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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Funktionentheorie
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Funktionentheorie: Laurentreihe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Sa 13.06.2009
Autor: ftm2037

Aufgabe
Bestimme und klassifiziere alle Singularitäten der Funktion
[mm] f(z)=\bruch{z-4i\pi}{z(e^z-1)} [/mm]

Hallo,

um die Singularität zu bestimmen, versuche ich erst eine Laurentreihenentwicklung um den Punkt [mm] z_0=0 [/mm] zu berechnen. Ich habe erst die Funktion in

[mm] f(z)=\bruch{1}{(e^z-1)}+\bruch{-4i\pi}{z(e^z-1)} [/mm]

zerlegt. Jetzt versuche ich irgendwie aus jedem Sumanden eine geometrische Reihe machen. Dafür habe ich umgeformt, wie folgt:

[mm] \bruch{-1}{1-e^z}+ \bruch{4i\pi}{1-e^z}= [/mm]

[mm] -\summe_{i=0}^{\infty} (e^z)^n +\bruch{4i\pi}{z} *\summe_{i=0}^{\infty}(e^z)^n [/mm] =
[mm] -\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(z^n)^n}{n!}+4i\pi*\bruch{1}{z}*\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(z^n)^n}{n!} [/mm]

Aber was ist mit [mm] e^z? [/mm]

Hat einer vielleicht eine Idee?

Grüße


Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.



        
Bezug
Funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:28 So 14.06.2009
Autor: MathePower

Hallo ftm2037,


> Bestimme und klassifiziere alle Singularitäten der
> Funktion
>  [mm]f(z)=\bruch{z-4i\pi}{z(e^z-1)}[/mm]
>  Hallo,
>  
> um die Singularität zu bestimmen, versuche ich erst eine
> Laurentreihenentwicklung um den Punkt [mm]z_0=0[/mm] zu berechnen.
> Ich habe erst die Funktion in
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{(e^z-1)}+\bruch{-4i\pi}{z(e^z-1)}[/mm]
>  
> zerlegt. Jetzt versuche ich irgendwie aus jedem Sumanden
> eine geometrische Reihe machen. Dafür habe ich umgeformt,
> wie folgt:
>  
> [mm]\bruch{-1}{1-e^z}+ \bruch{4i\pi}{1-e^z}=[/mm]
>  
> [mm]-\summe_{i=0}^{\infty} (e^z)^n +\bruch{4i\pi}{z} *\summe_{i=0}^{\infty}(e^z)^n[/mm]
> =
>  [mm]-\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(z^n)^n}{n!}+4i\pi*\bruch{1}{z}*\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(z^n)^n}{n!}[/mm]
>  
> Aber was ist mit [mm]e^z?[/mm]
>
> Hat einer vielleicht eine Idee?
>



Zerlege den [mm]e^{z}-1\right)[/mm] in seine "Nullstellen".

[mm]e^{z}-1=\produkt_{k=0}^{\infty}\left(z-i*2k\pi\right)[/mm]

Dann benutze [mm]f\left(z\right)[/mm], so wie es in der Aufgabe steht.
Und setze dann die vorhergehende Zerlegung ein.


> Grüße
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
>  

>


Gruß
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Funktionentheorie: Singularitäten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 So 14.06.2009
Autor: ftm2037

Hallo,

ich habe jetzt [mm] (e^z-1) [/mm] in linearen Faktoren zerlegt und bekommen:
[mm] f(z)=\bruch{1}{z^2(z-2i\pi)(z-6i\pi)(z-8i\pi)...} [/mm]
Wie kann ich aber daraus die Laurentreihenentwicklung machen? Ich komme leider nicht weiter!

Bezug
                        
Bezug
Funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 So 14.06.2009
Autor: MathePower

Hallo ftm2037,

> Hallo,
>  
> ich habe jetzt [mm](e^z-1)[/mm] in linearen Faktoren zerlegt und
> bekommen:
>  [mm]f(z)=\bruch{1}{z^2(z-2i\pi)(z-6i\pi)(z-8i\pi)...}[/mm]
>  Wie kann ich aber daraus die Laurentreihenentwicklung
> machen? Ich komme leider nicht weiter!


Eine Laurententwicklung ist hier, glaube ich, nicht der geschickteste Weg.

Jetzt kannst Du ja schon die Singularitäten klassifizieren.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Funktionentheorie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:20 So 14.06.2009
Autor: ftm2037

Ok, ich habe jetzt Folendes gemacht:

f(z)= [mm] \bruch{1}{z^2(z-2i\pi)(z-6i\pi)(z-8i\pi)...}= [/mm]

[mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{z-2i\pi}*\bruch{1}{z-6i\pi}*\bruch{1}{z-8i\pi}*...= [/mm]

[mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{-2i\pi(1-\bruch{z}{2i\pi})}*\bruch{1}{-6i\pi(1-\bruch{z}{6i\pi})}*\bruch{1}{-8i\pi(1-\bruch{z}{8i\pi})}*...= [/mm]

[mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\bruch{1}{\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{2i\pi})^n* \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{6i\pi})^n* =\summe_{i=0}^{\infty}( \bruch{-z}{8i\pi})^n ...}= [/mm]

[mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\bruch{1}{\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2i\pi}*z^n* \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{6i\pi}*z^n* =\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{8i\pi}^*z^n ...} [/mm]

So habe ich folgende Singularitäten um Punkt null festgestellt:

1- Polstelle 2-Ordnung wegen [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm]
2- Pollstelle n-Ordnung wegen [mm] z^n [/mm] im Nenner.

Ist die zweite nicht wesentliche Singularitäten, da wir unendlich viele Summen haben? Außerdem kann man in einem Punkt zwei verschidenen Singularitäten haben?

Bezug
                                        
Bezug
Funktionentheorie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Mo 15.06.2009
Autor: MathePower

Hallo ftm2037,

> Ok, ich habe jetzt Folendes gemacht:
>  
> f(z)= [mm]\bruch{1}{z^2(z-2i\pi)(z-6i\pi)(z-8i\pi)...}=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{z-2i\pi}*\bruch{1}{z-6i\pi}*\bruch{1}{z-8i\pi}*...=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{-2i\pi(1-\bruch{z}{2i\pi})}*\bruch{1}{-6i\pi(1-\bruch{z}{6i\pi})}*\bruch{1}{-8i\pi(1-\bruch{z}{8i\pi})}*...=[/mm]


>  
> [mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\bruch{1}{\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{2i\pi})^n* \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{6i\pi})^n* =\summe_{i=0}^{\infty}( \bruch{-z}{8i\pi})^n ...}=[/mm]


Hier muss es heißen:

[mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{2i\pi})^n* \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{-z}{6i\pi})^n* \summe_{i=0}^{\infty}( \bruch{-z}{8i\pi})^n ...=[/mm]


>  
> [mm]\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(-2i\pi)(-6i\pi)(-8i\pi)...}*\bruch{1}{\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{2i\pi}*z^n* \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{6i\pi}*z^n* =\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{8i\pi}^*z^n ...}[/mm]
>  
> So habe ich folgende Singularitäten um Punkt null
> festgestellt:
>  
> 1- Polstelle 2-Ordnung wegen [mm]\bruch{1}{z^2}[/mm]
> 2- Pollstelle n-Ordnung wegen [mm]z^n[/mm] im Nenner.
>
> Ist die zweite nicht wesentliche Singularitäten, da wir
> unendlich viele Summen haben? Außerdem kann man in einem
> Punkt zwei verschidenen Singularitäten haben?


Anhand der obigen Laurentreihe kannst Du nur
die Ordnung des Pols [mm]z=0[/mm] bestimmen.


Gruß
MathePower

Bezug
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