Funktionsuntersuchung mit e < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:17 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
| Aufgabe | Es soll eine Funktionsuntersuchung bei folgenden Funktionen mit der eulerschen Zahl durchgeführt werden:
Als Beispiele greife ich 1), 2), 6), 7), 8) unfd 9) heraus.
Es geht mir vor allem um die Berechnung der Nullstellen (Schnittpunkte mit der Koordinatenachse), Extrempunkte und der Wendepunkte.
1) f(x)= [mm] e^x [/mm] + e^(-2x)
2) f(x)= [mm] (e^{-x}-1)^2 [/mm] (alles hoch 2)
3) f(x)= x - (e^(-2x))
4) f(x)= 2*(x- 1/2*ln(x))
5) f(x)= [mm] e^x [/mm] + e^(-x) - 2
6) f(x)= [mm] (x+1)/(e^x)
[/mm]
7) f(x)= [mm] (ln(x))^2 [/mm] (alles hoch 2)
8) f(x)= [mm] ln(x^2 [/mm] + 4)
9) f(x)= [mm] e^x [/mm] * (e^(x) - 2) |
Ich hoffe, jemand kann mir weiterhelfen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
"^" heißt hoch (n)
Was sind Asymptoten?
Zu 9):
Der Graph von f sei K.
a) Untersuchen sie K auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Asympoteten, Extrem- und Wendepunkte. Welche Wertemenge hat f? Zeichnen sie K.
b) Berechnen sie den Inhalt A(u) der Fläche, die von K, den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x = - [mm] e^2 [/mm] begrent wird.
Lösungen:
a) Ableitungen: (diese konnte ich auch selbstständig bestimmen)
f'(x)= 2e^(2x) - [mm] 2e^x
[/mm]
f''(x)= 4e^(2x) - [mm] 2e^x
[/mm]
f'''(x)= 8e^(2x) - [mm] 2e^x
[/mm]
Nullstelle: x= ln(2)
Gemeinsamer Punkt mit der x-Achse: N (ln(2)/0)
f(0)= -1
Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0/-1)
Asymptote: y=0 für x -> - oo
Extremstelle: x=0 ; f''(0)= 2 > 0
Tiefpunkt: T(0/-1)
Wendestelle: x=-ln(2) ; F'''(-ln(2)) = 1
Wendepunkt: W(-ln(2) / -3/4)
Wertemenge: -1 < y < oo
Graph: Wie geht man bei der Zeichnung vor?
b) Die Fläche liegt vollständig im 4. Quadranten, das Integral wird deshalb negativ. Die Integralgrenzen sind [mm] -e^2 [/mm] und 0.
A= [mm] \integral_{0}^{-e^2}{f(x) dx} [/mm] ~ 1,4988
hier: f(x)= e^(2x)-2e(x)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Sa 11.03.2006 | | Autor: | PStefan |
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]")
Lese dir die Forenregeln durch bevor du etwas schreibst!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Ich wollte mich dafür entschuldigen, falls ich unhöflich war...
Ich versuche momentan mit Hilfe anderer Beiträge im Forum einige der von mir gestellten Aufgaben selbst zu lösen und melde mich dann demnächst.
An Nachtwächter: Danke für die Tipps. :)
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1. Nullstellen finden:
Aufg. 1:Hilfsfrage: Wann wird die e-Funktion negativ?
Aufg. 2: leider unklar wie der Funktionsterm heißen soll
Aufg. 3: versuchen aufzulösen und den ln(.) auf beiden Seiten anzuwenden
Aufg.4: Tipp: ein Produkt wird 0 wenn ein Faktor 0 wird
Aufg.5: ähnlich wie aufg. 3
Aufg. 6: Tipp: ein Bruch wird 0 wenn der Zähler 0 wird
Aufg. 7: Tipp: [mm] a^2 [/mm] heißt a*a, es wird also 0 wenn a 0 wird!
Aufg. 8: Hilfsfrage: Wo hat der ln(x) seine Nullstelle? damit [mm] $ln(x^2+4)=0$ [/mm] muss [mm] $x^2+4$ [/mm] gleich der Nullstelle von ln(x) sein
Aufg.9 Tipp: ein Produkt wird null wenn ein Faktor null wird.
2. Extrempunkte, Wendepunkte... man muss halt die Ableitungen bestimmen...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Sa 11.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Ich glaube, ich habe gerade einen fatalen Fehler entdeckt:
f(x)= [mm] 2e^{2x} [/mm] - [mm] 2e^{x}
[/mm]
[mm] e^{2x} [/mm] - [mm] 2e^{x} [/mm] = 0 / :2
z= [mm] e^{x}
[/mm]
Folgt dann: [mm] z^{2} [/mm] - z = 0
oder
[mm] z^{2} [/mm] - 1 = 0 <-- das hier ist richtig, oder?
Ich habe gerade einige der Aufgaben versucht selbst zu lösen, bin auch zum Teil zu Ergebnissen gekommen.
Zu 2):
f(x)= [mm] e^{-2x} [/mm] - [mm] 2e^{-x} [/mm] +1
[mm] e^{-2x} [/mm] - [mm] 2e^{-x} [/mm] +1 = 0
z = [mm] e^{-x}
[/mm]
[mm] z^{2} [/mm] - 2z + 1 = 0
Dann kommt allerdings z=0 raus... Hinzu kommt noch das Problem, dass man aus 0 keine Wurzel ziehen darf (?)...
Ist der Lösungsansatz so nicht richtig?
Extremstellen:
f'(x)= [mm] -2e^{-2x} [/mm] + [mm] 2e^{-x}
[/mm]
[mm] -2e^{-2x} [/mm] + 2e ^{-x} = 0 / : (-2)
[mm] e^{-x}(e^{x} [/mm] - 1) = 0
x1 = 0
z = [mm] e^{-x}
[/mm]
z2 = [mm] \wurzel{1}
[/mm]
z3 = - [mm] \wurzel{1}
[/mm]
x2= [mm] e^{ \wurzel{1}}
[/mm]
x3= [mm] e^{- \wurzel{1}}
[/mm]
Ist das so richtig?
In unserem Buch steht als Lösung für Nullstellen: x= ln(2)
Ich habe leider ein anderes Ergebnis... Könnt ihr mir sagen, was ich falsch gemacht habe?
Als Extremstelle ist x=0 und f´´(0)= 2 > 0 angegeben...Ich habe aber 2 weitere Extremstellen herausbekommen...
Im Buch ist nur noch ein Tiefpunkt angegeben: T(0/-1).
Beim Einsetzen der beiden anderen Extremstellen in die f´´(x) kommen (falls ich mich nicht verrechnet habe) folgende Zahlen heraus: [mm] f´´(\wurzel{1}= [/mm] 0,004134 und f´´(- [mm] \wurzel{1})= [/mm] 27,556...
Diese Ergebnisse haben mich vollkommen irritiert...
Und ich komme damit leider überhaupt nicht weiter...
Zu 9):
f(x)= [mm] e^{x}*(e^{x} [/mm] - 2) = e{2x} - 2e{x}
z = [mm] e^{x} [/mm] ....
[mm] z_{1}= \wurzel{2}
[/mm]
[mm] z_{2}= [/mm] - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
anderer Lösungsansatz folgt...
Zu 1):
Nullstellen:
f(x) = [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-2x}
[/mm]
[mm] z=e^{x}
[/mm]
[mm] 1+z^{-2} [/mm] = 0
[mm] z^{-2} [/mm] = 0
[mm] 1/z^{2} [/mm] = -1 / [mm] *z^{2}
[/mm]
1 = [mm] -z^{2} [/mm] /: (-1)
[mm] z^{2} [/mm] = -1 / [mm] \wurzel
[/mm]
Man darf ja keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen...
Habe ich vielleicht bei der Rechnung einen Fehler begangen? Die Umstellung von [mm] z^{-2} [/mm] kam mir etwas merkwürdig vor...
Vielen Dank im voraus für die Hilfe. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 So 12.03.2006 | | Autor: | Yna |
Hallo Anna,
ich kann dir leider nicht bei allem helfen, aber:
> Ich glaube, ich habe gerade einen fatalen Fehler entdeckt:
>
> f(x)= [mm]2e^{2x}[/mm] - [mm]2e^{x}[/mm]
> [mm]e^{2x}[/mm] - [mm]2e^{x}[/mm] = 0 / :2
> z= [mm]e^{x}[/mm]
> Folgt dann: [mm]z^{2}[/mm] - z = 0
Wenn das f(x)= [mm]2e^{2x}[/mm] - [mm]2e^{x}[/mm] deine Funktion ist, dann ist [mm]z^{2} - z = 0 [/mm] richtig.
Für z hast du dann [mm]z = 0 [/mm] und [mm]z = 1 [/mm]
Aus [mm] e^{x} = 1 [/mm] folgt [mm]x = ln1 [/mm] und [mm]e^{x} = 0 [/mm] geht nicht, da [mm]ln0[/mm] nicht definiert ist (?).
> oder
> [mm]z^{2}[/mm] - 1 = 0 <-- das hier ist richtig, oder?
>
wie du auf die letzte Zeile kommst kann ich nicht ganz nachvollziehen, ich würde sagen, das stimmt so nicht.
>
> Ich habe gerade einige der Aufgaben versucht selbst zu
> lösen, bin auch zum Teil zu Ergebnissen gekommen.
>
> Zu 2):
> f(x)= [mm]e^{-2x}[/mm] - [mm]2e^{-x}[/mm] +1
> [mm]e^{-2x}[/mm] - [mm]2e^{-x}[/mm] +1 = 0
> z = [mm]e^{-x}[/mm]
> [mm]z^{2}[/mm] - 2z + 1 = 0
>
> Dann kommt allerdings z=0 raus... Hinzu kommt noch das
> Problem, dass man aus 0 keine Wurzel ziehen darf (?)...
> Ist der Lösungsansatz so nicht richtig?
>
Die Wurzel aus 0 ist einfach 0. Und z deshalb 1. Damit folgt für deine Nullstelle: [mm]1=e^{-x}[/mm], was zu [mm]x = ln1 [/mm] führen sollte (da bin ich mir jetzt aber nicht 100% sicher).
>
> Extremstellen:
>
> f'(x)= [mm]-2e^{-2x}[/mm] + [mm]2e^{-x}[/mm]
Ableitung ist schon mal richtig. :)
> [mm]-2e^{-2x}[/mm] + 2e ^{-x} = 0 / : (-2)
> [mm]e^{-x}(e^{x}[/mm] - 1) = 0
> x1 = 0
[mm]e^{x}[/mm] oder [mm]e^{-x}[/mm] kann niemals Null werden, [mm]x_{2}[/mm] ist deswegen auch nicht Null.
> z = [mm]e^{-x}[/mm]
> z2 = [mm]\wurzel{1}[/mm]
> z3 = - [mm]\wurzel{1}[/mm]
> x2= [mm]e^{ \wurzel{1}}[/mm]
> x3= [mm]e^{- \wurzel{1}}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ich habe es mal probiert indem ich nicht erst ausgeklammert habe sondern gleich gesagt habe [mm]z = e^{-x}[/mm]
->
[mm]z^{2} - z = 0 [/mm] mit Hilfe der p-q-Formel ergibt sich daraus [mm]z = 1 [/mm] bzw. [mm]z = 0 [/mm], das heisst also [mm]1 = e^{-x} [/mm] und [mm]0 = e^{-x} [/mm]. Letzteres ist wieder nicht definiert und [mm]1 = e^{-x} [/mm] sollte zu [mm]x = ln1 [/mm] (bin mir nicht 100% sicher, ob das so richtig ist...).
> In unserem Buch steht als Lösung für Nullstellen: x= ln(2)
> Ich habe leider ein anderes Ergebnis... Könnt ihr mir
> sagen, was ich falsch gemacht habe?
Hm, also wie man da auf x = ln(2) kommen soll weiss ich auch nicht...
> Als Extremstelle ist x=0 und f´´(0)= 2 > 0
> angegeben...Ich habe aber 2 weitere Extremstellen
> herausbekommen...
> Im Buch ist nur noch ein Tiefpunkt angegeben: T(0/-1).
Zweite Ableitung sollte so lauten : [mm]f''(x)= 4e^{-2x} - 2e^{-x}[/mm]
[mm]f''(ln(1))= 4e^{-2*ln(1)} - 2e^{- ln(1)} [/mm]
[mm] = (4*1 )^{-2}- (2*(1))^{-1}} = \bruch{1}{16} - \bruch{1}{2} = -\bruch{7}{16}[/mm]
[mm]f(ln(1))= e^{-2*ln(1)} - 2e^{-ln(1)} +1 = 1 - 2 + 1 = 0[/mm]
falls ich mich also nicht verrechnet habe, sollte für [mm]x = ln(1)[/mm] ein Hochpunkt existieren...
> Beim Einsetzen der beiden anderen Extremstellen in die
> f´´(x) kommen (falls ich mich nicht verrechnet habe)
> folgende Zahlen heraus: [mm]f´´(\wurzel{1}=[/mm] 0,004134 und f´´(-
> [mm]\wurzel{1})=[/mm] 27,556...
> Diese Ergebnisse haben mich vollkommen irritiert...
> Und ich komme damit leider überhaupt nicht weiter...
Ich hoffe, ich konnte dir wenigstens ein bisschen helfen. (Hoffentlich habe ich mich nicht zu bös verrechnet ;) )
LG,
Yna
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Danke schon mal für deine Antwort, Yna. :)
Ich hatte dir noch zwei PMs geschrieben, die sich zum Teil auf meine hier gestellten Fragen bezogen...Ich hoffe, du hast sie gelesen...Da habe ich mich nämlich zum Teil selbst verbessert.
Wäre nett, wenn du das tun könntest.
Bei mir sind jetzt noch einige Fragen aufgetreten...
Und zwar:
f(x)= [mm] (e^{-x} [/mm] - [mm] 1)^{2} [/mm] --> ist die Umformung:
f(x)= [mm] e^{-2x} [/mm] - [mm] 2e^{-x} [/mm] + 1 richtig ?
f'(x)= [mm] -2e^{-2x} [/mm] + [mm] 2e^{x} [/mm]
im Buch steht jedoch als Ableitung für f´(x)= [mm] 2(e^{-x} [/mm] - [mm] 1)(-e^{-x}) [/mm] = [mm] 2e^{-x} [/mm] - [mm] 2e^{-2x}
[/mm]
f´´(x)= [mm] -2e^{-x} [/mm] + [mm] 4e^{-2x}
[/mm]
Dann stimmt natürlich auch meine weitere Ausführung wahrscheinlich nicht...
[mm]-2e^{-2x}[/mm] + 2e ^{-x} = 0 / : (-2)
[mm]e^{-x}(e^{x}[/mm] - 1) = 0
[mm] e^{x} [/mm] - 1 = 0
Ich habe das in der PM geschrieben...Da beides nicht Null werden kann, existieren für die Funktion keine Extremstellen...
-----------------------------------------------------------------------------
[mm] e^{x} [/mm] - 1 = 0 --> Aber wenn man so etwas mal hätte, dann könnte man doch auf beiden seiten logarythmieren, oder?
Dann wäre das:
1 = ln(1) ?
Das wäre ja Quatsch...
Oder: x = ln(1) kann doch eigentlich nicht sein, oder?
Was wäre, wenn dort stünde:
[mm] e^{-3x} [/mm] - 1 = 0 ?
------------------------------------------------------------------------------
Das stimmt aber nicht (ich hatte mich beim letzten Mal im Buch verlesen):
Als Extremstelle ist dort angegeben x=0 --> f´´(0)= 2 > 0
--> Tiefpunkt T(0/0)
Kannst du mir vielleicht weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 So 12.03.2006 | | Autor: | Yna |
> Danke schon mal für deine Antwort, Yna. :)
>
Kein Problem. :)
> f(x)= [mm](e^{-x}[/mm] - [mm]1)^{2}[/mm] --> ist die Umformung:
> f(x)= [mm]e^{-2x}[/mm] - [mm]2e^{-x}[/mm] + 1 richtig ?
soweit, ja.
> f'(x)= [mm]-2e^{-2x}[/mm] + [mm]2e^{x}[/mm]
hier muss es [mm]f'(x)= -2e^{-2x} + 2e^{-x}[/mm] heissen.
> im Buch steht jedoch als Ableitung für f´(x)= [mm]2(e^{-x}[/mm] -
> [mm]1)(-e^{-x})[/mm] = [mm]2e^{-x}[/mm] - [mm]2e^{-2x}[/mm]
> f´´(x)= [mm]-2e^{-x}[/mm] + [mm]4e^{-2x}[/mm]
Wieso jedoch? Das ist schon richtig.
> Dann stimmt natürlich auch meine weitere Ausführung
> wahrscheinlich nicht...
> [mm]-2e^{-2x}[/mm] + 2e ^{-x} = 0 / : (-2)
> [mm]e^{-x}(e^{x}[/mm] - 1) = 0
> [mm]e^{x}[/mm] - 1 = 0
> Ich habe das in der PM geschrieben...Da beides nicht Null
> werden kann, existieren für die Funktion keine
> Extremstellen...
Das stimmt so nicht, für x=0 hat die Funktion Extremwerte, denn [mm]e^{0}=1[/mm]. Also:
[mm]e^{0} - 1 = 0[/mm]
[mm]1 - 1 = 0[/mm]
>
> -----------------------------------------------------------------------------
>
> [mm]e^{x}[/mm] - 1 = 0 --> Aber wenn man so etwas mal hätte, dann
> könnte man doch auf beiden seiten logarythmieren, oder?
> Dann wäre das:
> 1 = ln(1) ?
> Das wäre ja Quatsch...
> Oder: x = ln(1) kann doch eigentlich nicht sein, oder?
Das stimmt schon, habe im vorherigen Beitrag übersehen, dass ln(1)=0 ist.
> Was wäre, wenn dort stünde:
> [mm]e^{-3x}[/mm] - 1 = 0 ?
[mm]e^{-3x} - 1 = 0[/mm]
[mm]e^{-3x} = 1[/mm]
[mm] ln(e^{-3x}) = ln(1)[/mm]
[mm] -3x = 0[/mm]
[mm] x = 0[/mm]
> ------------------------------------------------------------------------------
>
> Das stimmt aber nicht (ich hatte mich beim letzten Mal im
> Buch verlesen):
> Als Extremstelle ist dort angegeben x=0 --> f´´(0)= 2 > 0
> --> Tiefpunkt T(0/0)
Hm, naja dann habe ich mich wohl in der 2. Ableitung vertan, aber der Punkt stimmte ja immerhin. ;)
> Kannst du mir vielleicht weiterhelfen?
Ich hoffe, ich habe dir ein bisschen weiterhelfen können.
LG,
Yna
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
> [mm]-2e^{-2x}[/mm] + 2e ^{-x} = 0 / : (-2)
> [mm]e^{-x}(e^{x}[/mm] - 1) = 0
> [mm]e^{x}[/mm] - 1 = 0
> Ich habe das in der PM geschrieben...Da beides nicht Null
> werden kann, existieren für die Funktion keine
> Extremstellen...
Das stimmt so nicht, für x=0 hat die Funktion Extremwerte, denn [mm]e^{0}=1[/mm]. Also:
[mm]e^{0} - 1 = 0[/mm]
[mm]1 - 1 = 0[/mm]
Schreibt man das dann folgendermaßen auf?
[mm] ln(e^{x}) [/mm] = ln(1)
x = 0
f(0) = [mm] (e^{0} [/mm] - [mm] 1)^{2}
[/mm]
f(0) = [mm] (1-1)^{2} [/mm]
f(0) = 0
T(0/0)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 So 12.03.2006 | | Autor: | Yna |
> > [mm]-2e^{-2x}[/mm] + 2e ^{-x} = 0 / : (-2)
> > [mm]e^{-x}(e^{x}[/mm] - 1) = 0
> > [mm]e^{x}[/mm] - 1 = 0
> > Ich habe das in der PM geschrieben...Da beides nicht Null
> > werden kann, existieren für die Funktion keine
> > Extremstellen...
>
> Das stimmt so nicht, für x=0 hat die Funktion Extremwerte,
> denn [mm]e^{0}=1[/mm]. Also:
>
> [mm]e^{0} - 1 = 0[/mm]
> [mm]1 - 1 = 0[/mm]
>
>
> Schreibt man das dann folgendermaßen auf?
>
> [mm]ln(e^{x})[/mm] = ln(1)
> x = 0
Würde ich so sagen. ;)
> f(0) = [mm](e^{0}[/mm] - [mm]1)^{2}[/mm]
> f(0) = [mm](1-1)^{2}[/mm]
> f(0) = 0
>
> T(0/0)
Dass es ein Tiefpunkt ist, musst du nur noch mit der 2. Ableitung beweisen, sonst müsste es so stimmen.
LG,
Yna
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
Im Buch ist auch bei dieser Funktion eigentlich nur nach den Extremwerten und dem Verhalten für x --> [mm] \pm [/mm] oo gefragt...
f(x)=2(x - [mm] \bruch{1}{2}*ln(x))
[/mm]
f(x)= 2x - ln(x) - ist die Umformung so richtig?
Die Ableitung lautet dann (so steht es als Lösung im Buch:)
f´(x)= 2*(1 - [mm] \bruch{1}{2x})
[/mm]
Ich verstehe nicht, wie man zu dieser Ableitung kommt...
ln´(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Meine Lösung wäre gewesen:
f´(x)= x - [mm] \bruch{1}{2}*ln(x) [/mm] + 2 * (1 - [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x} [/mm] ...
--> Dann werde ich ja ln(x) nicht los...
oder sogar f´(x)= 2- [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Also völlig falsch...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 12.03.2006 | | Autor: | Yna |
> Im Buch ist auch bei dieser Funktion eigentlich nur nach
> den Extremwerten und dem Verhalten für x --> [mm]\pm[/mm] oo
> gefragt...
>
>
> f(x)=2(x - [mm]\bruch{1}{2}*ln(x))[/mm]
> f(x)= 2x - ln(x) - ist die Umformung so richtig?
> Die Ableitung lautet dann (so steht es als Lösung im
> Buch:)
Die Umformung ist richtig.
> f´(x)= 2*(1 - [mm]\bruch{1}{2x})[/mm]
>
> Ich verstehe nicht, wie man zu dieser Ableitung kommt...
>
> ln´(x) = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
Die 2 lässt du als Faktor einfach vorne stehen und leitest nur das ab was in der Klammer steht also [mm]x - \bruch{1}{2}*ln(x)[/mm]
x wird zu 1 und ln(x) zu [mm] \bruch{1}{x} [/mm], die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bleiben dabei wieder einfach als Faktor vorne stehen. Damit kommst du zu [mm] 1 - \bruch{1}{2}*\bruch{1}{x} = 1 - \bruch{1}{2*x}[/mm]. Also ingesamt:
[mm]f´(x)= 2*(1 - \bruch{1}{2x})[/mm]
> Meine Lösung wäre gewesen:
> f´(x)= x - [mm]\bruch{1}{2}*ln(x)[/mm] + 2 * (1 -
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x}[/mm] ...
> --> Dann werde ich ja ln(x) nicht los...
> oder sogar f´(x)= 2- [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Also völlig falsch...
So wie ich das verstehe hast du versucht die Kettenregel anzuwenden, die brauchst du hier aber gar nicht.
LG,
Yna
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
> Mir ist gerade noch etwas aufgefallen. In unserem Buch
> steht, dass die Ableitung von f(x)= x - [mm] e^{-2x} [/mm]
> f´(x)= [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x}
[/mm]
> ist. Ich habe das Ergebnis auch mehrmals nachgeschlagen...
Ich verstehe nicht, wie man auf dieses Ergebnis
> kommt...
> Ich hatte folgendes berechnet:
> f´(x)= 1 + [mm] 2e^{-2x}
[/mm]
>
Vielleicht ist es ja ein Druckfehler im Buch...
Ynas hat mir da zugestimmt...Wisst ihr vielleicht, ob das tatsächlich ein Druckfehler sein könnte?
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Hallo!
> > Mir ist gerade noch etwas aufgefallen. In unserem Buch
> > steht, dass die Ableitung von f(x)= x - [mm]e^{-2x}[/mm]
> > f´(x)= [mm]e^{x}[/mm] + [mm]e^{-x}[/mm]
> > ist. Ich habe das Ergebnis auch mehrmals
> nachgeschlagen...
> Ich verstehe nicht, wie man auf dieses Ergebnis
> > kommt...
> > Ich hatte folgendes berechnet:
> > f´(x)= 1 + [mm]2e^{-2x}[/mm]
> >
> Vielleicht ist es ja ein Druckfehler im Buch...
>
> Ynas hat mir da zugestimmt...Wisst ihr vielleicht, ob das
> tatsächlich ein Druckfehler sein könnte?
Also, die Ableitung von [mm] f(x)=x-e^{-2x} [/mm] ist definitiv: [mm] f'(x)=1+2e^{-2x}.
[/mm]
viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 So 12.03.2006 | | Autor: | Anna_M |
4) f(x)= 2*(x- 1/2*ln(x))
Ich komme mit dieser Funktion überhaupt nicht zurecht...
Ist das so richtig:
ln´(x)= [mm] e^{x} [/mm] ?
der Tipp war ja, dass wenn ein Faktor aus dem Produkt Null wird, die Funktion Null werden könne. ln(x) kann doch nicht Null werden oder?
ln(0)= 1 ?
x könnte allerdings Null werden...
Wenn man für x Null einsetzt, so bleibt ln(x), bzw. wenn man für das x ebenfalls 0 einsetzt, bleibt doch 1 übrig, oder?
Dann hieße das: f(1)=0 ?
Was passiert eigentlich, wenn man [mm] e^{x} [/mm] logarythmiert, ist das dann gleich 1 ?
Vielen Dank für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 So 12.03.2006 | | Autor: | Yna |
> 4) f(x)= 2*(x- 1/2*ln(x))
Ich denke mal, die Funktion soll so: [mm]f(x)=2(x - \bruch{1}{2}*ln(x))[/mm] heissen?
> Ich komme mit dieser Funktion überhaupt nicht zurecht...
>
> Ist das so richtig:
> ln´(x)= [mm]e^{x}[/mm] ?
Was soll das sein? Bzw. was willst du damit erreichen?
> der Tipp war ja, dass wenn ein Faktor aus dem Produkt Null
> wird, die Funktion Null werden könne. ln(x) kann doch nicht
> Null werden oder?
> ln(0)= 1 ?
ln(0) ist nicht definiert!
> x könnte allerdings Null werden...
> Wenn man für x Null einsetzt, so bleibt ln(x), bzw. wenn
> man für das x ebenfalls 0 einsetzt, bleibt doch 1 übrig,
> oder?
Du musst auf jeden Fall für jedes x den gleichen Wert einsetzen. ;)
> Dann hieße das: f(1)=0 ?
f(1) wäre [mm]f(1)=2*1 - ln(1) = 2 - 0 = 2[/mm]
> Was passiert eigentlich, wenn man [mm]e^{x}[/mm] logarythmiert, ist
> das dann gleich 1 ?
Es wäre x, da [mm]e^{x}[/mm] -> [mm]ln(e^{x})[/mm] ln und e heben sich auf -> x
> Vielen Dank für die Hilfe.
Wie man wirklich die Nullstellen bei der Funktion ausrechnet kann ich dir leider auch nicht sagen, stehe gerade vor der gleichen Aufgabe und komme nicht weiter. ;)
LG,
Yna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 So 12.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi,
die Funktion
[mm] f(x)=2*(x-\bruch{1}{2}*ln(x))
[/mm]
hat keine Nullstellen. Das ist nicht sofort zu sehen, sondern bedarf einer kleinen Überlegung:
f ist nur für positve x definiert ist, das ist klar (wg. Definitionsbereich von ln(x)). Man muss dann wissen, dass immer
x>ln(x) gilt (für x>0).
Dann ist klar, dass
[mm] (x-\bruch{1}{2}*ln(x))>0 [/mm] ist.
Und falls du mit ln'(x) die Ableitung von ln(x) meinst, die ist [mm] \bruch{1}{x}.
[/mm]
Viel Erfolg noch, l G Walde
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