Funktionsvorschrift bestimmen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mi 16.03.2005 | | Autor: | danjo |
Folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie die Funktionsvorschrift!
d) Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat im Wendepunkt W (2/0) eine horizontale Wendetangente. Die Normale im Ursprung des Koordinatensystems hat die Steigung m = - 1/8
So meine Lösung:
f '' (2) = 0 ----> Wegen Wendepunkt
f (2) = 0 -----> Wegen Wendepunkt
f ' (2) = 0 -----> Wegen Steigung der Wendetangenten (horizontal)
f(0) = 0 -------> wegen Ursprung
So weit so gut. Allerdings hab ich keine Ahnung, was ich mit der Normalen anfangen soll. Hab ein Lösungsbuch hier, in dem angegeben ist, dass f ' (0) = 8. Wie kann das sein ? Ich dachte, dass eine Normale senkrecht auf einer Tangenten steht und durch deren Berührpunkt verläuft. Wie kann dann die Steigung an der Stelle 0 = 8 sein ? Schießlich ist die Steigung doch mit - 1/8 angegeben.
Kann mir das mal einer erklären ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Danjo!
Die Normale steht ja senkrecht auf die Tangente.
Wenn zwei Geraden [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] senkrecht auf einander stehen, gilt für die Steigungen:
[mm] $m_1 [/mm] * [mm] m_2 [/mm] \ = \ -1$ [mm] $\gdw$ $m_1 [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{m_2}$
[/mm]
Setzt Du nun denn Wert der Normalen-Steigung [mm] $m_n [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{8}$ [/mm] in o.g. Formel ein, erhältst Du den Wert für die Tangenten-Steigung [mm] $m_t$:
[/mm]
[mm] $m_t [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{m_n} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{- \bruch{1}{8}} [/mm] \ = \ 8$
Siehst Du nun klar(er) ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mi 16.03.2005 | | Autor: | danjo |
Also erstmal vielen Dank für die Erklärung.
Diese Sache mit m1 * m2 = - 1
ist mir klar und auch bekannt.
Allerdings verstehe ich nicht welches denn die zweite Gerade in dieser Aufgabe sein soll. Denn angegeben ist ja, dass die Normale die Steigung
- 1/8 haben soll. Eine Normale steht ja senkrecht auf der Tangenten. In diesem Fall hat die Tangente ja logischerweise die Steigung null, da sie ja horizontal verläuft. Welche Gerade soll dann die Steigung 8 haben ???
Ich hätte ja eher gedacht, dass f ' an der Stelle 0 (wegen Ursprung) = - 1/8 ist. Ist ja auch so angegeben. Aber das Lösungsbuch ist ja nicht meiner Meinung =)
Bitte klärt mich auf...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Danjo!
Da schmeißt Du gerade etwas arg durcheinander ...
Die horizontale (Wende-)Tangente ist ja bei $x \ = \ 2$ !!
Die Normale, von der wir reden, liegt bei $x \ = \ 0$ (Ursprung)!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Mi 16.03.2005 | | Autor: | danjo |
... Und auf welcher Geraden, Tangente oder was auch immer steht nun die normale senkrecht ? Wer hat denn nun hier die Steigung 8 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hi ...
Die Normale $n(x)$ steht senkrecht auf die Tangente $t(x)$ der Funktion an der Stelle $x \ = \ 0$.
(Vielleicht solltest Du Dir noch mal bewußt machen, daß die Funktion $f(x)$ nicht nur eine Tangente hat, sondern in jedem Punkte der Kurve eine eigene Tangente - die alle unterschiedlich sind!)
Damit wissen wir nun (Zusammenfassung):
[mm] $m_n [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{8}$ [/mm] (gemäß Aufgabenstellung)
[mm] $\Rightarrow$ $m_t [/mm] \ = \ +8$ (Formel siehe oben!)
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f'(0) \ = \ [mm] m_t [/mm] \ = \ +8$ (wegen Tangentensteigung = Funktionssteigung im Punkt)
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Mi 16.03.2005 | | Autor: | danjo |
"(Vielleicht solltest Du Dir noch mal bewußt machen, daß die Funktion f(x) nicht nur eine Tangente hat, sondern in jedem Punkte der Kurve eine eigene Tangente - die alle unterschiedlich sind!)"
Durch diese Aussage ist der Groschen gefallen. Vielen Dank für die Geduld mit mir !
Gruß
Danjo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Mi 16.03.2005 | | Autor: | danjo |
-x hoch4 + 6x³ - 12x² + 8x
---> die is richtig 
(das lösungsbuch ist ausnahmsweise meiner meinung)
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Hauptsache, es sitzt jetzt ... 