Funktionsterm durch Punkte < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | In. Fig 2 ist der Graph der Ableitung f´einer ganzrationalen Funktion vierten Grades angezeigt. Die Funktion hat bei x=1 eine Nullstelle . Bestimmen sie den Funktionsterm |
Hallo
die Aufgabe mit dem Schaubild habe ich hier über Imageshack hochgeladen.
http://imageshack.us/photo/my-images/521/aufgaben.jpg/
mein Vorgehen:
1:Die Stammfunktion generell bestimmen.
[mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
2: Die Ableitung bestimmen
[mm] f´(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d
[/mm]
3: 4 Punkte aus dem Graphen(Ableitung) suchen und in meinen Funktionsterm einsetzen.
4. Eine Matrix bilden, in den Taschenrechner eingeben und die Werte für a,b,c,d erhalten.
Damit wäre dann die Ablleitung schonmal fertig.
5. Die Werte in die Stammfunktion einsetzen und MIttels des Punktes (1/0) ( Nullstelle der Stammfunktion) ganz einfach nach der letzten fehlenden Variable e auflösen
Mein Problem.
Ich komme nicht auf ein vernünftiges Ergebnis für die Ableitung.
als Punkte habe ich gewählt:
P1 (-1,5/2)
P2 (0/3)
P3 (1/1)
p4 (3/2)
Meine Matrix sieht dann so aus:
-13,5 6,75 -3 1 2
0 0 0 1 3
4 3 2 1 1
108 27 6 1 2
als Werte erhalte ich:
a= 0,10555
b= -0,2852
c= -0,78334
d= 3
Tippe ich nun die vollständige Ableitung in meinen Taschenrechner erscheint eine Funktion die Ähnlich der gesuchten aussieht.
Aber: die Punkte welche auf jeden Fall dain enthalte sein sollten sind es garnicht.
Wenn ich zb den Punkt P1 (-1,5/2) auf dem Graphen suche ich dieser garnicht vorhanden.
genauso wie (3/2) usw.
Kurz gesagt. ich hab keine Ahnung wo mein Fehler ist.
Muss ich andere , markantere Punkte wählen ?
Die Extremstellen aus der Ableitung sind ja nicht eindeutig ablesbar wie ich finde.
Danke schonmal und Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Fr 18.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dein Weg ist korrekt, ich würde aber die Ableitung als Funktion g(x) bestimmen.
Bestimme g(x), also die angezeigte Funktion (dritten Grades) über folgende Bedingungen:
g(3)=2
g(0)=3
g(1)=1
g'(2)=0
Das sind meiner Meinung nach die markantesten Punkte. Wo du bei deinem Gleichungssystem den Dreher hast, kann ich ohne Rechnung nicht beurteilen.
Hast du diese Funktion, die ja die Ableitung einer Funktion f ist, kannst du über die Stammfunktion dann f bestimmen.
Ich bekomme, mit dem Gauß-Algorithmus:
[mm] g(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{7}{6}x^2-\frac{4}{3}x+3
[/mm]
Und diese Funktion scheint korrekt zu sein, wenn man sie sich plotten lässt.
Es gilt:
g(x)=f'(x), also f(x)=G(x)
Beachte, dass du beim Bilden der Stammfunktion eine additive Konstante C bekommst, also f(x)=G(x)+C
Bestimme nun C so, dass G(1)=0.
Marius
Ach ja: Mit deinen Werten
g(3)=2
g(0)=3
g(1)=1
g(0,5)=2
bekomme ich:
[mm] g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-\frac{11}{6}x+3
[/mm]
Und diese Funktion hat um x=2 in der Tat keine Passage unterhalb der x-Achse.
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Danke für die Antwort:
ich habe nach deinem Schema gerechnet.
Wenn ich richtig verstehe hast du also zusätzlich noch die 2. Ableitung gebildet und die Bedingung gewählt , dass diese an der Stelle x=2 Null sein muss ( Erste Ableitung hat dort ein Minimum)
Kann ich dann also eine MAtrix aufstellen die in den ersten 3 Zeilen aus den Gleichungen der 1. Ableitung besteht und in der 4. aus der Gleichung der 2. Ableitung:
also wie folgt:
[mm] \pmat{ 4*3^3 & 3*3^2 & 2*3&1&2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 1 \\ 12*2^2 & 6*2 & 2 & 0 & 0}
[/mm]
Bei dieser Matrix komme ich nämlich nicht auf deine Koeffizienten.
Vllt könntest du mir einfach mal deine vorhin gerechnete Matrix überlassen.
Danke nochmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Fr 18.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Danke für die Antwort:
>
> ich habe nach deinem Schema gerechnet.
> Wenn ich richtig verstehe hast du also zusätzlich noch
> die 2. Ableitung gebildet und die Bedingung gewählt , dass
> diese an der Stelle x=2 Null sein muss ( Erste Ableitung
> hat dort ein Minimum)
So ist es.
>
> Kann ich dann also eine MAtrix aufstellen die in den ersten
> 3 Zeilen aus den Gleichungen der 1. Ableitung besteht und
> in der 4. aus der Gleichung der 2. Ableitung:
>
> also wie folgt:
>
> [mm]\pmat{ 4*3^3 & 3*3^2 & 2*3&1&2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
4 & 3 & 2 & 1 & 1 \\
12*2^2 & 6*2 & 2 & 0 & 0}[/mm]
>
>
> Bei dieser Matrix komme ich nämlich nicht auf deine
> Koeffizienten.
> Vllt könntest du mir einfach mal deine vorhin gerechnete
> Matrix überlassen.
Ich habe erstmal nur g berechnet, und nicht beachtet, dass g die Ableitung einer Funktion f ist.
Mit den Bedingungen Angaben
g(3)=2
g(0)=3
g(1)=1
g'(2)=0
bekommst du folgendes Gleichungssystem:
[mm] \vmat{27a + 9b + 3c + d = 2\\d = 3\\a + b + c + d = 1\\12a + 4b + c = 0}
[/mm]
Umsortieren:
[mm] \vmat{a + b + c + d = 1\\27a + 9b + 3c + d = 2\\12a + 4b + c = 0\\d = 3}
[/mm]
d=3 einsetzen
[mm] \vmat{a + b + c = -2\\27a + 9b + 3c = -5\\12a + 4b + c = 0\\d = 3}
[/mm]
Und das mit dem Gauß-Verfahren gelöst ergibt eben das [mm] g(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{7}{6}x^2-\frac{4}{3}x+3, [/mm] dessen Stammfunktion du dann noch bestimmen musst, wie in meiner ersten Antwort geschrieben.
Marius
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Hallo!
ich habe deine Rechnung mal durch wxmaxima gejagt.
Deine Matrix scheint mir auch OK zu sein, und dann bekomme ich:
a=19/180
b=-77/270
c=-47/60
d=3
oder numerisch:
a=.1055555555555556
b=-.2851851851851852
c=-.7833333333333333
d=3.0
Das paßt genau zu deinen Ergebnissen.
Wenn ich daraus wieder das Polynom mache:
[mm] $f(x)=\frac{4*19}{180}\,{x}^{3}-\frac{3*77}{270}\,{x}^{2}+\frac{\left( -2\right) *47}{60}\,x+3$
[/mm]
bekomme ich exakt die gezeigte Kurve, die das Diagramm zeigt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und wenn ich deine x-Werte eingebe, kommen auch exakt die y-Werte raus.
Hast du evtl. die Vorfaktor beim zusammenbasteln der Funktion vergessen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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