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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion 3. Grades, deren Graph durch die Punkte A(1/0), B(3/1[mm] \bruch{2}{3} [/mm]), C(0/ [mm] - \bruch{1}{3} [/mm] ) und D(-1/-3) verläuft und beschreiben sie den Verlauf des Graphen der Funktion. |
Hallo,
diese Aufgabe gehört zu einer HA aus meinem Mathebuch. Das Buch schlägt als Lösung f(x)=[mm] \bruch{1}{3} [/mm][mm] x^2-[/mm] [mm] \bruch{7}{6} [/mm][mm] x^2+[/mm] [mm] \bruch{7}{6} [/mm]x-[mm] \bruch{1}{3} [/mm] vor.
Meine Probleme sind folgende:
1.:Ich weiß zwar, dass ich hier das Gauß'sche Algorithmus-Verfahren anwenden muss, was ich auch schon getan habe, aber ich komme auf völlig andere Ergebnisse.
2.:Die Berechnung der Nullstellen, die ich für den zweiten Teil der Aufgabe
brauche, gelingt mir(vielleicht wegen der Falschen Ergebnisse) ebenfalls nicht.
Könnte mir jemand vielleicht vorlegen, wie ich auf das Ergebnis komme?
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion 3. Grades,
> deren Graph durch die Punkte A(1/0), B(3/1[mm] \bruch{2}{3} [/mm]),
> C(0/ [mm]- \bruch{1}{3}[/mm] ) und D(-1/-3) verläuft und beschreiben
> sie den Verlauf des Graphen der Funktion.
> Hallo,
> diese Aufgabe gehört zu einer HA aus meinem Mathebuch. Das
> Buch schlägt als Lösung f(x)=[mm] \bruch{1}{3}[/mm][mm] x^{\red{3}}-[/mm]
> [mm]\bruch{7}{6}[/mm][mm] x^2+[/mm] [mm]\bruch{7}{6} [/mm]x-[mm] \bruch{1}{3}[/mm] vor.
> Meine Probleme sind folgende:
> 1.:Ich weiß zwar, dass ich hier das Gauß'sche
> Algorithmus-Verfahren anwenden muss, was ich auch schon
> getan habe, aber ich komme auf völlig andere Ergebnisse.
> 2.:Die Berechnung der Nullstellen, die ich für den zweiten
> Teil der Aufgabe
> brauche, gelingt mir(vielleicht wegen der Falschen
> Ergebnisse) ebenfalls nicht.
> Könnte mir jemand vielleicht vorlegen, wie ich auf das
> Ergebnis komme?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
"Vorlegen" tun wir hier normalerweise nichts, aber wir helfen gern.
Ansetzen würde man hier ja [mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
[/mm]
der Punkt D zum Beispiel liefert die Gleichung
[mm] -3=a*(-1)^3+b*(-1)^2+c*(-1)+d=-a+b-c+d,
[/mm]
entsprechend für die anderen drei Punkte.
Man erhält, wie Du richtig sagst, ein LGS, welches man mit irgendeiner der Mehtoden, die man kann, löst.
Rechne am besten mal vor, was Du getan hast, sonst kann man Deinen Fehler ja nicht finden.
Zu den Nullstellen:
es ist also f(x)=[mm] \bruch{1}{3}[/mm][mm] x^3-[/mm] [mm]\bruch{7}{6}[/mm][mm] x^2+[/mm] [mm]\bruch{7}{6} [/mm]x-[mm] \bruch{1}{3}[/mm] .
Eine Nullstelle kennst Du bereits: den Punkt A.
Klammere aus f(x) nun den Linearfaktor (x-1) aus. (Polynomdivision)
Du hast dann f(x)=(x-1)* quadratisches.Polynom.
Nun bestimme die Nullstellen des quadratischen Polynoms.
Gruß v. Angela
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Hey vielen Dank für die schnelle Antwort!
>Rechne am besten mal vor, was Du getan hast, sonst kann man Deinen >Fehler ja nicht finden.
Also bei mir sieht das so aus:
A(1/0) [mm] \Rightarrow 0=a_3\*1^3+a_2\*1^2+a_1\*1+a_0
[/mm]
[mm] B(3/1\bruch{2}{3}) \Rightarrow 1\bruch{2}{3}=a_3\*3^3+a_2\*3^2+a_1\*3+a_0
[/mm]
[mm] C(0/-\bruch{1}{3}) \Rightarrow -\bruch{1}{3}=a_3\*0+a_2\*0+a_1\*0+a_0 \Rightarrow a_0=-\bruch{1}{3}
[/mm]
D(-1/-3) [mm] \Rightarrow -3=a_3\*(-1)^3+a_2\*(-1)^2+a_1\*(-1)+a_0
[/mm]
I [mm] -\bruch{1}{3}=a_3+a_2+a_1
[/mm]
II [mm] 1\bruch{1}{3}=27a_3+9a_2+3a_1
[/mm]
III [mm] -3\bruch{1}{3}=-a_3+a_2-a_1
[/mm]
[mm] a_1 a_2 a_3
[/mm]
1 1 1 / [mm] -\bruch{1}{3}-----+ /\*3---+
[/mm]
3 9 27 / [mm] 1\bruch{1}{3} [/mm] !+ < --!-
-1 1 -1 / [mm] -3\bruch{1}{3} [/mm] <-
--------------------------------------------------
1 1 1 / [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
0 6 24 / [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
0 2 0 / [mm] -3\bruch{2}{3}
[/mm]
--------------------------------------------------
1 1 1 / [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
0 0 18 / [mm] -1\bruch{2}{3}
[/mm]
0 2 0 / [mm] -3\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] a_3=-1\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] a_2=-3\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] a_1=3\bruch{2}{3}+1\bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] a_1=\bruch{17}{3}
[/mm]
[mm] f(x)=-1\bruch{2}{3}x^3-3\bruch{2}{3}x^2+5\bruch{2}{3}x
[/mm]
Mir sind jetzt beim abschreiben selbst ein paar Fehler aufgefallen(hehe...)
Ich bin dennoch für jede Korrektur dankbar!
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> Hey vielen Dank für die schnelle Antwort!
> >Rechne am besten mal vor, was Du getan hast, sonst kann
> man Deinen >Fehler ja nicht finden.
> Also bei mir sieht das so aus:
> A(1/0) [mm]\Rightarrow 0=a_3\*1^3+a_2\*1^2+a_1\*1+a_0[/mm]
>
> [mm]B(3/1\bruch{2}{3}) \Rightarrow 1\bruch{2}{3}=a_3\*3^3+a_2\*3^2+a_1\*3+a_0[/mm]
>
> [mm]C(0/-\bruch{1}{3}) \Rightarrow -\bruch{1}{3}=a_3\*0+a_2\*0+a_1\*0+a_0 \Rightarrow a_0=-\bruch{1}{3}[/mm]
>
> D(-1/-3) [mm]\Rightarrow -3=a_3\*(-1)^3+a_2\*(-1)^2+a_1\*(-1)+a_0[/mm]
>
> I [mm]-\bruch{1}{3}=a_3+a_2+a_1[/mm]
Hallo,
hier sehe ich schon gleich einen Fehler. Wenn [mm] a_0=-\bruch{1}{3}, [/mm] dann muß doch hier links [mm] -(-\bruch{1}{3})= \bruch{1}{3} [/mm] stehen.
Dieser Fehler zieht sich natürlich weiter durch. das, was Du ansonsten tust, sieht vom Prinzip her zunächst richtig aus.
> II [mm]1\bruch{1}{3}=27a_3+9a_2+3a_1[/mm]
> III [mm]-3\bruch{1}{3}=-a_3+a_2-a_1[/mm]
>
>
> [mm]a_1 a_2 a_3[/mm]
>
> 1 1 1 / [mm]-\bruch{1}{3}-----+ /\*3---+[/mm]
>
> 3 9 27 / [mm]1\bruch{1}{3}[/mm] !+ <
> --!-
> -1 1 -1 / [mm]-3\bruch{1}{3}[/mm] <-
> --------------------------------------------------
> 1 1 1 / [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
> 0 6 24 / [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> 0 2 0 / [mm]-3\bruch{2}{3}[/mm]
> --------------------------------------------------
> 1 1 1 / [mm]-\bruch{1}{3}[/mm]
> 0 0 18 / [mm]-1\bruch{2}{3}[/mm]
> 0 2 0 / [mm]-3\bruch{2}{3}[/mm]
Lassen wir jetzt mal den Fehler, der natürlich Folgen hat, außen vor.
Mit ist nicht klar, wie Du jetzt zu den unten angegebenen [mm] a_3,a_2, a_1 [/mm] kommst.
Der letzten Zeile bespielsweise würde ich entnehmen: [mm] 2x_2=-3\bruch{2}{3} [/mm] ==> [mm] x_2= -\bruch{11}{6}.
[/mm]
>
>
>
> [mm]a_3=-1\bruch{2}{3}[/mm]
> [mm]a_2=-3\bruch{2}{3}[/mm]
> [mm]a_1=3\bruch{2}{3}+1\bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}[/mm]
> [mm]a_1=\bruch{17}{3}[/mm]
>
>
> [mm]f(x)=-1\bruch{2}{3}x^3-3\bruch{2}{3}x^2+5\bruch{2}{3}x[/mm]
Hier frage ich mich nun - alle anderen Fehler vernachlässigend -, wo das [mm] a_0 [/mm] geblieben ist.
Geh's nochmal langsam an, ich denke, Du schaffst das.
Gruß v. Angela
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