Galois Gruppe berechnen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mi 25.06.2014 | | Autor: | stuart |
| Aufgabe | Sei P = [mm] X^4 [/mm] − 5 ∈ [mm] \mathbb{Q}[X] [/mm] und L der Zerfallungskörper von P über [mm] \mathbb{Q}. [/mm] Bestimmen Sie die Galois Gruppe Gal(L/K) für
1. K = [mm] \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})
[/mm]
2. K = [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{5})
[/mm]
3. K = [mm] \mathbb{Q}(i) [/mm] |
Guten Abend,
ich habe erstmal die Nullstellen von P berechnet und kam auf:
[mm] x_{1}=\sqrt[4]{5} [/mm] , [mm] x_{2}=-\sqrt[4]{5}, x_{3}= i*\sqrt[4]{5} [/mm] , [mm] x_{4}= -i*\sqrt[4]{5}
[/mm]
Das heißt doch das der Zerfallungskörper von P über [mm] \mathbb{Q} [/mm] = [mm] \mathbb{Q}( \sqrt[4]{5}, [/mm] i) ist oder?
Jetzt weiß ich nicht genau wie es weiter geht. Ich bauche doch jetzt ein Minimalpolynom oder ist das der falsche Gedanke?
Vielen Dank und einen schönen Abend,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mi 25.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei P = [mm]X^4[/mm] − 5 ∈ [mm]\mathbb{Q}[X][/mm] und L der
> Zerfallungskörper von P über [mm]\mathbb{Q}.[/mm] Bestimmen Sie
> die Galois Gruppe Gal(L/K) für
> 1. K = [mm]\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})[/mm]
> 2. K = [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{5})[/mm]
> 3. K = [mm]\mathbb{Q}(i)[/mm]
> Guten Abend,
> ich habe erstmal die Nullstellen von P berechnet und kam
> auf:
> [mm]x_{1}=\sqrt[4]{5}[/mm] , [mm]x_{2}=-\sqrt[4]{5}, x_{3}= i*\sqrt[4]{5}[/mm]
> , [mm]x_{4}= -i*\sqrt[4]{5}[/mm]
>
> Das heißt doch das der Zerfallungskörper von P über
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] = [mm]\mathbb{Q}( \sqrt[4]{5},[/mm] i) ist oder?
>
Richtig.
> Jetzt weiß ich nicht genau wie es weiter geht. Ich bauche
> doch jetzt ein Minimalpolynom oder ist das der falsche
> Gedanke?
Ja, denn es ist nach der Automorphismengruppe gefragt, nicht nach dem Minimalpolynom. Im uebrigen: wovon denn ein Minimalpolynom?
Z.B. ist die Abbildung [mm] $:L\to [/mm] L$ mit [mm] $x\mapsto x^{\*}$ [/mm] (konjugiert- komplex) ein nichttrivialer Automorphismus von $L$ ueber [mm] $\mathbb{Q}( \sqrt[4]{5})$. [/mm] Welche fallen dir ein? Wieviele gibt es insgesamt? Welche Struktur hat die Gruppe?
>
> Vielen Dank und einen schönen Abend,
> Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mi 25.06.2014 | | Autor: | stuart |
Das mit dem komplex konjugierten habe ich schon mehrmals gelesen, aber ich verstehe es nicht ganz.
Da du mir klar gemacht hast das ich Automorphismen benötige, würde ich sagen das id natürlich auf jedenfall drin liegt. Und es muss [mm] \sqrt[4]{5} [/mm] auf [mm] \sqrt[4]{5} [/mm] abgebildet werden.
Tut mir leid das ich so auf dem Schlauch stehe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mi 25.06.2014 | | Autor: | stuart |
Gibt es nur zwei Möglichkeiten?
- id
- (i auf -i, -i auf i) (komplexe Konjugation)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Do 26.06.2014 | | Autor: | hippias |
Genau: Die Galoisgruppe von $L$ ueber $K:= [mm] \IQ[\sqrt[4]{5}]$ [/mm] besteht aus der Identitaet und der Konjugation (was verstehst Du denn nicht an der Konjugation?). Wenn man es ganz genau nehmen moechte, dann muesstest Du noch nachweisen, dass diese Abbildungen tatsaechlich Automorphismen von $L$ sind, die [mm] $\IQ[\sqrt[4]{5}]$ [/mm] festlassen. Diese Gruppe ist also eine zyklische Gruppe der Ordnung $2$.
Richtig ist auch die Beobachtung, dass die Nullstellenmenge unter den Automorphismen invariant sein muss: das schraenkt die Moeglichkeiten stark ein.
Ihr habt in der Vorlesung sicherlich auch Saetze behandelt, die nuetzlich sind um Automorphismen zu konstruieren (Fortsetzungssaetze, einfache Erweiterungen etc.) Z.B. so: Offenbar ist [mm] $t^{2}+1$ [/mm] das Minimalpolynom von $i$ und $-i$ ueber $K$. Nach einem Satz aus der Vorlesung gibt es einen $K$-Homomorhismus [mm] $:K[i]\to [/mm] K[-i]$, der $i$ auf $-i$ abbildet. Wegen $L= K[i]= K[-i]$ ist diese Abbildung ein Element der Galoisgruppe (naemlich die Konjugation).
Versuche einfach die anderen Gruppen zu ermitteln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Fr 27.06.2014 | | Autor: | stuart |
Guten Tag,
muss ich bei 1. nicht noch zeigen das es nicht mehr Möglichkeiten gibt?
Ich hab jetzt versucht die anderen beiden Gruppen zu ermitteln, aber ich kann es einfach nicht.
Bei
2. liegt wieder die Konjugation drin
und bei
3. liegen vielleicht alle möglichen abbildungen von [mm] \sqrt{5} [/mm] , [mm] \sqrt[2]{5} [/mm] , [mm] \sqrt[3]{5} [/mm] , [mm] \sqrt[4]{5} [/mm] drin? Das wären dann 4! = 24
Danke für deine Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Fr 27.06.2014 | | Autor: | stuart |
ich nochmal ;)
ich glaube bei 3. lag ich falsch, da [mm] \sqrt{5} [/mm] , [mm] \sqrt[3]{5} [/mm] gar nicht in [mm] \mathbb{Q}( \sqrt[4]{5}, [/mm] i) liegen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Fr 27.06.2014 | | Autor: | hippias |
Es gibt sicherlich unheimlich viele Wege eine Galois-Gruppe zu bestimmen und ich weiss nicht, welches Hintergrundwissen Du mitbringst. Das Folgende funktioniert im Prinzip immer und ist elementar durchzufuehren.
Sei $L$ eine Galois-Erweiterung von $K$ und [mm] $\alpha\in [/mm] L$ mit [mm] $L=K(\alpha)$. [/mm] Sei $N$ die Menge der Nullstellen des Minimalpolynoms von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $K$. Dann gibt es zu jedem [mm] $\alpha'\in [/mm] N$ genau ein [mm] $g\in [/mm] Gal(L/K)$ mit [mm] $\alpha^{g}= \alpha'$. [/mm] Umgekehrt gibt es zu jedem [mm] $g\in [/mm] Gal(L/K)$ genau eine Nullstelle [mm] $\alpha'\in [/mm] N$ mit [mm] $\alpha^{g}= \alpha'$.
[/mm]
M. a. W.: wenn Du eine eine einfache Galois-Erweiterung hast, dann lassen sich die Automorphismen direkt aufschreiben. Hoechstwahrscheinlich laesst sich dies aus dem Inhalt deiner Vorlesung schlussfolgern, oder wurde so oder so aehnlich bereits vorgefuehrt.
Beispiel: Sei $L$ der Zerfaellungskoerper von [mm] $t^{4}-t^{2}-2(=(t^{2}+1)(t^{2}-2))$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IC$. [/mm] Dann ist $L= [mm] \IQ(\alpha)$ [/mm] mit [mm] $\alpha:= \sqrt{2}+i$ [/mm] (?). Das Mi.po. ist [mm] $t^{4}-2t^2+9$ [/mm] und hat die Nullstellenmenge $N:= [mm] \{\alpha= \sqrt{2}+i, \sqrt{2}-i, -\sqrt{2}+i, -\sqrt{2}-i\}$ [/mm] (?). Damit hat $L$ genau einen [mm] $\IQ$-Automorphismus [/mm] mit
[mm] $\alpha\mapsto \alpha$ [/mm] (d.i. die Identitaet),
[mm] $\alpha\mapsto \sqrt{2}-i$ [/mm] (d.i. die Konjugation),
[mm] $\alpha\mapsto-\sqrt{2}+i$ [/mm]
und schliesslich [mm] $\alpha\mapsto-\sqrt{2}-i$. [/mm]
Weitere Automorphismen gibt es nicht.
Dieses Prinzip kannst Du auf Dein Problem anwenden, indem Du Dir passende [mm] $\alpha$ [/mm] ueberlegst usw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:52 So 29.06.2014 | | Autor: | stuart |
Guten Tag,
vielen vielen Dank für deine super Hilfe :).
ich hab da noch vier Fragen.
1. Meinst du in deinem Beispiel nicht das es vier Q-Automorphismen gibt, anstatt einem? Bzw. bedeutet Q-Automorphismus, eine Gruppe von Automorphismen?
2. Welches [mm] \alpha [/mm] ich wähle ist doch egal oder? Ich komme dann auf das Minimalpolynom und bilde dann auf die Nullstellen ab.
3. Ich weiß leider nicht bei dem 2. was ich für ein [mm] \alpha [/mm] wählen muss damit [mm] K(\alpha) [/mm] = L
4. [mm] \alpha [/mm] = [mm] \sqrt[4]{5} [/mm] damit gilt [mm] K(\alpha) [/mm] = L, da [mm] \mathbb{Q}(i)(\sqrt[4]{5})=\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{5})=L
[/mm]
Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] über K:
[mm] x^4-5
[/mm]
mit den Nullstellen:
[mm] x_{1}=\sqrt[4]{5} [/mm] , [mm] x_{2}=-\sqrt[4]{5} [/mm] , [mm] x_{3}=i*\sqrt[4]{5} [/mm] , [mm] x_{4}=-i*\sqrt[4]{5}
[/mm]
Daraus folgt, dass es vier mögliche Automorphismen gibt:
[mm] f_{i}: \mathbb{Q}(i, \sqrt[4]{5}) [/mm] -> [mm] \mathbb{Q}(i, \sqrt[4]{5}) [/mm] mit i=1,2,3,4, die einzelnen [mm] f_{i} [/mm] sind wie folgt definiert:
[mm] f_{1}: \sqrt[4]{5} [/mm] -> [mm] \sqrt[4]{5}
[/mm]
[mm] f_{2}: \sqrt[4]{5} [/mm] -> [mm] -\sqrt[4]{5}
[/mm]
[mm] f_{3}: \sqrt[4]{5} [/mm] -> [mm] i*\sqrt[4]{5}
[/mm]
[mm] f_{4}: \sqrt[4]{5} [/mm] -> [mm] -i*\sqrt[4]{5}
[/mm]
[mm] Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}, i)/\mathbb{Q}(i)) [/mm] = { [mm] f_{i} [/mm] | i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4} }
Ist das so auch formal richtig aufgeschrieben? Muss ich noch zeigen das es sich hierbei um Automorphismen handelt?
Vielen Dank :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 So 29.06.2014 | | Autor: | stuart |
Wichtig ist mir zunächst einmal das [mm] \alpha [/mm] das ich bei 2. wählen muss, da ich morgen meine Hausaufgaben abgeben muss.
Ich bin euch wirklich dankbar :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 30.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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