-x) für alle x
Vielleicht gefällt es Dir besser, wenn Du obige Gleichung mit -1 durchmultiplizierst, ein Schritt den ich getrost Dir überlassen wollte.
FRED
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ja okay, aber reicht es nicht wenn ich zeige f´_a(-x)= -f´_a(x)???
und wie kann man punktsymmetrie ohne rechnung begründen??
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Hallo,
> ja okay, aber reicht es nicht wenn ich zeige f´_a(-x)=
> -f´_a(x)???
>
> und wie kann man punktsymmetrie ohne rechnung begründen??
Mir fehlen die Worte ...
Hast du auch nur 1 Millisekunde über das nachgedacht, was Fred dir geschrieben hat?
Offensichtlich nicht.
Es steht doch alles in aller Ausführlichkeit da!
Diese Frage ist eine Frechheit und zeigt, wie wenig du Antworten versuchst zu verstehen bzw sinnentnehmend zu lesen.
So dankst du es den fleißigen Antwortgebern nicht ...
Ich bin entsetzt!
Unglaublich!
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Di 24.05.2011 | | Autor: | Mathegirl |
...sehr sehr nette mitglieder hier!!! nur weil ich kein mathegenie bin und einiges nicht verstehe muss ich mich noch lange nicht dumm machen lassen!!!!
sorry aber solche leute sollten sich ihre beiträge doch lieber sparen und ihre zeit sinnvoller nutzen! ;)
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> ...sehr sehr nette mitglieder hier!!! nur weil ich kein
> mathegenie bin und einiges nicht verstehe muss ich mich
> noch lange nicht dumm machen lassen!!!!
Hallo,
Mathegenies gibt's nur wenige im Forum, sowohl bei den Fragenden als auh bei den Antwortenden. Ich bin mir überhaupt nicht sicher, ob welche hier sind.
Du hast natürlich völlig recht damit, daß hier niemand "dumm angemacht" werden soll. Man kann dies auch den Forenregeln entnehmen.
schachuzipus' Aufregung bezieht sich überhaupt nicht darauf, daß Du irgendetwas nicht verstehst, sondern darauf, daß er den Eindruck hat, daß Du die gegebenen Antworten nicht mit der gebotenen Gründlichkeit studierst.
Möglicherweise täuscht er sich - er kann seine Schlüsse ja nur aus dem ziehen, was Du hier schreibst.
Ich kann Dir aus eigener Erfahrung sagen, daß das Schreiben von Antworten Zeit und Mühe kostet. Es ist frustrierend, wenn man den Eindruck hat, daß sie nicht richtig gelesen (= mit Stift und Papier Wort für Wort studiert) werden.
Ich möchte Dir mal Beispiele geben für einen unangemessenen und einen angemessenen Umgang mit Antworten:
Situation: Du sollst die Punktsymmetrie der Ableitung ohne Rechnung begründen.
Jemand schreibt: f(x)=f(-x), durch Ableiten bekommt man f'(x)=-f'(-x).
A. Unangemessene Reaktionen:
A1.
Wie bekommt man ohne zu rechnen die Punktsymmetrie der Ableitung?
A2.
Ich versteh's einfach nicht.
B. Angemessene Reaktionen:
B1.
Ich verstehe, daß Du abgeleitet hast, aber das ist doch auch gerechnet.
B2.
Ich verstehe, wie Du auf f'(x)=-f'(-x) kommst, aber wo nimmst Du das f(x)=f(-x) her?
B3.
Ich verstehe einfach nicht, wo das rote Minuszeichen in [mm] f'(x)=\red{-}f'(-x) [/mm] herkommt.
usw.
Zu einem Thread, der zu einem guten Ergebnis führt, gehört es, daß Fragende und Antwortende in einen echten Dialog eintreten.
Sonst ist es vergeudete Zeit auf beiden Seiten.
Gruß v. Angela
> sorry aber solche leute sollten sich ihre beiträge doch
> lieber sparen und ihre zeit sinnvoller nutzen! ;)
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> ja okay, aber reicht es nicht wenn ich zeige f´_a(-x)=
> -f´_a(x)???
Hallo,
Du hast hier zwei Möglichkeiten, wie Du vorgehen kannst:
1. Du berechnest die Ableitung Deiner Funktion [mm] f_a, [/mm] also [mm] f_a', [/mm] und rechnest dann brav vor, daß [mm] f_a'(-x) [/mm] dasselbe ist wie [mm] -f_a'(x).
[/mm]
>
> und wie kann man punktsymmetrie ohne rechnung begründen??
Die hat Dir Fred sehr genau vorgemacht - und weil er es Dir sehr genau vorgemacht hat, ist schachuzipus etwas erregt, denn er denkt, daß Du es nicht gelesen oder zumindest sein Vorgehen nicht mit Stift, Papier und Hirn nachvollzogen hast.
Was hat Fred getan?
Er sagt: wir wissen, daß [mm] f_a [/mm] symmetrisch ist zur y-Achse, daß also [mm] f_a(x)=f_a(-x).
[/mm]
Was tut er nun? Er leitet ab. Rechts geschieht dies unter Verwendung der Kettenregel.
Gruß v. Angela
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Doch, so wie fred es aufgezeigt hat habe ich es auch gezeigt und da sieht man ja auch das Punktsymmetrie vorliegt!
Das Problem was mich verwirrt hat war, dass ich gefragt habe wie man ohne jegliches Rechnen, ableiten uw die Punktsymmetrie zeigen kan..daraufhin kamen aber immer antworten bei denen "gerechnet" werden muss....
DAS war wohl das Hauptproblem!
gruß
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Doch, so wie fred es aufgezeigt hat habe ich es auch
> gezeigt und da sieht man ja auch das Punktsymmetrie
> vorliegt!
> Das Problem was mich verwirrt hat war, dass ich gefragt
> habe wie man ohne jegliches Rechnen, ableiten uw die
> Punktsymmetrie zeigen kan..daraufhin kamen aber immer
> antworten bei denen "gerechnet" werden muss....
>
> DAS war wohl das Hauptproblem!
Da hast Du wohl Recht. Die Aufgabe ist an dieser Stelle nicht korrekt formuliert, denn ganz "ohne Rechnen" geht es m.E. nicht.
Insofern habt Ihr wohl aneinander vorbei geredet. Die Emotion von schachuzipus kann ich trotzdem nachvollziehen - an dieser Stelle gab es einfach keinen Hinweis mehr zu geben, dieser Teil der Aufgabe war schon explizit gelöst. Hättest Du gefragt "...und ganz ohne Gleichung oder Rechnen kann man das gar nicht zeigen, oder?", dann hätte er bestimmt trocken "Nein" geantwortet.
Deine Reaktion ist auch verständlich, aber sie trifft eben auch die Sache nicht ganz. schachuzipus ist ein sonst sehr ruhiger, engagierter Antwortgeber hier im Forum und lässt sich nicht an Fragestellern aus.
So, und jetzt wo sich alle einmal aufgeregt haben, könnte die Sache ja auch gut sein. Nur dem Aufgabensteller darf man mit gutem Recht auch weiterhin böse sein...
Liebe Grüße
reverend
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ja...dann soll die sache mal gut sein!
kann man die Punktsymmetrie am Graphen vielleicht zeigen? also sich einen Punkt wählen und zeigen das der Abstand von dem Punkt zu x bzw -x gleich ist? Andere Ideen habe ich auch nicht mehr...
Aber gut...dann ist da noch so eine Sache zu zeigen OHNE RÜCKGRIFF AUF DIE ABLEITUNG..und zwar die Bestimmung der Etremstellen von [mm] f_a...
[/mm]
1. Rechnerisch ist das ja f´_a= 0 also 0= -2x*e^(-a*x²) wobei ich mich da seeehr schwer stelle! ich weiß nicht so recht wie ich das x berechne..ausklammern funktioniert nicht..man müsste sicher logarithmieren..??
2. der Schnittpunkt von [mm] f_a(x) [/mm] und f´_a(x) [mm] \bruch{1}{a}*e^{-a*x²}= [/mm] -2*x^(-a*x²) ist doch x= - [mm] \bruch{1}{2a} [/mm] oder?
3. und ich habe es immer noch nicht hinbekommen zu berechnen, bei welchem a [mm] f_a [/mm] den Wendepunkt W(1,1) hat...
Wäre dankbar für geduldige Hilfe :)
Mathegirl
Gruß Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 24.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> ja...dann soll die sache mal gut sein!
>
> kann man die Punktsymmetrie am Graphen vielleicht zeigen?
> also sich einen Punkt wählen und zeigen das der Abstand
> von dem Punkt zu x bzw -x gleich ist? Andere Ideen habe ich
> auch nicht mehr...
>
> Aber gut...dann ist da noch so eine Sache zu zeigen OHNE
> RÜCKGRIFF AUF DIE ABLEITUNG..und zwar die Bestimmung der
> Etremstellen von [mm]f_a...[/mm]
>
> 1. Rechnerisch ist das ja f´_a= 0 also 0= -2x*e^(-a*x²)
Jetzt stellen wir das mal ordentlich dar:
$0= [mm] -2x*e^{-a*x^2}$
[/mm]
> wobei ich mich da seeehr schwer stelle! ich weiß nicht so
> recht wie ich das x berechne..ausklammern funktioniert
> nicht..man müsste sicher logarithmieren..??
Mit Verlaub, aber das kann doch nicht Dein Ernst sein ! Wann ist ein Produkt aus 2 Zahlen = Null ? Wir gehen zu Günther Jauch ( mal wieder):
A: Beide Faktoren sind =0. B: Keiner der Faktoren =0
C: Der erste Faktor ist =0 D: Der zweite Faktor ist =0.
Achtung, Achtung : es ist nicht nur eine Antwort richtig !
Zurück zu
$0= [mm] -2x*e^{-a*x^2}$
[/mm]
Mist wir haben 3 Faktoren. Macht aber nix, denn:
Es gilt: $0= [mm] -2x*e^{-a*x^2}$ \gdw [/mm] (*) [mm] $0=x*e^{-a*x^2}$ [/mm]
Ist in (*) der 2. Faktor =0 ? Wann ist in (*) der erste Faktor =0 ?
>
> 2. der Schnittpunkt von [mm]f_a(x)[/mm] und f´_a(x)
> [mm]\bruch{1}{a}*e^{-a*x²}=[/mm] -2*x^(-a*x²) ist doch x= -
> [mm]\bruch{1}{2a}[/mm] oder?
Ja
>
> 3. und ich habe es immer noch nicht hinbekommen zu
> berechnen, bei welchem a [mm]f_a[/mm] den Wendepunkt W(1,1) hat...
Die Frage war:
" Kann man den Parameter a so Wählen, dass $ [mm] f_a [/mm] $ W(1,1) als Wendepunkt hat? "
Nimm mal an , es würde ein solches a geben.
Dann muß gelten: [mm] f_a(1)=1 [/mm] und [mm] f_a''(1)=0.
[/mm]
Zeige , dass diese beiden Bedingungen zu einem Widerspruch führen.
Die Antwort auf obige Frage ist also ?
>
> Wäre dankbar für geduldige Hilfe :)
War ich geduldig ?
FRED
>
>
> Mathegirl
>
>
> Gruß Mathegirl
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*lach* jaa du warst seehr geduldig!!!
also zu den Extrempunkten:
genau diese 3 Fälle habe ich mir auch schon durchgedacht.
also [mm] e^{-a*x^2} [/mm] kann nicht 0 werden...und der erste Faktor kann nur 0 werden wenn x=0 oder hab ich da jetzt einen denkfehler drin???
zu den wendepunkten: [mm] f_a(1)=\bruch{1}{a}*e^{-a} [/mm] und der rechte ausdruck ist also nicht 1!
f"_a(1)= [mm] 4*e^{-a} [/mm] der rechte Ausdruck ist nicht 0, damit Widerspruch! Das war schon?
Gruß
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Di 24.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> *lach* jaa du warst seehr geduldig!!!
>
> also zu den Extrempunkten:
> genau diese 3 Fälle habe ich mir auch schon durchgedacht.
>
> also [mm]e^{-a*x^2}[/mm] kann nicht 0 werden...und der erste Faktor
> kann nur 0 werden wenn x=0 oder hab ich da jetzt einen
> denkfehler drin???
Nein.
>
> zu den wendepunkten: [mm]f_a(1)=\bruch{1}{a}*e^{-a}[/mm] und der
> rechte ausdruck ist also nicht 1!
Na, na, nicht so voreilig ! [mm] f_a(1)=1 \gdw [/mm]
(1) [mm] $e^{-a}=1/a$
[/mm]
>
> f"_a(1)= [mm]4*e^{-a}[/mm]
Das ist falsch !
Berechne mal in aller Ruhe [mm] f_a''(x). [/mm] Mit [mm] f_a''(1)=0 [/mm] kommst Du zu einer weiteren Gl. (2). Stelle diese auf und zeige:
die Lösung von (2) ist keine Lösung von (1)
FRED
> der rechte Ausdruck ist nicht 0, damit
> Widerspruch! Das war schon?
>
>
> Gruß
> Mathegirl
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??? jetzt steh ich auf der Leitung...also was sind denn jetzt meine Extrempunkte (ich steige gerade nicht mehr durch).....
okay...die 2. Ableitung..oh man was hab ich denn da für mist geschrieben... natürlich muss es heißen: f"_(x)= [mm] 4ax^2*e^{-ax^2}-2e^{-ax^2} [/mm] ich hoffe das stimmt jetzt??
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Di 24.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> ??? jetzt steh ich auf der Leitung...also was sind denn
> jetzt meine Extrempunkte (ich steige gerade nicht mehr
> durch).....
Wieso ? Du hattest doch: [mm] f_a'(x)=0 \gdw [/mm] x=0
>
> okay...die 2. Ableitung..oh man was hab ich denn da für
> mist geschrieben... natürlich muss es heißen: f"_(x)=
> [mm]4ax^2*e^{-ax^2}-2e^{-ax^2}[/mm] ich hoffe das stimmt jetzt??
Ja
FRED
>
>
> Mathegirl
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ja stimmt...x=0 ist Extremstelle...und Extrempunkt ist dann (0, [mm] \bruch{1}{a})
[/mm]
Dann stellt sich mir noch eine Frage und zwar, in welcher Weise spiegeln sich die Wendepunkte [mm] f_a [/mm] als besondere Punkte im Graphen von f´_a(x)?? gilt das allgemein? Vielleicht ist der Schnittpunkt der Wendepunkt von [mm] f_a(x) [/mm] und f´_a(x)??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Di 24.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> ja stimmt...x=0 ist Extremstelle...und Extrempunkt ist dann
> (0, [mm]\bruch{1}{a})[/mm]
>
> Dann stellt sich mir noch eine Frage und zwar, in welcher
> Weise spiegeln sich die Wendepunkte [mm]f_a[/mm] als besondere
> Punkte im Graphen von f´_a(x)?? gilt das allgemein?
> Vielleicht ist der Schnittpunkt der Wendepunkt von [mm]f_a(x)[/mm]
> und f´_a(x)??
Das ist aber mühsam ! Du gingst doch mal zur Schule und willst in Zukunft unterrichten.
Nimm an, Du hast eine zweimal differenzierbare Funktion f. Wir setzen g:=f'
Hat f in [mm] x_0 [/mm] einen Wendepunkt, so ist doch [mm] f''(x_0)=0, [/mm] also ist
[mm] g'(x_0)=0
[/mm]
Der Graph von g hat also in [mm] (x_0|g(x_0)) [/mm] eine waagrechte Tangente.
Fazit: hat der Graph von f in [mm] (x_0|f(x_0)) [/mm] einen Wendepunkt, so hat der Graph von f' in [mm] (x_0|f'(x_0)) [/mm] eine waagrechte Tangente.
FRED
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okay...habs verstanden...vielen dank fürs erklären!!
so, dann hab ich noch eine aller letzte Frage zu dem thema..
es geht darum zu untersuchen wie sich mit wachsendem a der Graph der Funktion [mm] f_a(x) [/mm] verändert...hab das mal mit geogebra simuliert, aber ich soll es ja beschreiben und BEGRÜNDEN! wobei das Begründen ehr ds Problem ist...also mit wachsendem a wird der Graph immer "flacher" und nähert sich der x -Achse an....aber wie ist das zu begründen? das hängt mit dem [mm] \bruch{1}{a} [/mm] zusammen....die Funkton muss demnach immer weiter schrumpfen!
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> okay...habs verstanden...vielen dank fürs erklären!!
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> so, dann hab ich noch eine aller letzte Frage zu dem
> thema..
> es geht darum zu untersuchen wie sich mit wachsendem a der
> Graph der Funktion [mm]f_a(x)[/mm] verändert...hab das mal mit
> geogebra simuliert, aber ich soll es ja beschreiben und
> BEGRÜNDEN! wobei das Begründen ehr ds Problem ist...also
> mit wachsendem a wird der Graph immer "flacher" und nähert
> sich der x -Achse an....aber wie ist das zu begründen? das
> hängt mit dem [mm]\bruch{1}{a}[/mm] zusammen
Hallo,
Du mußt auch prüfen, was mit dem e-Term passiert bei wachsendem a.
Daß [mm] \bruch{1}{a} [/mm] immer kleiner wird, könnte ja durchs Wachsen des anderen Terms ausgeglichen werden.
Auf jeden Fall stimmt es, daß die Funktion immer flacher wird.
Berechne nun noch (für festes x) den Grenzwert [mm] \lim{a\to \infty}f_a(x).
[/mm]
Gruß v. Angela
> ....die Funkton muss
> demnach immer weiter schrumpfen!
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okay...der Grenzwert geht gegen 0 so wie ich das gezeigt habe, stimmt das?
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> okay...der Grenzwert geht gegen 0 so wie ich das gezeigt
> habe, stimmt das?
Hallo,
daß der Grenzwert 0 ist, stimmt.
Gruß v. Angela
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Bei der Funktion [mm] f_a(x)=\bruch{1}{a}*e^{-a*x^2} [/mm] gibt es keine Asymptote, stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Di 24.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
> Bei der Funktion [mm]f_a(x)=\bruch{1}{a}*e^{-a*x^2}[/mm] gibt es keine Asymptote?
Das stimmt nicht.
Für $a \ > \ 0$ gibt es definitiv jeweils eine Asymptote für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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hmm...aber wie berechne ich die für eine Funktionenschar?
gruß mathegirl
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Hallo,
> hmm...aber wie berechne ich die für eine Funktionenschar?
Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]\frac{1}{a}>0[/mm]
Weiter ist [mm]e^{-ax^2}=\frac{1}{e^{ax^2}}[/mm]
Also [mm]\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{1}{a}\frac{1}{e^{ax^2}}=\frac{1}{a}\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{1}{e^{ax^2}}[/mm]
Wogegen strebt das? Halte im Hinterkopf, dass [mm]a>0[/mm] bel., aber fest (!) ist ...
>
> gruß mathegirl
Gruß
schachuzipus
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sehe ich anders
