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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:18 So 22.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hallo ihr Lieben!
Habe eine schwere Aufgabe zulösen und komm da irgendwie nicht weiter!
Es sei S [mm] \subset \IR [/mm] und [mm] f_{n}: [/mm] S [mm] \to \IR [/mm] , n [mm] \varepsilon \IN, [/mm] eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge.
1. Es gelte zusätzlich [mm] f_{n}(S) \subset [/mm] S' für alle n [mm] \varepsilon \IN [/mm] und eine Menge S' [mm] \subset \IR, [/mm] und die Funktion h: S' [mm] \to \IR [/mm] sei gleichmäßig stetig. Zeige, dass dann auch die Funktionsfolge h [mm] \circ f_{n}, [/mm] n [mm] \varepsilon \IN, [/mm] gleichmäßig konvergiert.
2. Es gelte [mm] |f_{n}(x)| \ge [/mm] a > 0 für alle x [mm] \varepsilon [/mm] S und n [mm] \varepsilon \IN. [/mm] Zeige, dass dann auch die Funktionsfolge [mm] \bruch{1}{f_{n}}, [/mm] n [mm] \varepsilon \IN, [/mm] gleichmäßig konvergierrt.
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> Habe eine schwere Aufgabe zulösen und komm da irgendwie
> nicht weiter!
Hallo,
da wäre es gut zu wissen, WIE WEIT Du bisher gekommen bist?
Was hast Du Dir überlegt?
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> Es sei S [mm]\subset \IR[/mm] und [mm]f_{n}:[/mm] S [mm]\to \IR[/mm] , n [mm]\varepsilon \IN,[/mm]
> eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge.
Was bedeutet das?
>
> 1. Es gelte zusätzlich [mm]f_{n}(S) \subset[/mm] S' für alle n
> [mm]\varepsilon \IN[/mm] und eine Menge S' [mm]\subset \IR,[/mm] und die
> Funktion h: S' [mm]\to \IR[/mm] sei gleichmäßig stetig.
Was bedeutet das?
Zeige, dass
> dann auch die Funktionsfolge h [mm]\circ f_{n},[/mm] n [mm]\varepsilon \IN,[/mm]
> gleichmäßig konvergiert.
Was ist zu zeigen?
>
> 2. Es gelte [mm]|f_{n}(x)| \ge[/mm] a > 0 für alle x [mm]\varepsilon[/mm] S
> und n [mm]\varepsilon \IN.[/mm] Zeige, dass dann auch die
> Funktionsfolge [mm]\bruch{1}{f_{n}},[/mm] n [mm]\varepsilon \IN,[/mm]
> gleichmäßig konvergierrt.
Wenn f die Funktion ist, gegen welche [mm] f_n [/mm] konvergiert, ist
Hierdie glm Konvergenz von [mm] g_n:=\bruch{1}{f_n} [/mm] gegen [mm] g:=\bruch{1}{f} [/mm] zu zeigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 So 22.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Also ich habe eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge [mm] f_{n} [/mm] und eine Funktion h die glecihmäßig stetig ist. Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass gilt:
[mm] |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon [/mm] (und zwar für alle [mm] \varepsilon [/mm] größer 0 existiert ein [mm] n_{0} [/mm] sodass [mm] n\gen_{0})
[/mm]
Die Definition von gleichmäßig stetig ist auch klar.
Ich habe mir über legt, dass wenn h gleichmäßig stetig ist h auch gleichmäßig konvergent sein muss und dann die Verknüpfung der beiden auch gleichmäßig konvergent sein muss.
Nur wie kann ich das zeigen?
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> Also ich habe eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge
> [mm]f_{n}[/mm] und eine Funktion h die glecihmäßig stetig ist.
> Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass gilt:
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm] (und zwar für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] größer 0 existiert ein [mm]n_{0}[/mm] sodass [mm]n\ge n_{0})[/mm]
Hallo,
das ist noch etwas diffus...
Wo kommt das f(x) her? Was ist das?
Was meinst Du mit
> (und zwar für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] größer 0 existiert ein [mm]n_{0}[/mm] sodass [mm] n\ge n_{0})
[/mm]
Es wäre mir natürlich ein Leichtes, die Def. für glm Konvergenz hier aufzuschreiben, aber ich halte es für sinnvoll, wenn DU das tust.
Solange Dir nämlich die Definition für glm Konvergenz nicht richtig klar ist, kannst Du ja nicht sinnvoll damit arbeiten.
> Die Definition von gleichmäßig stetig ist auch klar.
Wie geht sie? Was bedeutet es, daß h glm stetig ist.
>
> Ich habe mir über legt, dass wenn h gleichmäßig stetig ist
> h auch gleichmäßig konvergent sein muss
Warum? Was soll bei h eigentlich konvergieren?
> und dann die
> Verknüpfung der beiden auch gleichmäßig konvergent sein
> muss.
>
> Nur wie kann ich das zeigen?
Wie im vorhergehenden Post bereits erwähnt: bevor Du Dir über den Beweisverlauf Gedanken machst, mußt Du Dir erstmal drüber klar werden, was Du zeigen mußt.
Und DAS weißt Du, wenn Du weißt, was gleichmäßige Konvergenz ist - womit sich der Kreis schließt.
Gruß v. Angela
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