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| Aufgabe | Führen Sie ein Funktionsuntersuchung durch
f(x)=3x [mm] x^{4}+4x x^{3}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{1}{3}x x^{3}-x
[/mm]
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hey,
also ich habe mit keinem schritt ein Problem auser mit der errechnung der Wendestellen... Ich habe da zwar eine leise Ahnung aber mehr auch nicht. Könnter einer mir anhand dieser beiden aufgaben mir das Verfahren erklären? danke
clafoutis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Sa 29.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo clafoutis,
die Funktionen sehen etwas dubios aus in der Darstellung. Fehlen da Klammern oder Bruchstriche?
Gruß,
Infinit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Sa 29.07.2006 | | Autor: | Teufel |
Die "überflüssigen" xe sind sicher nur Malzeichen.
Also, notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Wendepunktes ist, dass die 2. Ableitung 0 ist. Das heißt, dass du nur die Gleichungen 2mal ableiten musst und diese 0 setzt und x berechnest.
Hinreichende Bedingung ist noch, dass die 3. Ableitung ungleich 0 ist. Das kannst du danach prüfen.
Oder wo gibts genau Probleme?
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| Aufgabe | | [mm] \bruch{1}{3} x^{3}-x [/mm] |
hey,
ok ich hoffe doch das ist jetzt richtig dargestellt... ja in ordnung die x koordinate bekommt man aus der zweiten ableitung aber wie ist es mit der y koordinate? ich glaube ich habe irgendwie ein brett vor dem kopf... sowas vorgerechnet könnte mir da vielleicht nachhelfen. danke für eure hilfe.
clafoutis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Sa 29.07.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo clafoutis,
das kann nur die Hitze sein.
Wenn Du die x-Werte ausgerechnet hast durch das Nullsetzen der zweiten Ableitung, setzt Du diese x-Werte wieder in die ursprüngliche Gleichung ein und bekommst so die dazugehörigen y-Werte.
Bei Deiner Augabe ist das allerdings nicht sehr spannend:
$$ [mm] y^{''}(x) [/mm] = 2 x .$$
Diese Gleichung zu Null setzen, gibt Dir [mm] x = 0 [/mm]. Das wiederum in die Ausgangsgleichung eingesetzt, ergibt auch als y-Wert Null.
Diese Vorgehensweise funktioniert natürlich auch bei der anderen Gleichung, die Du noch angegeben hattest.
Ich hoffe, das Ganze ist jetzt klarer geworden (trotz der Hitze).
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | f(x)= [mm] \bruch{1}{6}(x+1)x^{2} [/mm] (x-2)
f(x)= [mm] \bruch{1}{8} x^{4}-\bruch{3}{4}x^{3}+\bruch{3}{2}x^{2} [/mm] |
hey,
danke nochmal mit den wendestellen. Habe ich jetzt gecheckt. Nur habe ich jetzt mit den zwei problemen. Bei der ersten weis ich was ich machen soll:
die ganzen klammern auflösen um die ableitungen zu bilden aber wie mache ich das? erst das binom auflösen und dann mit [mm] \bruch{1}{6} [/mm] mal nehmen und das ganze dann mit (x-2) mal nehmen oder anders? Ich habe diesen Weg versucht aber da kam nicht das raus was rauskommen sollte...
und bei der zweiten tu ich mich schwer die nullstellen rauszubekommen. Ich habe zunächst [mm] x^{2} [/mm] ausgeklammert und dann wollte ich p,q formel ansetzen wobei dann irgendwas merkwürdiges rauskam das auch nicht der lösung entspricht...
und ich hätte generell eine frage. ich habe die polynomdivision verstanden jedoch tue ich mich immernoch schwer den ansatz zu finden bzw. die erste Nullstelle zu finden so um die division zu starten. gibt es da einen trick wie man daran schneller rankommt als ausprobieren?
[edit] Vorzeichen gelöscht[informix]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 So 30.07.2006 | | Autor: | clafoutis |
sorry,
hab gerade bemerkt das ich was falsch eingetippt habe. vergisst bei der zweiten aufgabe das - vor der 3 bei [mm] \bruch{-3}{4}. [/mm] ist einfach nur [mm] \bruch{3}{4}.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 30.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> f(x)= [mm]\bruch{1}{6}(x+1)x^{2}[/mm] (x-2)
> f(x)= [mm]\bruch{1}{8} x^{4}-\bruch{-3}{4}x^{3}+\bruch{3}{2}x^{2}[/mm]
>
> hey,
> danke nochmal mit den wendestellen. Habe ich jetzt
> gecheckt. Nur habe ich jetzt mit den zwei problemen. Bei
> der ersten weis ich was ich machen soll:
> die ganzen klammern auflösen um die ableitungen zu bilden
> aber wie mache ich das? erst das binom auflösen und dann
> mit [mm]\bruch{1}{6}[/mm] mal nehmen und das ganze dann mit (x-2)
> mal nehmen oder anders?
Hallo clafoutis
Das ist im Grunde genommen egal, wie herum du die Klammern löst.
f(x)= [mm] \bruch{1}{6}(x+1)x²(x-2)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{6} [/mm] (x³+x²) (x-2)
= [mm] \bruch{1}{6} x^{4} [/mm] + x³ - 2x³ -2x² = [mm] \bruch{1}{6} x^{4} [/mm] - x³- 2x²
Das ganze jetzt 2 mal ableiten ergibt eine quadratische 2. Ableitung. Hiervon kannst du die Nullstellen per P-q-Formel errechnen.
>Ich habe diesen Weg versucht aber
> da kam nicht das raus was rauskommen sollte...
Was sollte denn rauskommen?
> und bei der zweiten tu ich mich schwer die nullstellen
> rauszubekommen. Ich habe zunächst [mm]x^{2}[/mm] ausgeklammert und
> dann wollte ich p,q formel ansetzen wobei dann irgendwas
> merkwürdiges rauskam das auch nicht der lösung
> entspricht...
Im Prinzip bist du aberauf dem richtigen weg.
[mm] \bruch{1}{8} x^{4} -\bruch{3}{4} [/mm] x³ + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] x²
= x² [mm] (\bruch{1}{8} [/mm] x² [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] x + [mm] \bruch{3}{2})
[/mm]
Jetzt musst du noch Form x²+px+q kommen.
[mm] \bruch{1}{8} [/mm] x² [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] x + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = 0 | [mm] \bruch{1}{8} [/mm]
x² - 6x +12 = 0
Das ganze kannst du jetzt per p-q Formel lösen.
> und ich hätte generell eine frage. ich habe die
> polynomdivision verstanden jedoch tue ich mich immernoch
> schwer den ansatz zu finden bzw. die erste Nullstelle zu
> finden so um die division zu starten. gibt es da einen
> trick wie man daran schneller rankommt als ausprobieren?
Nein, wenn nichts in der Aufgabe gegeben ist. Aber die zu erratende Nullstelle muss ein Teiler der Zahl ohne Variable sein.
Hilft das weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 So 30.07.2006 | | Autor: | clafoutis |
sorry,
hab gerade bemerkt das ich wieder was falsch eingetippt habe.
die erste aufgabe lautet:
f(x) = [mm] \bruch{1}{6}(x+1)^{2} [/mm] (x-2)
und nachdem man alles gelöst hat sollte
[mm] f(x)=\bruch{1}{6} x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x-\bruch{1}{3}
[/mm]
ok du hast mir ein ganzes stück weitergeholfen... Ich habe gerade bemerkt dass ich die pq formel falsch angesetzt habe....
danke vielmals für deine Hilfe!!!
clafoutis
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Ich habe eine Frage zur p,q formel da ich sie seit langer langer zeit nicht mehr benutzt habe.
Ich möchte sie gerne an diese funktion anwenden:
- [mm] \bruch{1}{4} x^{4} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
also zunächst auf die form [mm] x^{2}+px+q [/mm] bringen
[mm] x^{4} [/mm] - 4 [mm] x^{2} [/mm] + 5 /wurzel ziehen
[mm] x^{2} [/mm] - 4 x + [mm] \wurzel{5}
[/mm]
und das jetzt in die formel eingesetzt ergibt am ende
-2 [mm] \pm \wurzel{4} [/mm] - wurzel 5 (ich wusste jetzt nicht wie es darstellen sollte)
4- wurzel 5 steht unter der wurzel
und was jetzt?
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Hallo clafoutis!
Du machst gleich mehrere Fehler ...
> - [mm]\bruch{1}{4} x^{4}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] + [mm]\bruch{5}{4}[/mm]
> also zunächst auf die form [mm]x^{2}+px+q[/mm] bringen
> [mm]x^{4}[/mm] - 4 [mm]x^{2}[/mm] + 5 /wurzel ziehen
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier musst Du mit den Vorzeichen aufpassen. Immerhin multiplizierst Du diese Gleichung mit [mm] $\red{-} [/mm] \ 4$ . Es ergibt sich also:
[mm] $x^4 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] 4x^2 [/mm] \ [mm] \red{-} \5 [/mm] \ = \ 0$
Nun ersetzen wir hier (sogenannte "Substitution"): $z \ := \ [mm] x^2$ [/mm] und erhalten damit folgende quadratsiche Gleichung:
[mm] $z^2 [/mm] + 4*z-5 \ = \ 0$
Und hier setzen wir nun die Werte $p \ = \ +4$ sowie $q \ = \ -5$ in die  p/q-Formel ein:
[mm] $z_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q}$
[/mm]
Am Ende müssen wir dann aus den beiden $z_$-Lösungen wieder $x_$-Lösungen machen mit [mm] $x_{1/2/3/4} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{z_{1/2}}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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