Funktionsgleichung der Parabel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Huhu,
ich frage mich gerade, wie man die Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen kann, wenn zwei Punkte, die auf der Parabeln liegen und den selben Wert besitzen, bestimmen kann.
P1(7|14); P2 (17|14)
Es gilt
f(x) [mm] =k*(x-a)^{2}+b
[/mm]
f(7) = [mm] k*(7-a)^{2}+b=14 \wedge [/mm] f(17) = [mm] k*(17-a)^{2}+b=14
[/mm]
[mm] =k*(7-12)^{2}+b=14\wedge =k*(17-12)^{2}+b=14 [/mm] Symmetrieachse durch das Arithmetischemittel von 7 und 12?
= [mm] -k*(7-12)^{2}+14=b \wedge [/mm] = [mm] -k*(17-12)^{2}+14=b [/mm] nach b umgeformt
= 14 - 25k = b [mm] \wedge [/mm] = 14 - 25k = b
f(7) = [mm] k*(7-12)^{2}+14-25k=14 \wedge f(17)=k*(17-12)^{2}+14-25k=14 [/mm] Einsetzung für b
f(7) = 25k+14-25k=14 [mm] \wedge [/mm] f(17)=25k+14-25k=14
f(7) = 14 = 14 [mm] \wedge [/mm] f(17)= 14=14
Wie mache ich nun weiter oder was habe ich falsch gemacht?
Danke. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anmeldeversuch!
Zunächst:
> Es gilt f(x) [mm]=k+(x-a)^{2}+b[/mm]
Es muss heißen: $f(x) \ = \ [mm] k\red{\times}(x-a)^2+b$ [/mm] .
Also zwischen $k_$ und der Klammer gehört ein Multiplikationszeichen.
Zu Deiner Aufgabe:
Ohne weitere Informationen lässt sich diese Aufgabe nicht eindeutig lösen; d.h. es gibt unendlich viele Lösungen.
Oder soll es sich hier gar um eine Normalparabel handeln? Damit würde nämlich $k \ = \ 1$ , und es gibt eine eindeutige Lösung.
Gruß
Loddar
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Das war ein blöder Schreibfehler. :/
Es müssen also b und/oder k bekannt sein, um die eindeutige Funktionsgleichung zu bestimmen, richtig?
Bei der Normalparabel müsste es doch so sein:
f(7)= [mm] (7-12)^2 [/mm] + b =14 [mm] \wedge [/mm] f(17)= [mm] (17-12)^2 [/mm] +b =14
f(7)= 25 + b =14 [mm] \wedge [/mm] f(17)= 25 +b =14
f(7)= b = -11 [mm] \wedge [/mm] f(17)= b = -11
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x)= [mm] (x-12)^2 [/mm] -11
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anmeldeversuch!
> Es müssen also b und/oder k bekannt sein, um die
> eindeutige Funktionsgleichung zu bestimmen, richtig?
Nein, diese beiden PArameter geilt es ja gerade zu bestimmen.
> Bei der Normalparabel müsste es doch so sein:
> f(7)= [mm](7-12)^2[/mm] + b =14 [mm]\wedge[/mm] f(17)= [mm](17-12)^2[/mm] +b =14
Wie kommst Du denn schon auf $a \ = \ 12$ ? Diesen Wert gilt es doch erst zu bestimmen.
Oder nutzt Du hier bereits die Symmetrie der Parabel zum Scheitelpunkt?
Dann solltest Du das auch schreiben!
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x)= [mm](x-12)^2[/mm] -11
Dein Ergebnis stimmt jedenfalls. Auch wenn hier nicht der Rechenweg klar ist.
Gruß
Loddar
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Huch, wenn k und b unbekannt sind, ist die Bestimmung der Funktionsgleichung nicht eindeutig, laut der ersten Antwort?
Wie will man beide Parameter nun rechnerisch bestimmen?
Wie in der Frage beschrieben wende ich die Symmetrie an. ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 10.12.2014 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ziehen wir doch mal in Gedanken den Graphen deiner gesuchten Funktion um 14 Einheiten nach unten.
Der Funktionswert an den Stellen 7 und 17 wäre dann nicht 14, sondern Null.
Eine Funktion mit Nullstellen bei 7 und 17 ist
$f(x)=(x-7)(x-17)$.
Aber auch alle Funktionen der Form
$f(x)=a*(x-7)(x-17)$ haben diese Nullstellen.
Wenn du nun noch 14 addierst, verschiebst du das wieder nach oben und all diese Funktionsgraphen gehen durch (7|14) und (17|14).
Deine gesuchten Funktionen haben also die Form
[mm] $f(x)=a*(x-7)(x-17)+14=ax^2-24ax+119a+14$ [/mm] .
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Do 11.12.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Huch, wenn k und b unbekannt sind, ist die Bestimmung der
> Funktionsgleichung nicht eindeutig, laut der ersten
> Antwort?
Nein, das habe ich nicht gesagt.
Es geht ja gerade darum, $k_$ und $b_$ rechnerisch zu bestimmen. Dafür setzt man entsprechend in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
Aber man benötigt auch genug Informationen.
> Wie will man beide Parameter nun rechnerisch bestimmen?
Es gilt allgemein: $f(x) \ = \ [mm] k*(x-a)^2+b$
[/mm]
Für die Normalparabel (also mit $k \ = \ 1$ ) wird daraus: $f(x) \ = \ [mm] (x-a)^2+b$
[/mm]
Setze hier nun die gegebenen Koordinaten ein, um ein entsprechendes Gleichungssystem zu erhalten:
$f(7) \ = \ [mm] (7-a)^2+b [/mm] \ = \ 14$
$f(17) \ = \ [mm] (17-a)^2+b [/mm] \ = \ 14$
Wenn Du nun z.B. beide Gleichungen subtrahierst, erhältst Du eine Bestimmungsgleichung mit einer Unbekannten.
Gruß
Loddar
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