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Forum "Algebra" - G ist einfach, wenn G zyklisch
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G ist einfach, wenn G zyklisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:20 Fr 05.06.2020
Autor: NathanR

Hallo Matheraum - Community!


Mich verwirrt der Beweis eines Satzes und hoffe, mich kann jemand aufklären.



Satz


Eine nicht - triviale abelsche Gruppe ist genau dann einfach, wenn sie zyklisch von Primzahlordnung ist.



Beweis


Ist $G$ zyklisch von Primzahlordnung, so hat $G$ aufgrund des Satzes von Lagrange nur die trivialen Untergruppen [mm] $\{e \}$ [/mm] und $G$ und ist somit einfach.

Ist $G$ abelsch und ist die Ordnung [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] $ keine Primzahl, so hat die Ordnung einen Primteiler $p$ mit $1 < p < [mm] \vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] $.

Dann besitzt $G$ eine Untergruppe $N$ der Ordnung $p$ besitzt.

Da $G$ abelsch ist, ist $N$ ein Normalteiler, so dass $G$ nicht einfach ist.




Okay, die Rückrichtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] habe ich verstanden. Das ist der Absatz

"Ist $G$ zyklisch von Primzahlordnung, so hat $G$ aufgrund des Satzes von Lagrange nur die trivialen Untergruppen [mm] $\{e \}$ [/mm] und $G$ und ist somit einfach."




Aber die Hinrichtung verstehe ich noch nicht.

Man muss zeigen: Ist eine nicht - triviale abelsche Gruppe $G$  zyklisch von Primzahlordnung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $G$ ist einfach



Da kann man zwei Fälle unterscheiden:


1. Fall: [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] $ ist eine Primzahl.


Dann ist aber $G$ schon zyklisch.


2. Fall: [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert [/mm] $ ist keine Primzahl.


Dann führe ich bei [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert$ [/mm] eine Primfaktorzerlegung durch und habe offensichtlich dann eine Primzahl $p$ mit $1 < p < [mm] \vert [/mm] G [mm] \vert$, [/mm] die [mm] $\vert [/mm] G [mm] \vert$ [/mm] teilt.


Dann existiert eine Untergruppe $N$ mit [mm] $\vert [/mm] N [mm] \vert [/mm] = p$. Da $G$ abelsch ist, ist $N$ ein nicht- trivialer Normalteiler von $G$ und $G$ ist nicht einfach.


Wo ist dann aber gezeigt, dass $G$ zyklisch ist ?


Ich komme irgendwie nicht mehr mit.



Würde mich über eine Hilfe freuen.

Schönen Tag euch noch!

        
Bezug
G ist einfach, wenn G zyklisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Fr 05.06.2020
Autor: fred97


> Hallo Matheraum - Community!
>  
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> Mich verwirrt der Beweis eines Satzes und hoffe, mich kann
> jemand aufklären.
>  
>
>
> Satz
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> Eine nicht - triviale abelsche Gruppe ist genau dann
> einfach, wenn sie zyklisch von Primzahlordnung ist.
>  
>
>
> Beweis
>  
>
> Ist [mm]G[/mm] zyklisch von Primzahlordnung, so hat [mm]G[/mm] aufgrund des
> Satzes von Lagrange nur die trivialen Untergruppen [mm]\{e \}[/mm]
> und [mm]G[/mm] und ist somit einfach.
>  
> Ist [mm]G[/mm] abelsch und ist die Ordnung [mm]\vert G \vert[/mm] keine
> Primzahl, so hat die Ordnung einen Primteiler [mm]p[/mm] mit [mm]1 < p < \vert G \vert [/mm].
>  
> Dann besitzt [mm]G[/mm] eine Untergruppe [mm]N[/mm] der Ordnung [mm]p[/mm] besitzt.
>  
> Da [mm]G[/mm] abelsch ist, ist [mm]N[/mm] ein Normalteiler, so dass [mm]G[/mm] nicht
> einfach ist.
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>
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> Okay, die Rückrichtung [mm]\Leftarrow[/mm] habe ich verstanden. Das
> ist der Absatz
>  
> "Ist [mm]G[/mm] zyklisch von Primzahlordnung, so hat [mm]G[/mm] aufgrund des
> Satzes von Lagrange nur die trivialen Untergruppen [mm]\{e \}[/mm]
> und [mm]G[/mm] und ist somit einfach."
>  
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> Aber die Hinrichtung verstehe ich noch nicht.
>  
> Man muss zeigen: Ist eine nicht - triviale abelsche Gruppe
> [mm]G[/mm]  zyklisch von Primzahlordnung [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]G[/mm] ist einfach

Nein, das ist doch nicht die "Hinrichtung " !

Für die "Hinrichtung" ist zu zeigen:

Ist G abelsch und einfach, so ist |G| eine Primzahl. Genau das wurde oben gemacht:

  Annahme : |G| ist keine Primzahl. Aus dieser Annahme wurde gefolgert,      dass G nicht einfach ist, Widerspruch !


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>
> Da kann man zwei Fälle unterscheiden:
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> 1. Fall: [mm]\vert G \vert[/mm] ist eine Primzahl.
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> Dann ist aber [mm]G[/mm] schon zyklisch.
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> 2. Fall: [mm]\vert G \vert[/mm] ist keine Primzahl.
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> Dann führe ich bei [mm]\vert G \vert[/mm] eine Primfaktorzerlegung
> durch und habe offensichtlich dann eine Primzahl [mm]p[/mm] mit [mm]1 < p < \vert G \vert[/mm],
> die [mm]\vert G \vert[/mm] teilt.
>  
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> Dann existiert eine Untergruppe [mm]N[/mm] mit [mm]\vert N \vert = p[/mm]. Da
> [mm]G[/mm] abelsch ist, ist [mm]N[/mm] ein nicht- trivialer Normalteiler von
> [mm]G[/mm] und [mm]G[/mm] ist nicht einfach.
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> Wo ist dann aber gezeigt, dass [mm]G[/mm] zyklisch ist ?
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> Ich komme irgendwie nicht mehr mit.
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> Würde mich über eine Hilfe freuen.
>  
> Schönen Tag euch noch!


Bezug
                
Bezug
G ist einfach, wenn G zyklisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Sa 06.06.2020
Autor: NathanR

Oh, da war ich gestern wohl einfach komplett unkonzentriert.

Jetzt ist mir alles glasklar.


Ich bedanke mich für die Hilfe und wünsche dir noch einen schönen Abend.




Bezug
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