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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Mi 01.02.2006 | | Autor: | angie.b |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] f(x)=\bruch{6-k}{4k} (3kx^2 [/mm] - [mm] 2x^3) [/mm] , 0< k < 6.
a) Bestimme die Nullstellen und die Extrema der Funktionsschar.
b) Für welches k nimmt der Inhalt der Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt, seinen größten Wert an? |
erstmal einen wunderschönen guten morgen..:)
also,bei der nullstellenbestimmung habe ich einfach den term in klammern gleich 0 gesetzt und nach x umgestellt. dabei erhalte ich dann für
[mm] x_{1}= [/mm] 0 und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3k}{2}. [/mm]
wenn ich jedoch die extrema berechnen will, bleib ich schon bei den ableitungen hängen.
mein ansatz für die 1. ableitung war die produktregel.
dann erhalte ich:
[mm] f'(x)=(3kx^2 [/mm] - [mm] 2x^3) [/mm] + (6kx - [mm] 6x^2) (\bruch{6 - k}{4k})
[/mm]
das ist aber zu kompliziert,find ich um weiter zu rechnen..vielleicht hat von euch jemand eine idee..;)
danke schonmal...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Disap |
> Gegeben ist die Funktionsschar [mm]f(x)=\bruch{6-k}{4k} (3kx^2[/mm]
> - [mm]2x^3)[/mm] , 0< k < 6.
>
> a) Bestimme die Nullstellen und die Extrema der
> Funktionsschar.
>
> b) Für welches k nimmt der Inhalt der Fläche, die der Graph
> mit der x-Achse einschließt, seinen größten Wert an?
> erstmal einen wunderschönen guten morgen..:)
Danke gleichfalls. Guten Morgen.
> also,bei der nullstellenbestimmung habe ich einfach den
> term in klammern gleich 0 gesetzt und nach x umgestellt.
> dabei erhalte ich dann für
> [mm]x_{1}=[/mm] 0 und [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{3k}{2}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber du hast nicht nur eine einfache Nullstelle für [mm] x_1 [/mm] = 0, sondern eine doppelte, und das heißt schon einmal, dass an dieser Stelle ein Extremum vorhanden ist.
> wenn ich jedoch die extrema berechnen will, bleib ich schon
> bei den ableitungen hängen.
>
> mein ansatz für die 1. ableitung war die produktregel.
> dann erhalte ich:
>
> [mm]f'(x)=(3kx^2[/mm] - [mm]2x^3)[/mm] + (6kx - [mm]6x^2) (\bruch{6 - k}{4k})[/mm]
Produktregel? Nein, die ist hier nicht angebracht.
Wir haben gegeben
f(x) = [mm] \blue{\bruch{6-k}{4k}} (\red{3kx^2 - 2x^3})
[/mm]
Hier liegt der Fehler bei dir. Das blau dargestellte ist ein einfacher Faktor, da dieses k ein (Schar-)parameter ist, der für eine Zahl steht (diese Zahl liegt natürlich in dem Intervall, dass du oben genannt hast).
Ähnlich wie bei der Integration kannst du diesen "ausgeklammerten" (das ist sehr wichtig) Faktor, erst einmal aussen vor lassen, zunächst interessiert dich nur die innere (d. h. der Term in der Klammer) Ableitung => rot dargestellt
f'(x) = [mm] \blue{\bruch{6-k}{4k}} [/mm] (6kx - [mm] 6x^2)
[/mm]
Nun kannst du so die Extrema berechnen, indem du diesen Term betrachtest:
(6kx - [mm] 6x^2) [/mm] = 0 (hieraus folgt, dass bei x=0 ein Extrema ist, wie oben auch bereits angedeutet)
> das ist aber zu kompliziert,find ich um weiter zu
> rechnen..vielleicht hat von euch jemand eine idee..;)
> danke schonmal...
Aufgabe b war jetzt noch nicht so gefragt, daher habe ich dazu mal nichts geschrieben. Diese Frage bleibt also noch zu klären
mfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mi 01.02.2006 | | Autor: | angie.b |
danke,für deine schnelle antwort..
mit hilfe deiner ableitung komme ich für die fkt-schar auf zwei extrema.
ich habe einen hochpunkt und einen tiefpunkt erhalten. allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich auch bei der hinreichenden bedingnung für extrema auch den faktor erstmal außen vor lassen kann.
ich habs erstmal gemacht und erhalte dann folgende werte:
[mm] H_{p} [/mm] : ( k ; [mm] \bruch{6-k}{4k} (-k^3) [/mm] )
[mm] T_{p} [/mm] : ( 0 ; [mm] \bruch{6-k}{4k} [/mm] )
eine fallunterscheidung ist ja hier nicht nötig,oder?weil die werte die k annehmen kann,sind ja alle postitiv..
ja und bei der aufgabe b) würde ich gern wissen wollen,ob es richtig ist,wenn ich erstmal k als oberste integrationsgrenze angebe und dann probiere mit den werten 1-6 auf die lösung zu kommen..?! also,mir fällt nix anderes ein..;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Disap |
Ahja, da fällt mir noch eine kleine Ergänzung ein, und zwar schiebst du:
mein ansatz für die 1. ableitung war die produktregel.
dann erhalte ich:
$ [mm] f'(x)=(3kx^2 [/mm] $ - $ [mm] 2x^3) [/mm] $ + (6kx - $ [mm] 6x^2) (\bruch{6 - k}{4k}) [/mm] $
Natürlich kannst du das auch mit Produktregel machen, nur solltest du dir dann bewusst sein, was die Ableitung von
[mm] \bruch{6 - k}{4k})
[/mm]
ist, die ist nicht 1, so wie du es dargestellt hast, sondern diese wäre Null. Konstanten (+c -> also Terme ohne x, die kein Faktor sind) fallen weg, weil sie eben zu +c werden
Du sagst:
$ [mm] f'(x)=(3kx^2 [/mm] $ - $ [mm] 2x^3)*\red{1} [/mm] +...$
richtig wäre aber, da der Bruch abgelitten null ergibt:
$ [mm] f'(x)=(3kx^2 [/mm] $ - $ [mm] 2x^3)*\red0 [/mm] +...$
Dann stimmts!
Grüße von Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Lolli |
> Gegeben ist die Funktionsschar [mm]f(x)=\bruch{6-k}{4k} (3kx^2[/mm]
> - [mm]2x^3)[/mm] , 0< k < 6.
> b) Für welches k nimmt der Inhalt der Fläche, die der Graph
> mit der x-Achse einschließt, seinen größten Wert an?
Für die Bestimmung des Flächeninhalts bilden wir einfach das Integral der funktionsschar [mm] f_{k}(x). [/mm] die Grenzen hierfür sind die in a) ermittleten Nullstellen.
Also folgt: [mm] \integral_{0}^{\bruch{3k}{2}}{\bruch{6-k}{4k}(3kx^{2} - 2x^{3}) dx}.
[/mm]
Da der Bruch [mm] \bruch{6-k}{4k} [/mm] einer Zahl entspricht können wir schreiben:
[mm] A(k)=\bruch{6-k}{4k} \* \integral_{0}^{\bruch{3k}{2}}{(3kx^{2} - 2x^{3}) dx}.
[/mm]
Wenn du das alles schön mit den Grtenzen ausrechnest, kommst du auf einen Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Parameter k. Somit hast du also eine neue Zuordnung, sprich eine neue Funktion für k; von dieser bestimmst du dir die beiden ersten Ableitungen (Aufgabe b) sucht ja ein Maximum).
Dann so verfahren wie bei der Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten mit Probe in der zweiten Ableitung.
Wenn du nun für einen Wert k aus der ersten Ableitung in der zweiten ein Hochpunkt erhälst, so weißt du, dass für diesen Wert k der Flächeninhalt maximal wird.
Beachte bei deiner Lösung auch die Grenzen für k --> 0 < k < 6 , die aus der Aufgabenstellung hervorgehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mi 01.02.2006 | | Autor: | angie.b |
ist es dann richtig,dass ich als neue funktion nach dem integrieren
f(x) = [mm] \bruch{6 - k}{4k} [/mm] ( [mm] \bruch{27 k^4}{32}) [/mm] erhalte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Lolli |
> ist es dann richtig,dass ich als neue funktion nach dem
> integrieren
>
> f(x) = [mm]\bruch{6 - k}{4k}[/mm] ( [mm]\bruch{27 k^4}{32})[/mm] erhalte?
Nach der Integration habe ich Folgendes erhalten:
[mm] \bruch{6-k}{4k} \left[ kx^{3} - \bruch{x^{4}}{2} \right] [/mm] mit der unteren Grenze 0 und der oberen Grenze [mm] \bruch{3k}{2}
[/mm]
Die führt mich auf folgende Lösung:
[mm] \bruch{6-k}{4k} \left( \bruch{27}{8}k^{4} - \bruch{81}{16}k^{4} \right) [/mm] = [mm] \bruch{6-k}{4k} \left( \bruch{-27}{16}k^{4} \right)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 01.02.2006 | | Autor: | angie.b |
oh danke,hatte einen kleinen zahlen-dreher in meiner rechnung beim integrieren..
bin jetzt aber auch auf die funktion gekommen..:)
so,und jetzt habe ich die 1.ableitung gebildet und wollte die extrempunkte ausrechnen..tja aber ich komme nur auf nen tiefpunkt..
meine 1.ableitung sieht auch schon voll komisch aus:
f'(x)= [mm] \bruch{27 k^4}{16} [/mm] (- [mm] \bruch{3}{2 k^2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{10} [/mm] - [mm] \bruch{k}{20})
[/mm]
ja und wenn ich das irgendwie mit sehr laaangen probieren gleich null setzte komme ich auf [mm] k_{1} [/mm] = -3 + [mm] \wurzel{12} [/mm] und für [mm] k_{2} [/mm] = -3 - [mm] \wurzel{12} [/mm] --> enfällt ja wegen 0<k<6
und wenn ich [mm] k_{1} [/mm] in die 2.ableitung einsetzte komme ich auf ein tiefpunkt!!???
die aufgabe macht mich echt langsam zu schaffen..und sowas in den ferien..:)
danke,für eure geduld mit den ganzen erklärungen für mich!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Lolli |
> oh danke,hatte einen kleinen zahlen-dreher in meiner
> rechnung beim integrieren..
> bin jetzt aber auch auf die funktion gekommen..:)
> so,und jetzt habe ich die 1.ableitung gebildet und wollte
> die extrempunkte ausrechnen..tja aber ich komme nur auf nen
> tiefpunkt..
>
> meine 1.ableitung sieht auch schon voll komisch aus:
>
> f'(x)= [mm]\bruch{27 k^4}{16}[/mm] (- [mm]\bruch{3}{2 k^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{10}[/mm] - [mm]\bruch{k}{20})[/mm]
>
> ja und wenn ich das irgendwie mit sehr laaangen probieren
> gleich null setzte komme ich auf [mm]k_{1}[/mm] = -3 + [mm]\wurzel{12}[/mm]
> und für [mm]k_{2}[/mm] = -3 - [mm]\wurzel{12}[/mm] --> enfällt ja wegen
> 0<k<6
>
> und wenn ich [mm]k_{1}[/mm] in die 2.ableitung einsetzte komme ich
> auf ein tiefpunkt!!???
Meine Rechnungen haben mich auch auf einen Tiefpunkt gebracht.
Rechenfehler sind immer möglich, aber auch mehrfaches kontrollieren hat bei mir nichts Besseres ergeben.
Da man in der Mathematik nicht immer davon ausgehen kann, dass es zu jeder Aufgabe auch Lösungen gibt und sich die Verfasser auch immer darum bemühen arme Schüler ein bisschen zu Ärgern, würde meine Antwort auf diese aufgabe einfach lauten:
Es gibt keinen Wert k, für den die Fläche zwischen Graph und x-Achse
einen maximalen Inhalt einschließt.
> die aufgabe macht mich echt langsam zu schaffen..und sowas
> in den ferien..:)
>
> danke,für eure geduld mit den ganzen erklärungen für mich!!
Keine Ursache, du schaffst das schon !!!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, da gehen wir mal systematischer vor.
