GWbegriff:kleiner (gleich) eps < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Fr 13.01.2012 | | Autor: | schumja |
| Aufgabe | Definition des Grenzwert:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N_\varepsilon\in\IN: \forall n\geq N_\varepsilon: |a_n-a|<\varepsilon [/mm] |
Hallo zusammen,
bei der o.g. Definition des Grenzwerts findet man überall das echt kleiner. Ich habe mich gefragt, warum dort nicht [mm] \leq [/mm] steht bzw. stehen darf.
Ich kann eigtl beweisen, dass es egal ist, ob ich nun < oder [mm] \leq [/mm] verwende, man findet aber überall nur <.
Ist das einfach eine Konvention, oder steckt da mehr dahinter (z.B. wenn es um mehrere Variablen geht?)
Danke schonmal für eure Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Definition des Grenzwert:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists N_\varepsilon\in\IN: \forall n\geq N_\varepsilon: |a_n-a|<\varepsilon[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> bei der o.g. Definition des Grenzwerts findet man überall
> das echt kleiner. Ich habe mich gefragt, warum dort nicht
> [mm]\leq[/mm] steht bzw. stehen darf.
> Ich kann eigtl beweisen, dass es egal ist, ob ich nun <
> oder [mm]\leq[/mm] verwende, man findet aber überall nur <.
> Ist das einfach eine Konvention, oder steckt da mehr
> dahinter (z.B. wenn es um mehrere Variablen geht?)
es hat sich vielleicht einfach so eingebürgert. Du hast Recht: Es ist egal, ob da [mm] $<\,$ [/mm] oder [mm] $\le$ [/mm] steht. Was nicht egal ist: Es muss "Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$" heißen, und das darf man nicht zu "Für alle [mm] $\varepsilon \ge [/mm] 0$" umschreiben.
Bei mehreren Variablen sollte das eigentlich auch keinen Unterschied machen. Da ist die Abstandsmessung eher das interessante, d.h. "die Metrik".
Oben wäre es übrigens auch genauso egal, wenn man anstatt [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge N_\varepsilon$ [/mm] schreiben würde: [mm] $\forall [/mm] n > [mm] N_\varepsilon\,.$
[/mm]
Ich bin mir übrigens doch sicher, dass ich eigentlich schon jede der vier Varianten, kurz
1. [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge N_\varepsilon\,,$ $\ldots \le \varepsilon$
[/mm]
2. [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge N_\varepsilon\,,$ $\ldots [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
3. [mm] $\forall [/mm] n > [mm] N_\varepsilon\,,$ $\ldots \le \varepsilon$
[/mm]
4. [mm] $\forall [/mm] n > [mm] N_\varepsilon\,,$ $\ldots [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
in verschiedenen Büchern gesehen habe. Aber selbst wenn nicht: In verschiedenen Uniskripten tauchen sie sicher mal so, mal so, auf.
Aber warum darf das so sein? Naja, weil unter den Voraussetzungen (was weiß ich: man hat einen metrischen Raum, oder man hat eine reellwertige oder komplexwertige Folge oder oder oder) eben die Definitionen äquivalent sind:
Zeigen wir mal die Äquivalenz von 1.) zu 2.), der Einfachheit halber gehe ich von [mm] $\IR$ [/mm] mit der vom Betrage induzierten Metrik aus:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] also eine reellwertige Folge, und sei $a [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Gelte 1.) Wir zeigen, dass dann auch 2.) gilt: Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Nach 1.) existiert insbesondere zu [mm] $\varepsilon':=\varepsilon/2 [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_{\varepsilon'}$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt
[mm] $$|a_n [/mm] -a| [mm] \le \varepsilon'\,.$$
[/mm]
Setze [mm] $N_{\varepsilon}:=N_{\varepsilon'}\,,$ [/mm] dann folgt
[mm] $$|a_n [/mm] -a| [mm] \le \varepsilon/2$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N_{\varepsilon}\,,$ [/mm] also
[mm] $$|a_n [/mm] -a| [mm] <\varepsilon$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N_\varepsilon$ [/mm] (beachte [mm] $\varepsilon/2 [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$)
[/mm]
Also gilt 2.)
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] Das aus 2.) auch 1.) folgt, ist wiederum banal, da [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon \Rightarrow |a_n-a| \le \varepsilon$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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