Fußpunkt Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Di 24.03.2009 | | Autor: | hofmanpa |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(1|2|0), [mm] B(4|2+3\wurzel{6}|3), [/mm] C(7|2|6), P(-1|2|3) und Q(1.5|2|0.5).
Die Punkte A,B,C,P sind die Eckpunkte einer Pyramide mit der Spitze P.
Bestätigen sie, dass die Punkte A, B, C und Q in einer Ebene liegen. Weisen sie nach, dass Q der Fußpunkt der Höhe der Pyramide ist. |
Mir geht es jetzt um Teil 2 der Aufgabenstellung, also das Nachweisen für Q als Fußpunkt.
Für die Ebene ABC habe ich:
[mm] E_{ABC}: \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 0}+r\vektor{3 \\ 3\wurzel{6} \\ 3}+s\vektor{6 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Nun ist meine Überlegung:
Als Fußpunkt von P muss Q ja direkt unter P liegen, also die Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] ja 90° auf der Ebene stehen. Das heißt doch, dass der Normalenvektor der Ebene, dem Richtungsvektor der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] entspricht, oder?
Also gilt:
[mm] \overline{PQ}: \vec{x}=\vektor{1,5 \\ 2 \\ 0,5}+t\vektor{-2,5 \\ 0 \\ 2,5}
[/mm]
Der Richtungsvektor ist ja dann [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{-2,5 \\ 0 \\ 2,5}.
[/mm]
Der Normalenvektor der Ebene ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, also
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 3\wurzel{6} \\ 3} \times \vektor{6 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
= [mm] \vektor{18\wurzel{6} \\ 0 \\ -18\wurzel{6}}.
[/mm]
Dann setze ich [mm] |\vektor{18\wurzel{6} \\ 0 \\ -18\wurzel{6}}| [/mm] = [mm] |\vektor{-2,5 \\ 0 \\ 2,5}|*t [/mm] und lasse meinen GTR nach t auflösen. Für t erhalte ich dann [mm] t\approx17,636.
[/mm]
Mein Lehrer hat als Lösung aber irgendetwas von Skalaprodukt = 0 geschrieben. Ich weiß nun nicht, was richtig ist oder ob mein Ansatz überhaupt stimmt...hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 24.03.2009 | | Autor: | Siemens |
> Mein Lehrer hat als Lösung aber irgendetwas von
> Skalaprodukt = 0 geschrieben. Ich weiß nun nicht, was
> richtig ist oder ob mein Ansatz überhaupt stimmt...hilfe!
Das Skalarprodukt ist einfach eine weitere Möglichkeit, das ganze zu beweisen. Dafür nimmst du ebenfalls den Richtungsvektor der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] und zusätzlich einen der Richtungsvektoren der Ebene:
[mm] \vektor{-2,5 \\ 0 \\ 2,5} \* \vektor{6 \\ 0 \\ 6} [/mm] = -2,5 * 6 + 2,5 * 6 = 0
Wenn das Skalarprodukt null ergibt, stehen die beiden Vektoren orthogonal zueinander.
Viel Glück speziell für Freitag, aber auch schon für Donnerstag und die kommende Woche.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Di 24.03.2009 | | Autor: | hofmanpa |
Warum einfach, wenn es auch schwierig geht ;)
Vielen Dank für deine Antwort und ich wünsche dir natürlich auch viel Glück bei den Prüfungen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Di 24.03.2009 | | Autor: | Siemens |
Dankeschön! :)
Hauptsach man findet einen Weg, es ist ja völlig normal, dass es meist mehrere Alternativen gibt.
|
|
|
|
