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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Sa 10.12.2005 | | Autor: | cucho |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe die Funktionsreihe:
x [mm] \in \IR [/mm] \ {0}
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+n^3 x^2}
[/mm]
und soll zeigen, dass sie punktweise konvergent, jedoch nicht gleichmässig konvergent ist.
Zur punktweisen Konvergenz kann ich [mm] \forall [/mm] x : |x| [mm] \ge [/mm] 1 folgendes sagen:
[mm] \bruch{1}{1+n^3 x^2} \le \bruch{1}{x^2}
[/mm]
Dann folgt mit Majorantenkriterium, dass die Funktionsreihe konvergent ist. Was passiert aber mit 0 < x <1 ? Ich habe keine Ahnung.
Des Weiteren macht mir die gleichmässige Konvergenz mächtige Verständnisprobleme. Ich weiß zwar, was es bedeutet, habe jedoch keine Idee, wie ich es z.Bsp. an dieser Aufgabe wiederlegen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Sa 10.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo cucho
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+n^3 x^2}[/mm]
>
> und soll zeigen, dass sie punktweise konvergent, jedoch
> nicht gleichmässig konvergent ist.
>
> Zur punktweisen Konvergenz kann ich [mm]\forall[/mm] x : |x| [mm]\ge[/mm] 1
> folgendes sagen:
>
> [mm]\bruch{1}{1+n^3 x^2} \le \bruch{1}{x^2}[/mm]
warum so schlecht abschätzen?
[mm]\bruch{1}{1+n^3 x^2} \le \bruch{1}{n*(n*x)^2}[/mm]
und für x>0 gibt es ein N, sodass für alle n>N n*x>1.
Dann kommt dein Majorantenkriterium. Man muss immer dran denken, dass die ersten paar Millionen oder so Reihenglieder so oder so ne endliche Zahl sind!
> Dann folgt mit Majorantenkriterium, dass die Funktionsreihe
> konvergent ist. Was passiert aber mit 0 < x <1 ? Ich habe
> keine Ahnung.
Du musst doch nur Zeigen, dass in der Nähe von 0 du kein N unabh. von x angeben kannst!
Gruss leduart
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