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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Fr 02.07.2010 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | | Bestimme Galoisgruppe zu [mm] x^{4}-2\in\IF_{3}[x]. [/mm] |
Ich beschaeftige mich gerade mit der Galoistheorie und versuche nun eine Gruppe zu dem obigen Polynom zu finden. Jetzt weis ich Galoisgruppe ist die Menge alle Automorphismen, die den Grundkoerper gleich lassen.
Nun weis ich leider wie ich vorgehen soll? Kann jemand mir mal einen Tip geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Fr 02.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimme Galoisgruppe zu [mm]x^{4}-2\in\IF_{3}[x].[/mm]
> Ich beschaeftige mich gerade mit der Galoistheorie und
> versuche nun eine Gruppe zu dem obigen Polynom zu finden.
> Jetzt weis ich Galoisgruppe ist die Menge alle
> Automorphismen, die den Grundkoerper gleich lassen.
Ja.
> Nun weis ich leider wie ich vorgehen soll? Kann jemand mir
> mal einen Tip geben?
Nun, faktorisiere das Polynom ueber [mm] $\IF_3$. [/mm] Dann bestimme den Zerfaellungskoerper; benutze dafuer den Satz ueber Existenz und Eindeutigkeit von endlichen Koerpern, sowie den Multiplikationssatz fuer Koerpergrade (sprich: finde die kleinste Erweiterung von [mm] $\IF_3$, [/mm] in der alle irreduziblen Faktoren zerfallen muessen).
Was weisst du ueber die Galoisgruppe von [mm] $\IF_{3^n} [/mm] / [mm] \IF_3$?
[/mm]
LG Felix
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> Bestimme Galoisgruppe zu [mm]x^{4}-2\in\IF_{3}[x].[/mm]
sorry was genau ist [mm] \IF_{3}[x] [/mm] ?
Wenn das der polynomring über [mm] Z_3 [/mm] ist ist 2 eine Lösung. es verbleibt [mm] x^3 +2x^2+2x+2, [/mm] was irreduzibel ist in [mm] \IF_{3}[x]. [/mm]
Dies hat 3 Lösungen. weiter weiss ich auch nicht also die Galoigruppe muss Untergruppe der [mm] oder=S_3 [/mm] sein.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 04:23 Sa 03.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Bestimme Galoisgruppe zu [mm]x^{4}-2\in\IF_{3}[x].[/mm]
>
> sorry was genau ist [mm]\IF_{3}[x][/mm] ?
> Wenn das der polynomring über [mm]Z_3[/mm]
Wenn du unter [mm] $Z_3$ [/mm] den Ring [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] verstehst, dann ja. Wenn du darunter die 3-adischen Zahlen [mm] $\IZ_3$ [/mm] verstehst, nein.
> ist ist 2 eine Lösung.
Nein. Das Polynom hat keine Nullstellen ueber [mm] $\IF_3$: [/mm] es ist [mm] $2^4 [/mm] = [mm] (-1)^4 [/mm] = 1$ und somit [mm] $2^4 [/mm] - 2 = -1 [mm] \neq [/mm] 0$ in [mm] $\IF_3$.
[/mm]
> es verbleibt [mm]x^3 +2x^2+2x+2,[/mm] was irreduzibel ist in
> [mm]\IF_{3}[x].[/mm]
Nehmen wir mal an das, dass dies so waer. Dann stimmt das hier zwar:
> Dies hat 3 Lösungen. weiter weiss ich auch nicht also die
> Galoigruppe muss Untergruppe der [mm]oder=S_3[/mm] sein.
aber hilft wirklich nicht weiter. Man muss sich schon etwas naeher mit endlichen Koerpern auseinandersetzten. U.a. auch damit, wie man endliche Koerper konstruiert. Daraus folgt naemlich: ist $K / L$ irgendeine Erweiterung endlicher Koerper, so ist $K/L$ galoissch.
LG Felix
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:18 Sa 03.07.2010 | | Autor: | juerfgen |
Stimmt sry verrechnet.
Nullstellen in endlichen körpern sind iwie micht mehr als Radikale fassbar.
Man kann sie aber formal hinschreiben. ich weiss eben nicht mehr die genaue syntax, nur dass es was mit sog. Galoiskörpern zu tuen hat.
Thx
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