Funktionsuntersuchungen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion f. Skizziere den Graphen von f.
a.) f(x) = (1)/(3)*x³+x
b.) f(x) = (1)/(6)*x³+2x
c.) f(x) = [mm] x^4-(1)/(2)*x
[/mm]
d.) f(x) = (x²-2)²
e.) f(x) = x + (1)/(x)
f.) f(x) = (1)/(4)*x²- [mm] \wurzel{x}
[/mm]
g.) f(x) = 4x+(1)/(x)
h.) f(x) = [mm] x^4-4x³+3x²+x
[/mm]
i.) f(x) = [mm] x^4-4x³+3x²+4x-4 [/mm] |
Natürlich kann man hier den Graphen schlecht Skizzieren, dass ist allerdings auch das kleinste Problem von mir ;)
Erstmal mach ich ein Beispiel wie wir's auch in der Schule gemacht haben :
f(x) = x - 2* [mm] \wurzel{x} [/mm] Hier sollen wir einen VZW an den Stellen 1; 2 betrachten.
f'(x) ) 1 - [mm] (1)/(\wurzel{x})
[/mm]
Nun die Extremstellen [mm] x_E [/mm] betrachten :
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
1 - [mm] (1)/(\wurzel{x}) [/mm] = 0 | - 1
- 1/ [mm] \wurzel{x} [/mm] = -1 | * (-1)
[mm] \wurzel{x} [/mm] = 1 Dann quadrieren
[mm] x_E [/mm] = 1
Nun untersuche ich verschiedene Bereiche :
x < 1 | < 0
1 < x < 2 | >0
2 < x | > 0
x = 1 0
x = 2 > 0
Also findet an der Stelle 1 ein Vorzeichenwechsel statt.
Nun aber zu der Aufgabe :
a.) f'(x) = x²+1
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
x² + 1 = 0 | -1
x² = -1 Um nun x rauszubekommen müsste ich die Wurzel ziehen. Dies geht doch aber eigentlich nicht da man von Positiven Zahlen keine Wurzel ziehen kann.
Also wäre hier doch keine Extremstelle oder? Und wie soll ich dann die Hoch bzw. Tiefpunkte finden? Da gibt es doch dann keine oder?
b.) f'(x) = (1)/(2)*x²+2
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
(1)/(2)*x²+2 = 0 | -2
(1)/(2)*x² = -2 | *2
x² = -4 Nun ist es doch gleich wie bei a oder? Kann doch wieder die Wurzel nicht ziehen :( Und auch die Hoch bzw. Tiefpunkte nicht erkennen.
c.) f'(x) = [mm] x^3 [/mm] - (1)/(2)
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
x³ - (1)/(2) = 0 | + (1)/(2)
x³ = (1)/(2) | Natürlich kann man hier den Graphen schlecht Skizzieren, dass ist allerdings auch das kleinste Problem von mir ;)
Erstmal mach ich ein Beispiel wie wir's auch in der Schule gemacht haben :
f(x) = x - 2* [mm] \wurzel{x} [/mm] Hier sollen wir einen VZW an den Stellen 1; 2 betrachten.
f'(x) ) 1 - [mm] (1)/(\wurzel{x})
[/mm]
Nun die Extremstellen [mm] x_E [/mm] betrachten :
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
1 - [mm] (1)/(\wurzel{x}) [/mm] = 0 | - 1
- 1/ [mm] \wurzel{x} [/mm] = -1 | * (-1)
[mm] \wurzel{x} [/mm] = 1 Dann quadrieren
[mm] x_E [/mm] = 1
Nun untersuche ich verschiedene Bereiche :
x < 1 | < 0
1 < x < 2 | >0
2 < x | > 0
x = 1 0
x = 2 > 0
Also findet an der Stelle 1 ein Vorzeichenwechsel statt.
Nun aber zu der Aufgabe :
a.) f'(x) = x²+1
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
x² + 1 = 0 | -1
x² = -1 Um nun x rauszubekommen müsste ich die Wurzel ziehen. Dies geht doch aber eigentlich nicht da man von Positiven Zahlen keine Wurzel ziehen kann.
Also wäre hier doch keine Extremstelle oder? Und wie soll ich dann die Hoch bzw. Tiefpunkte finden? Da gibt es doch dann keine oder?
b.) f'(x) = (1)/(2)*x²+2
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
(1)/(2)*x²+2 = 0 | -2
(1)/(2)*x² = -2 | *2
x² = -4 Nun ist es doch gleich wie bei a oder? Kann doch wieder die Wurzel nicht ziehen :( Und auch die Hoch bzw. Tiefpunkte nicht erkennen.
c.) f'(x) = [mm] x^3 [/mm] - (1)/(2)
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
x³ - (1)/(2) = 0 | + (1)/(2)
x³ = (1)/(2) | Natürlich kann man hier den Graphen schlecht Skizzieren, dass ist allerdings auch das kleinste Problem von mir ;)
Erstmal mach ich ein Beispiel wie wir's auch in der Schule gemacht haben :
f(x) = x - 2* [mm] \wurzel{x} [/mm] Hier sollen wir einen VZW an den Stellen 1; 2 betrachten.
f'(x) ) 1 - [mm] (1)/(\wurzel{x})
[/mm]
Nun die Extremstellen [mm] x_E [/mm] betrachten :
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
1 - [mm] (1)/(\wurzel{x}) [/mm] = 0 | - 1
- 1/ [mm] \wurzel{x} [/mm] = -1 | * (-1)
[mm] \wurzel{x} [/mm] = 1 Dann quadrieren
[mm] x_E [/mm] = 1
Nun untersuche ich verschiedene Bereiche :
x < 1 | < 0
1 < x < 2 | >0
2 < x | > 0
x = 1 0
x = 2 > 0
Also findet an der Stelle 1 ein Vorzeichenwechsel statt.
Nun aber zu der Aufgabe :
a.) f'(x) = x²+1
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
x² + 1 = 0 | -1
x² = -1 Um nun x rauszubekommen müsste ich die Wurzel ziehen. Dies geht doch aber eigentlich nicht da man von Positiven Zahlen keine Wurzel ziehen kann.
Also wäre hier doch keine Extremstelle oder? Und wie soll ich dann die Hoch bzw. Tiefpunkte finden? Da gibt es doch dann keine oder?
b.) f'(x) = (1)/(2)*x²+2
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
(1)/(2)*x²+2 = 0 | -2
(1)/(2)*x² = -2 | *2
x² = -4 Nun ist es doch gleich wie bei a oder? Kann doch wieder die Wurzel nicht ziehen :( Und auch die Hoch bzw. Tiefpunkte nicht erkennen.
c.) f'(x) = [mm] x^3 [/mm] - (1)/(2)
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
x³ - (1)/(2) = 0 | + (1)/(2)
x³ = (1)/(2) | [mm] \wurzel[3]{(1)/(2)}
[/mm]
x = [mm] \wurzel[3]{(1)/(2)}
[/mm]
Okay hier habe ich ja die Extremstelle [mm] x_E [/mm]
Nun ist das aber mit den Bereichen so eine Sache.
Bereich : f'(x)
x < [mm] \wurzel[3]{(1)/(2)} [/mm] | > 0
x > [mm] \wurzel[3]{(1)/(2)} [/mm] | > 0
Aber was sagen das mir denn jetzt? Da sind doch auch keine Hoch bzw. Tiefpunkte oder?
d.) f'(x) = 4x³ - 8x
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
4x³ - 8x = 0
Hier hab ich nichtmal eine Ahnung wie ich [mm] x_E [/mm] rausfinde :(
e.) f'(x) = 1 - (1)/(x²)
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
1 - (1)/(x²) = 0 |-1
-(1)/(x²) = -1 |: (-1)
x² = 1 | [mm] \wurzel{}
[/mm]
[mm] x_E [/mm] = 1
Aber ich weiß einfach nicht weiter :(
f.) f'(x) = (1)/(4)*x² - [mm] \wurzel{x}
[/mm]
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
(1)/(4)*x² - [mm] \wurzel{x} [/mm] = 0
Hier schaff ich's nichtmal weiter nach [mm] x_E [/mm] umzuformen :(
g.) f'(x) = 4 - (1)/(x²)
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
4 - (1)/(x²) = 0 | -4
- (1)/(x²) = - 4 | : -1
x² = 4 | [mm] \wurzel{}
[/mm]
[mm] x_E [/mm] = 2
Wäre das richtig? Wie mach ich denn weiter? Z.b. weiß ich nicht wie ich die Bereiche machen soll. Muss ich das in f'(x) oder in f(x) einsetzen um das mit den VZW zu erkennen?
h.) f'(x) = 4x³+9x²+6x+1
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
4x³+9x²+6x+1 = 0
Hier weiß ich auch nicht wie ich [mm] x_E [/mm] rausfinden soll.
Soviel x das ich gar nicht lösen kann :(
Wäre super wenn ihr mir helfen könnt.
MFG
Kristof
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Fulla |
hi kristof!
die sache mit dem VZW ist dazu da, um rauszufinden, ob es sich bei einem vermeintlichen extremwert tatsächlich um einen hoch- bzw tiefpunkt handelt und nicht um einen terassenpunkt:
wenn z.B. dein [mm] x_{E}=1 [/mm] ist und f'(x) für x<1 positiv ist und für x>1 negativ, heißt das, dass f(x) bis x=1 ansteigt und danach abfällt. d.h. dass bei x=1 ein hochpunkt ist.
wenn jetzt aber f'(x) immer positiv wäre, hätte die funktion dort keinen extrempunkt, obwohl [mm] f'(x_{E})=0.
[/mm]
mit anderen worten: [mm] f'(x_{E})=0 [/mm] heißt nicht unbedingt, dass bei [mm] x_{E} [/mm] ein hoch- oder tiefpunkt sein muss...
du musst dann überprüfen, ob sich das vorzeichen von f'(x) bei [mm] x_{E} [/mm] ändert.
jetzt aber zu deiner aufgabe:
a.) f(x) = [mm] \bruch{1}{3}x³+x
[/mm]
da hast du recht: es gibt keine extremstellen.
b.) f(x) = [mm] \bruch{1}{6}x³+2x
[/mm]
hier auch nicht.
c.) f(x) = $ [mm] x^4-\bruch{1}{2}x [/mm] $
hier hast du dich verrechnet: [mm] f'(x)=4x³-\bruch{1}{2}
[/mm]
d.) f(x) = (x²-2)²
ok, f'(x)=4x³-8x=4(x³-2x)...
4(x³-2x)=0 wenn du durch 4 teilst, bleibt
x³-2x=0 klammere x aus
x(x²-2)=0 hier siehst du: entweder ist x=0, oder x²-2=0.
das heißt du hast [mm] x_{1}=0, x_{2}=\wurzel{2} [/mm] und [mm] x_{3}=-\wurzel{2}
[/mm]
e.) f(x) = [mm] x+\bruch{1}{x}
[/mm]
x²=1 --> [mm] x=\pm1
[/mm]
f.) f(x) = [mm] \bruch{1}{4}x²-$ \wurzel{x} [/mm] $
hier hast du gar nicht abgeleitet!
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
stell dir x einfach als [mm] \wurzel{x²} [/mm] vor, dann kannst du [mm] x_{E} [/mm] berechnen...
g.) f(x) = [mm] 4x+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] f'(x)=4-\bruch{1}{x²}
[/mm]
bei den umformungen hast du dich verrechnet.... [mm] x_{E}=\pm\bruch{1}{2}
[/mm]
h.) f(x) = $ [mm] x^4-4x³+3x²+x [/mm] $
entweder stimmt die angabe nicht, oder deine ableitung... aber ich denke, deine ableitung ist richtig.... bei termen mit [mm] x^{3} [/mm] oder noch höher musst meistens eine nullstelle "raten" und kannst dann durch polynomdivision die restlichen berechnen.
hier: setz mal x=-1 in deine ableitung ein...
i.) f(x) = $ [mm] x^4-4x³+3x²+4x-4 [/mm] $
hier stimmt deine angabe wahrscheinlich auch nicht.... schau doch nochmal genau nach...
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