Galoisgruppe/Abb. surjektiv < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei V ein K-Vektorraum, G eine Gruppe. Die Gruppenoperation [mm] \phi:G \times [/mm] V->V habe die Eigenschaft, dass die Abbildungen [mm] \phi_g:V->V v\mapsto [/mm] vg für alle g aus G linear sind. Sei die Menge [mm] V^G=\{v\in V: \phi_g(v)=v\} [/mm] ein Unterraum von V. Ist die lineare Abbildung [mm] \psi :V->V^G [/mm] mit [mm] \psi(v)=\summe_{g \in G}^{}\phi_g(v) [/mm] stets surjektiv? |
hallo,
im Falle G endliche Gruppe habe ich raus, dass diese Abbildung surjektiv ist. Im Falle G unendlich weiss ich das nicht. Jetzt wollte ich mir ein Beispiel konstruieren, ob es ein Gegenbeispiel wird oder nicht war mir erstmal egal. Ich demonstriere mal, wie ich vorgehen wollte: ich dachte erst daran für V sowas wie den [mm] \IQ-Vektorraum \IQ( \wurzel{d}) [/mm] , d eine ganze Zahl und kein quadrat zu nehmen, und für [mm] V^G=\IQ, [/mm] den Fixkörper, wenn ich die Körpererweiterung [mm] \IQ(\wurzel{d}) [/mm] über [mm] \IQ [/mm] betrachte und da die Körpererweiterung vom Grad 2, besteht die Galoisgruppe besteht aus 2 Elementen. Weil ich aber ein Beispiel für eine unendliche Gruppe haben will, dachte ich dann an eine unendliche Galoisgruppe, aber dazu fehlt mir die komplette unendliche Galoistheorie. Es ist eine Algebra1 Aufgabe, bei der ich helfen sollte und diesen Part habe ich nicht hinbekommen, müsste also einfacher gehen, aber ich sehe es nicht, wie.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Hat denn die Dimension von V immer größer als die von [mm] V^G? [/mm] wenn [mm] \psi [/mm] linear ist, könnte diese Abb. dann surjektiv sein...
Aber was weiss man über [mm] L^G [/mm] ={l in L: phi(l)=l für alle phi in G} wenn G unendlich? Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Schachtel,
im Falle G unendlich lässt sich [mm] $\psi$ [/mm] gar nicht so definieren, da die Summe unendlich viele Summanden hätte.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Do 25.10.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
okay...immer? Wenn man irgentwie den VR der Polynome hat kann man ja von Konvergenz reden..
Ich kenne mich garnicht mit Algebra aus, sorry^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn man irgentwie den VR der Polynome hat
> kann man ja von Konvergenz reden..
Konvergenz in einem Polynomring über einem beliebigen Körper? Ich kenne zumindest kein entsprechendes Konzept.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Do 25.10.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
achso ok, danke... ich glaube, ich bin heute einfach nur extrem verwirrt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Fr 26.10.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei V ein K-Vektorraum, G eine Gruppe. Die Gruppenoperation
> [mm]\phi:G \times[/mm] V->V habe die Eigenschaft, dass die
> Abbildungen [mm]\phi_g:V->V v\mapsto[/mm] vg für alle g aus G
> linear sind. Sei die Menge [mm]V^G=\{v\in V: \phi_g(v)=v\}[/mm] ein
> Unterraum von V. Ist die lineare Abbildung [mm]\psi :V->V^G[/mm]
> mit [mm]\psi(v)=\summe_{g \in G}^{}\phi_g(v)[/mm] stets surjektiv?
>
>
> hallo,
> im Falle G endliche Gruppe habe ich raus, dass diese
> Abbildung surjektiv ist.
Ich habe Zweifel, dass Dein Beweis stimmt. Wenn Du moechtest, kannst Du ihn ja mal zeigen.
Im uebrigen stimme ich zu, dass $G$ bestimmt als endlich vorausgesetzt ist.
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