Funktionsuntersuchung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 01.02.2011 | | Autor: | Yujean |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=sin(kx)+cos^2(kx) [/mm] |
Hallo Matheräumler ;)
ich möchte eine komplett Funktionsuntersuchung zu der oben genannten Funktion machen. Die erste Ableitung lautet wie folgt:
[mm] f(x)'=kcos(kx)\*(1-2sin(kx))
[/mm]
Diese müsste eigentlich stimmen, oder?!
Ich wollte lieber nachfragen, bevor ich mich an f(x)'' mache...
vielen Dank
Yujean
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Di 01.02.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]f(x)=sin(kx)+cos^2(kx)[/mm]
> Hallo Matheräumler ;)
>
> ich möchte eine komplett Funktionsuntersuchung zu der oben
> genannten Funktion machen. Die erste Ableitung lautet wie
> folgt:
>
> [mm]f(x)'=kcos(kx)\*(1-2sin(kx))[/mm]
>
> Diese müsste eigentlich stimmen, oder?!
ja.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 01.02.2011 | | Autor: | Yujean |
Ok, danke ;)
f'(x) würde ich nun nach der Produktregel ableiten, wobei ich glaube, dass ich hier etwas durcheinander gekommen bin:
[mm] f''(x)=-k^2sin(kx)\*(1-2sin(kx))+k(cos(kx)\*(-2k)cos(kx)
[/mm]
[mm] f''(x)=-k^2sin(kx)\*(1-2sin(kx))-2k^2cos^2(kx)
[/mm]
[mm] f''(x)=-k^2((sin(kx)\*(1-2sin(kx)+2cos^2(kx))
[/mm]
so?! es kommt mir etwas zu viel des Guten vor :D
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> Ok, danke ;)
>
> f'(x) würde ich nun nach der Produktregel ableiten, wobei
> ich glaube, dass ich hier etwas durcheinander gekommen
> bin:
>
> [mm]f''(x)=-k^2sin(kx)\*(1-2sin(kx))+k(cos(kx)\*(-2k)cos(kx)[/mm]
> [mm]f''(x)=-k^2sin(kx)\*(1-2sin(kx))-2k^2cos^2(kx)[/mm]
> [mm]f''(x)=-k^2((sin(kx)\*(1-2sin(kx)+2cos^2(kx))[/mm]
>
> so?! es kommt mir etwas zu viel des Guten vor :D
ne passt!
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 01.02.2011 | | Autor: | Yujean |
Ok, die 2. ableitung ist erstmal egal :-D
auf alle Fälle möchte ich jetzt die Extremstellen bestimmen:
f'(x)=0
[mm] f(x)'=kcos(kx)\*(1-2sin(kx)) [/mm]
man kann doch jetzt auch kcos(kx)=0 und (1-2sin(kx))=0 einzeln betrachten, oder?! ich weiß nur leider nicht mehr warum, auf alle Fälle bekomme ich folgende x-Werte:
kcos(kx)=0 |:k
cos(kx)=0 |cos()^-1 :k
[mm] x_{E1}=\bruch{cos(0)^-1}{k}\approx\bruch{1.5708}{k}
[/mm]
1-2sin(kx)=0
[mm] sin(kx)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x_{E2}=\bruch{sin(\bruch{1}{2})[}{k}\approx\bruch{0.524}{k}
[/mm]
stimmt das?
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> Ok, die 2. ableitung ist erstmal egal :-D
>
> auf alle Fälle möchte ich jetzt die Extremstellen
> bestimmen:
>
> f'(x)=0
>
> [mm]f(x)'=kcos(kx)\*(1-2sin(kx))[/mm]
>
> man kann doch jetzt auch kcos(kx)=0 und (1-2sin(kx))=0
> einzeln betrachten, oder?! ich weiß nur leider nicht mehr
ein produkt ist 0, wenn einer der faktoren 0 ist.
> warum, auf alle Fälle bekomme ich folgende x-Werte:
>
> kcos(kx)=0 |:k
hier solltest du aber überprüfen, dass [mm] k\not= [/mm] 0, denn k=0 löst die obige gleichung immer (für alle x)
> cos(kx)=0 |cos()^-1 :k
> [mm]x_{E1}=\bruch{cos(0)^-1}{k}\approx\bruch{1.5708}{k}[/mm]
oweia... wann der cosinus 1 ist, sollte man aber wissen. und wenn nicht, sollte man wenigstens [mm] \pi/2 [/mm] schreiben, statt [mm] \approx [/mm] 1.5708
>
> 1-2sin(kx)=0
> [mm]sin(kx)=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]x_{E2}=\bruch{sin(\bruch{1}{2})[}{k}\approx\bruch{0.524}{k}[/mm]
>
> stimmt das?
hier lieber [mm] \pi/6 [/mm] stehen lassen
man munkelt aber noch, dass es mehr lösungen gibt (hinweis: sinus/cosinus sind periodisch)
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 01.02.2011 | | Autor: | Yujean |
> > Ok, die 2. ableitung ist erstmal egal :-D
> >
> > auf alle Fälle möchte ich jetzt die Extremstellen
> > bestimmen:
> >
> > f'(x)=0
> >
> > [mm]f(x)'=kcos(kx)\*(1-2sin(kx))[/mm]
> >
> > man kann doch jetzt auch kcos(kx)=0 und (1-2sin(kx))=0
> > einzeln betrachten, oder?! ich weiß nur leider nicht mehr
> ein produkt ist 0, wenn einer der faktoren 0 ist.
oh, ok, vllt hätte ich noch sagen sollen ,dass k>0 sein soll... ändert das dann was? sorry, aber ich komm mit diesen sinus/kosinus-funktionen nicht so zurecht :/
> > warum, auf alle Fälle bekomme ich folgende x-Werte:
> >
> > kcos(kx)=0 |:k
> hier solltest du aber überprüfen, dass [mm]k\not=[/mm] 0, denn
> k=0 löst die obige gleichung immer (für alle x)
> > cos(kx)=0 |cos()^-1 :k
> > [mm]x_{E1}=\bruch{cos(0)^-1}{k}\approx\bruch{1.5708}{k}[/mm]
> oweia... wann der cosinus 1 ist, sollte man aber wissen.
???
> und wenn nicht, sollte man wenigstens [mm]\pi/2[/mm] schreiben,
> statt [mm]\approx[/mm] 1.5708
> >
> > 1-2sin(kx)=0
> > [mm]sin(kx)=\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> >
> [mm]x_{E2}=\bruch{sin(\bruch{1}{2})[}{k}\approx\bruch{0.524}{k}[/mm]
> >
> > stimmt das?
> hier lieber [mm]\pi/6[/mm] stehen lassen
> man munkelt aber noch, dass es mehr lösungen gibt
> (hinweis: sinus/cosinus sind periodisch)
und wie bekomme ich die anderen raus? ok, ich hab vergessen, dass [mm] x\in[0;2\pi] [/mm] sein soll. Das bedeutete ja, dass man die Funktion nur in dem Bereich betrachten soll.
> >
>
> gruß tee
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> > > Ok, die 2. ableitung ist erstmal egal :-D
> > >
> > > auf alle Fälle möchte ich jetzt die Extremstellen
> > > bestimmen:
> > >
> > > f'(x)=0
> > >
> > > [mm]f(x)'=kcos(kx)\*(1-2sin(kx))[/mm]
> > >
> > > man kann doch jetzt auch kcos(kx)=0 und (1-2sin(kx))=0
> > > einzeln betrachten, oder?! ich weiß nur leider nicht mehr
> > ein produkt ist 0, wenn einer der faktoren 0 ist.
>
> oh, ok, vllt hätte ich noch sagen sollen ,dass k>0 sein
> soll... ändert das dann was? sorry, aber ich komm mit
> diesen sinus/kosinus-funktionen nicht so zurecht :/
ja es ändert das, dass man keine fallunterscheidungen braucht und getrost durch k teilen kann
>
> > > warum, auf alle Fälle bekomme ich folgende x-Werte:
> > >
> > > kcos(kx)=0 |:k
> > hier solltest du aber überprüfen, dass [mm]k\not=[/mm] 0, denn
> > k=0 löst die obige gleichung immer (für alle x)
> > > cos(kx)=0 |cos()^-1 :k
> > > [mm]x_{E1}=\bruch{cos(0)^-1}{k}\approx\bruch{1.5708}{k}[/mm]
> > oweia... wann der cosinus 1 ist, sollte man aber
> wissen.
wann der cosinus 0 ist meinte ich. aber beide markante stellen sollte man kennen.
der cosinus ist für alle [mm] t*\pi+\pi/2 [/mm] =0 mit [mm] t\in\IZ
[/mm]
>
> ???
>
> > und wenn nicht, sollte man wenigstens [mm]\pi/2[/mm] schreiben,
> > statt [mm]\approx[/mm] 1.5708
> > >
> > > 1-2sin(kx)=0
> > > [mm]sin(kx)=\bruch{1}{2}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]x_{E2}=\bruch{sin(\bruch{1}{2})[}{k}\approx\bruch{0.524}{k}[/mm]
> > >
> > > stimmt das?
> > hier lieber [mm]\pi/6[/mm] stehen lassen
> > man munkelt aber noch, dass es mehr lösungen gibt
> > (hinweis: sinus/cosinus sind periodisch)
>
> und wie bekomme ich die anderen raus? ok, ich hab
> vergessen, dass [mm]x\in[0;2\pi][/mm] sein soll. Das bedeutete ja,
> dass man die Funktion nur in dem Bereich betrachten soll.
>
betrachte mal alles für k=1, dann hast du ja eine ganz normale sin bzw cosinusfunktion.
nun schaue mal, wie oft und wo ein cosinus den wert 0 annimmt (im bereich [mm] 0-2\pi). [/mm] das gleiche machst du mit dem sinus und dem wert 1/2.
und stelle eine gesetzmässigkeit fest
> > >
> >
> > gruß tee
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 01.02.2011 | | Autor: | Yujean |
danke für deine Hilfe, aber leider verstehe ich garnicht was du meinst mit
"betrachte mal alles für k=1, dann hast du ja eine ganz normale sin bzw cosinusfunktion.
nun schaue mal, wie oft und wo ein cosinus den wert 0 annimmt (im bereich $ [mm] 0-2\pi). [/mm] $ das gleiche machst du mit dem sinus und dem wert 1/2.
und stelle eine gesetzmässigkeit fest "
muss ich das jetzt bei den Extrempunkten gucken, oder bei der Funktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Di 01.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Yujean!
Diese Betrachtung musst Du mit der Ableitung [mm] $f_k'(x)$ [/mm] durchführen, da Du hier die Extremstellen (und damit die Nullstellen der 1. Ableitung) suchst.
Gruß
Loddar
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