Funktionenscharen + Ortskurve < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 So 03.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
| Aufgabe | Es handelt sich um die Funktionenschar [mm] V_{a} [/mm] mit [mm] V_{a}(x)=4x^{3}-4ax^{2}+a^{2}x [/mm]
Nun soll ich die Ortskurve der Hochpunkte [mm] H_{a} [/mm] bestimmen. |
Hallo ihr Lieben. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Hier mein Ansatz:
Nun ist die Funktion also diese: [mm] V_{a}(x)=4x^{3} -4ax^{2} +a^{2}x [/mm]
Die Ableitung wäre dann:
[mm] V_{a} '(x)=12x^{2} [/mm] - 8x +2a Ist das soweit richtig?
(Die 2. Ableitung lass ich weg, da die hinreichende Bedingung erfüllt ist - ich habs nachgerechnet)
Nun muss ich ja die Koordinate des Hochpunktes ausrechnen.
[mm] V_{a}'(x)=12x^{2}- [/mm] 8x +2a=0
Nun ausklammern und 2a abziehen:
x(12x-8)=-2a
x=0 und 12x-8=-2a
das wäre dann x= [mm] \bruch{1}{6} [/mm] a + [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Aber im Buch steht es muss nur [mm] \bruch{1}{6} [/mm] a rauskommen. Aber wo sind denn die [mm] \bruch{2}{3} [/mm] hin?
Wäre für Hilfe sehr dankbar :)
Mfg Miri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 So 03.02.2013 | | Autor: | abakus |
> Es handelt sich um die Funktionenschar [mm]V_{a}[/mm] mit
> [mm]V_{a}(x)=4x^{3}-4ax^{2}+a^{2}x[/mm]
> Nun soll ich die Ortskurve der Hochpunkte [mm]H_{a}[/mm] bestimmen.
> Hallo ihr Lieben. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Hier
> mein Ansatz:
>
> Nun ist die Funktion also diese: [mm]V_{a}(x)=4x^{3} -4ax^{2} +a^{2}x[/mm]
>
> Die Ableitung wäre dann:
> [mm]V_{a} '(x)=12x^{2}[/mm] - 8x +2a Ist das soweit richtig?
Hallo,
da fehlt ein Faktor a, und auch der letzte Summand [mm]a^2x[/mm] ist falsch abgeleitet.
Richtig ist [mm]V'(x)=12x^2-8\red{a}x+a^2[/mm]
>
> (Die 2. Ableitung lass ich weg, da die hinreichende
> Bedingung erfüllt ist - ich habs nachgerechnet)
Vorsicht,
die zweite Ableitung brauchst du aber. Sie muss kleiner als 0 sein, sonst berechnest du vielleicht aus Versehen die Tiefpunkte.
Gruß Abakus
>
> Nun muss ich ja die Koordinate des Hochpunktes ausrechnen.
>
> [mm]V_{a}'(x)=12x^{2}-[/mm] 8x +2a=0
>
> Nun ausklammern und 2a abziehen:
> x(12x-8)=-2a
> x=0 und 12x-8=-2a
> das wäre dann x= [mm]\bruch{1}{6}[/mm] a +
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Aber im Buch steht es muss nur [mm]\bruch{1}{6}[/mm] a rauskommen.
> Aber wo sind denn die [mm]\bruch{2}{3}[/mm] hin?
>
>
> Wäre für Hilfe sehr dankbar :)
>
> Mfg Miri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 04.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Viiielen Dank erstmal! :)
Das heißt der Faktor a bleibt immer konstant und fällt beim ableiten gar nicht weg?
(Muss mir das Thema selber beibringen, da wir das nie in Mathe gemacht haben es aber Inhalt des Abiturs ist)
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Hallo,
ja, so ist das. Der Faktor/die Konstante/ der Parameter (das sind alles Synome - zumeist findet man aber Konstante/Parameter) wird wie eine Zahl behandelt. Damit man weiß, was Parameter und was Variable ist, schreibt man den Parameter oft auch als Tiefstellung an den Funktionsnamen, also wie bei diri im Beispiel: [mm] V_a(x).
[/mm]
Also mal ein paar Beispiele:
[mm] f_t(x)=tx^2+3t+e^tx+\frac{4}{3t}e^{2x}
[/mm]
Wir bilden die Ableitung
[mm] f_t'(x)=2tx+e^t+\frac{8}{3t}e^{2x}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 04.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Danke für das Beispiel :)
Nur wie komme ich jetzt an die Koordinaten des Extremums?
Habe ja jetzt V(x)= 12 [mm] x^{2} [/mm] - 8ax + [mm] a^{2}
[/mm]
Das gleich Null setzen: 12 [mm] x^{2} [/mm] - 8ax + [mm] a^{2} [/mm] =0
Nur wie klammere ich das jetzt so aus um an die Koordinaten des Extremums zu kommen?
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Hallo MirjamKS,
> Danke für das Beispiel :)
>
> Nur wie komme ich jetzt an die Koordinaten des Extremums?
> Habe ja jetzt V(x)= 12 [mm]x^{2}[/mm] - 8ax + [mm]a^{2}[/mm]
> Das gleich Null setzen: 12 [mm]x^{2}[/mm] - 8ax + [mm]a^{2}[/mm] =0
>
> Nur wie klammere ich das jetzt so aus um an die Koordinaten
> des Extremums zu kommen?
Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
MathePower schlägt dir die Mitternachtsformel vor. Ich schlage dir die "stinknormale" p-q-Formel vor. Denn diese sollte man sowieso fest im kopf haben. Das ist einfach ein Muss! Jede allgemeine quadratische Gleichung kann man nämlich reduzieren, somit ist die Lösung von
[mm] x^2+px+q=0
[/mm]
wie folgt
[mm] x_{1,2}=-p/2\pm\sqrt{p^2/4-q}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Di 12.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Tag zusammen :)
Also dann hätten wir [mm] 12x^{2} -8ax+a^{2} [/mm] =0
Das muss man durch 12 teilen bevor man die pq Formel anwendet.
also: [mm] x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{8}{12} [/mm] ax+ [mm] \bruch{a^{2}}{12} [/mm] =0
Ist das bis hierhin so richtig?
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Hallo,
> Tag zusammen :)
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> Also dann hätten wir [mm]12x^{2} -8ax+a^{2}[/mm] =0
>
> Das muss man durch 12 teilen bevor man die pq Formel
> anwendet.
>
> also: [mm]x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{8}{12}[/mm] ax+ [mm]\bruch{a^{2}}{12}[/mm] =0
>
> Ist das bis hierhin so richtig?
Im Prinzip: ja, aber du solltest hier unbedingt noch kürzen:
[mm] x^2-\bruch{2}{3}+\bruch{a^2}{12}=0
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 12.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Alles klar
Also wäre [mm] p=\bruch{2}{3} [/mm] a und [mm] q=\bruch{a^2}{12}
[/mm]
also x1,2 = - [mm] \bruch{ -\bruch{2}{3}a}{2} \pm [/mm] wurzel aus [mm] (\bruch{-\bruch{2}{3}a}{2})^2 [/mm] - [mm] \bruch{a^2}{12}
[/mm]
Hab da anstatt mich der Eingabehilfe zu bedienen Wurzel aus hingeschrieben. Also alles was danach kommt steht in der Wurzel.
Ist das so richtig?
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Hallo,
du meinst
[mm] x_{1,2}=-\bruch{-\bruch{2}{3}a}{2}\pm\wurzel{\left(-\bruch{-\bruch{2}{3}a}{2}\right)^2-\bruch{a^2}{12}}
[/mm]
?
Das ist richtig, aber nicht zu Ende gerechnet. Das kann man noch immens vereinfachen, was du jetzt als nächstes tun solltest. Ich gebe dir mal einen Anfang:
[mm] -\bruch{-\bruch{2}{3}a}{2}=\bruch{a}{3}
[/mm]
Jetzt vereinfachst du mal die Wurzel und präsentierst dann das Ergebnis nochmals.
Klicke auch mal auf die obigen Formelblöcke um den Quelltext zu sehen, das ist nämlich alles viel einfacher, als es aussieht. Und für die Helfer wird es auch einfacher, wenn man den Formeleditor benutzt!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 12.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Dankeschön :)
Ich rechne dann mal das in der Wurzel
[mm] \wurzel{\left(-\bruch{-\bruch{2}{3}a}{2}\right)^2-\bruch{a^2}{12}} [/mm] $
das wäre dann: [mm] \wurzel{\bruch{a}{9}-\bruch{a^2}{12}}
[/mm]
richtig?
Nur wie geht es jetzt weiter, a und [mm] a^2 [/mm] kann man ja nicht subtrahieren.
Darf ich da die wurzel aus [mm] \bruch{a^2}{12} [/mm] ziehen?
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Hallo,
> Dankeschön :)
>
> Ich rechne dann mal das in der Wurzel
>
> [mm]\wurzel{\left(-\bruch{-\bruch{2}{3}a}{2}\right)^2-\bruch{a^2}{12}}[/mm]
> $
>
> das wäre dann: [mm]\wurzel{\bruch{a}{9}-\bruch{a^2}{12}}[/mm]
> richtig?
>
Nein: es muss
[mm]\wurzel{\bruch{a^2}{9}-\bruch{a^2}{12}}[/mm]
heißen. Bruchrechnung ist angesagt, und als Hinweis: im Nenner kommt eine Quadratzahl heraus, so dass man die Wurzel komplett auflösen kann.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Di 12.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Uuups, stimmt ja.
Hab ich übersehen
Aus der Wurzel wird: [mm] \wurzel{\bruch{a^2}{36}} [/mm] und das ist [mm] \bruch{a}{6}
[/mm]
somit wäre [mm] x1,2=\bruch{a}{3} \pm \bruch{a}{6}
[/mm]
Somit wäre [mm] x1=\bruch{a}{2} [/mm] und [mm] x2=\bruch{a}{6}
[/mm]
Ist das so richtig? :)
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Hallo,
> Uuups, stimmt ja.
> Hab ich übersehen
>
> Aus der Wurzel wird: [mm]\wurzel{\bruch{a^2}{36}}[/mm] und das ist
> [mm]\bruch{a}{6}[/mm]
>
> somit wäre [mm]x1,2=\bruch{a}{3} \pm \bruch{a}{6}[/mm]
>
> Somit wäre [mm]x1=\bruch{a}{2}[/mm] und [mm]x2=\bruch{a}{6}[/mm]
>
> Ist das so richtig? :)
ja, komplett richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Di 12.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Viiielen, vielen Dank :))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 04.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Hast du bei der Beispielableitung nicht das 3t vergessen?
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Hallo MirjamKS,
> Hast du bei der Beispielableitung nicht das 3t vergessen?
Bei der Ableitung nach x wird das 3t als Konstante behandelt,
somit ist verschwindet diese Ableitung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 04.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Aber als Konstante müsste sie doch stehenbleiben oder nicht?
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Was ist die Ableitung von
f(x)=2x ?
Was ist die Ableitung von
f(x)=2 ?
Was ist die Ableitung von
f(x)=t
Das Wort konstant heißt nur, dass sich der Zahlenwert (!) von dem Parameter nicht ändert!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Di 12.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Hey, also hier mal die Ableitungen
f(x)=2x ?
f ' (x)= 2
f(x)=2 ?
f ' (x)=0
f(x)=t ?
Müsste ja dann f ' (x)= t sein oder?
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Hallo,
> Hey, also hier mal die Ableitungen
>
> f(x)=2x ?
>
> f ' (x)= 2
Ja, das stimmt.
>
> f(x)=2 ?
>
> f ' (x)=0
Schreibe besser:
[mm]f'(x)=2 \Rightarrow f''(x)=0[/mm]
>
> f(x)=t ?
>
> Müsste ja dann f ' (x)= t sein oder?
Nein: denn t ist hier eine Konstante, genauso wie gerade eben die 2. D.h. hier ist
f'(x)=0
Anders würde es aussehen, wenn du eine Funktionf(t)=t betrachten würdest. Dann hieße die Ableitung
f'(t)=1
Ist dir klar, weshalb?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Di 12.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Das mit dem f(t)=t verstehe ich ja, aber ich verstehe nicht warum f(x)=t zu f'(x)=0 wird.
Denn als ich oben die Funktion meiner gegebenen Aufgabe abgeleitet habe, sollten die a's ja auch stehen bleiben. Warum hier nicht?
Gruß Miri
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Hallo,
nehmen wir nochmal eine Funktion:
[mm] f(x)=t*x^2+t
[/mm]
Nun leite ich dreimal ab:
[mm]f'(x)=2tx[/mm] [Das hintere t fällt heraus, da es konstanter Summand ist]
[mm]f''(x)=2t[/mm] [Da hier 2t konstanter Faktor ist]
[mm]f'''(x)=0[/mm] [Da jetzt die 2t wieder konstanter Summand sind]
Der Scharparameter wird also behandelt, wie jede andere konstante und bekannte Zahl auch.
Klarer? 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 12.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Das heißt, sobald der Parameter ein konstanter Summand ist fällt er weg und wenn er ein kosntanter Faktor ist, bleibt er bestehen?
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Hallo,
> Das heißt, sobald der Parameter ein konstanter Summand ist
> fällt er weg und wenn er ein kosntanter Faktor ist, bleibt
> er bestehen?
genau so ist es. Wie gesagt, wie bei einer Zahl, etwa bei 157.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Di 12.02.2013 | | Autor: | MirjamKS |
Vielen Dank! :) Auch für deine Geduld :D
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