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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Blake512 |
| Aufgabe | | Is the map f: [mm] GF(2)^2 [/mm] -> GF(2) with f(0,0) = 0, f(0,1) = 1, f(1,0) = 0, f(1,1) = 0 linear or nonlinear? |
Ich nehme an, dass mit dem "function mapping" GF(2) = [mm] f(GF(2)^2) [/mm] gemeint ist. Für ein anderes Beispiel von "function mapping" wäre ich auch schon sehr dankbar. Bei [mm] GF(2)^2 [/mm] bin ich mir nicht sicher, ob es mit [mm] GF(2^2) [/mm] also GF(4) gleichzusetzen ist.
Die Additionstabelle für GF(2):
+ | 0 1
0 | 0 1
1 | 1 0
Die Multiplikationstabelle für GF(2):
* | 0 1
0 | 0 0
1 | 0 1
Ich könnte mir vorstellen, dass mit [mm] GF(2)^2 [/mm] die Multiplikationstabelle gemeint ist, wobei sich mir der Nutzen dieser Tabellen nicht ganz erschliesst.
Ob es jetzt linear ist oder nonlinear kann ich leider nicht beantworten. Für jegliche Inputs bin ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=498056
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Nein, hier ist doch von linearen Abbildungen die Rede, also geht es um Vektorräume und ihre Homomorphismen.
[mm]K = \operatorname{GF}(2) = \{ 0,1 \}[/mm] ist der Körper mit zwei Elementen.
[mm]V = K^2 = K \times K[/mm] ist der Vektorraum aller Paare von Elementen aus [mm]K[/mm].
[mm]K[/mm] und [mm]V[/mm] sind Vektorräume über [mm]K[/mm] (vergleiche das mit [mm]K = \mathbb{R}[/mm] und [mm]V = \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}[/mm]). Und jetzt sollst du entscheiden, ob die gegebene Abbildung
[mm]f: \ V \to K[/mm]
linear ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Blake512 |
Vielen Dank, das hilft mir schon etwas weiter. Da der Wert 0 nicht eindeutig definiert ist bzw. da man durch verschiedene Inputs den Wert 0 erhält (f(0,0) = 0, f(1,0) = 0, f(1,1) = 0 ) ist die Abbildung nonlinear?
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Die Begründung stimmt nicht. Beachte, daß
[mm]e_1 = (1,0) \, , \ \ e_2 = (0,1)[/mm]
eine Basis von [mm]K^2[/mm] bilden und [mm](1,1) = e_1 + e_2[/mm] gilt. Und lineare Abbildungen sind mit der Addition verträglich ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Blake512 |
Also ist die Abbildung nonlinear, weil $ [mm] e_1 [/mm] = (1,0) = 0 [mm] \, [/mm] , \ \ [mm] e_2 [/mm] = (0,1) = 1 $ und $ [mm] e_3 [/mm] = (1,1) [mm] \not= [/mm] 1 $ ist. Danke! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:29 Mo 20.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also ist die Abbildung nonlinear, weil [mm]e_1 = (1,0) = 0 \, , \ \ e_2 = (0,1) = 1[/mm]
> und [mm]e_3 = (1,1) \not= 1[/mm] ist. Danke! :)
Du meinst [mm] $f(e_1) [/mm] = 0$, [mm] $f(e_2) [/mm] = 1$ und [mm] $f(e_1 [/mm] + [mm] e_2) \neq [/mm] 1 = [mm] f(e_1) [/mm] + [mm] f(e_2)$.
[/mm]
Das Element $(1, 1)$ solltest du nicht mit [mm] $e_3$ [/mm] bezeichnen. Mit [mm] $e_i$ [/mm] meint man normalerweise den Vektor, der an $i$-ter Stelle den Eintrag 1 hat und sonst nur Nullen.
LG Felix
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