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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mi 30.01.2008 | | Autor: | MiShelly |
Untersuche die Funktion: [mm] f(x)=y=3x^4-8x^3+6x^2
[/mm]
a) Art der Funktion und Definitionsbereich
b) Symmetrie
c) Achsenschnittpunkte
d) Ableitungen
e) Extrempunkte und Monotonie
f) Wendepunkte und Krümmungsverhalten
also ich habe schon was gerechnet und würde gerne wissen, ob es bis dahin richtig ist.
a) es ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Maximaler Definitionsbereich: ???
b) [mm] f(x)=3x^4-8x^3+6x^2
[/mm]
[mm] f(-x)=3x^4+8x^3+6x^2
[/mm]
-f(-x)= [mm] -(3x^4+8x^3+6x^2)
[/mm]
-f(-x)= [mm] -3x^4-8x^3-6x^2 [/mm] --> Keine Symmetrie
c) setze y=0 Py(0/0)
setze x=0
[mm] f(x)=3x^4-8x^3+6x^2
[/mm]
[mm] f(x)=x^2(3x^2-8x+6)
[/mm]
[mm] 0=x^2(3x^2-8x+6)
[/mm]
1. Fall: X01=0 2. Fall [mm] 0=3x^2-8x+6
[/mm]
[mm] 0=3x^2-8x+6 [/mm] / :3
0= [mm] x^2-2,66x+2
[/mm]
X½ =2,66/2 +- 2,66/2-2
= 1,33 +- -0,23 --> also nicht lösbar oder???
Px½ (0/0)
d) [mm] f(x)=3x^4-8x^3+6x^2
[/mm]
[mm] f´(x)=12x^3-24x^2+12x
[/mm]
[mm] f´´(x)=36x^2-48x+12
[/mm]
f´´´(x)=72x-48
e) die Extrempunkte habe ich genauso Ausgerechnet wie bei C). Ich habe dann Xe1=0 und Xe2/3= 1 kann das stimmen? Habe ich dann zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt?
f´´(0)=12>0 also Tiefpunkt
f´´(1)=0 =0 ist das ein HP oder ein TP???
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Mi 30.01.2008 | | Autor: | abakus |
> Untersuche die Funktion: [mm]f(x)=y=3x^4-8x^3+6x^2[/mm]
> a) Art der Funktion und Definitionsbereich
> b) Symmetrie
> c) Achsenschnittpunkte
> d) Ableitungen
> e) Extrempunkte und Monotonie
> f) Wendepunkte und Krümmungsverhalten
>
> also ich habe schon was gerechnet und würde gerne wissen,
> ob es bis dahin richtig ist.
>
> a) es ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Maximaler
> Definitionsbereich: ???
Es gibt doch keinerlei Einschränkungen (keine Brüche, deren Nenner Null werden könnte, keine Wurzeln, unter denen was negatives steht ...).
Also: für alle reellen Zahlen definiert.
>
> b) [mm]f(x)=3x^4-8x^3+6x^2[/mm]
> [mm]f(-x)=3x^4+8x^3+6x^2[/mm]
> -f(-x)= [mm]-(3x^4+8x^3+6x^2)[/mm]
> -f(-x)= [mm]-3x^4-8x^3-6x^2[/mm] --> Keine Symmetrie
Richtig. Kürzere Argumentation: Die vorkommenden Potenzen von x haben sowohl gerade als auch ungerade Exponente.
>
> c) setze y=0 Py(0/0)
> setze x=0
x und y Vertauscht! Aus x=0 ergibt sich Py(0/0).
> [mm]f(x)=3x^4-8x^3+6x^2[/mm]
> [mm]f(x)=x^2(3x^2-8x+6)[/mm]
> [mm]0=x^2(3x^2-8x+6)[/mm]
> 1. Fall: X01=0 2. Fall [mm]0=3x^2-8x+6[/mm]
>
> [mm]0=3x^2-8x+6[/mm] / :3
> 0= [mm]x^2-2,66x+2[/mm]
> X½ =2,66/2 +- 2,66/2-2
Fehler!
Erstens: Nimm keine Rundungswerte. [mm] 8:3=\bruch{8}{3}
[/mm]
Und unter der Wurzel steht nicht [mm] \bruch{-p}{2}-q, [/mm] sondern [mm] {(\bruch{-p}{2})}^2-q
[/mm]
> = 1,33 +- -0,23 --> also nicht lösbar oder???
> Px½ (0/0)
>
> d) [mm]f(x)=3x^4-8x^3+6x^2[/mm]
> [mm]f´(x)=12x^3-24x^2+12x[/mm]
> [mm]f´´(x)=36x^2-48x+12[/mm]
> f´´´(x)=72x-48
>
> e) die Extrempunkte habe ich genauso Ausgerechnet wie bei
> C). Ich habe dann Xe1=0 und Xe2/3= 1 kann das stimmen? Habe
> ich dann zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt?
>
> f´´(0)=12>0 also Tiefpunkt
> f´´(1)=0 =0 ist das ein HP oder ein TP???
Wenn das Kriterium "2. Ableitung <0 (bzw >0) nicht greift, musst du anderweitig testen, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt. Ist dort ein Wecsel zwischen "monoton wachsend" und "monoton fallend"? Mit anderen Worten: wechselt die erste Ableitung dort das Vorzeichen zwischen + und +?
Deine erste Ableitung ist
[mm] f'(x)=12x^3-24x^2+12x=12x(x^2-2x+1)=12x(x-1)^2
[/mm]
Da [mm] (x-1)^2 [/mm] nie negativ ist und 12x in der unmittelbaren Umgebug von 1 auch postiv ist, wechselt f'(x) an der Stelle x=1 NICHT das Vorzeichen, die Funktion ist dort also mon. wachsend und hat "nur zum Ausruhen" einen einzigen Sattelpunkt mit waagerechter Tangente.
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> Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mi 30.01.2008 | | Autor: | MiShelly |
Vielen Dank für die schnelle Antwort abakus. Ich habe meine Fehler jetzt Korrigiert.
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