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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:12 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Lauch |
| Aufgabe | Sei K [mm] \supset \IQ [/mm] eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe G, L ein Zwischenkörper und H = Aut(K|L). Sei N ein Zwischenkörper, der normal über [mm] \IQ [/mm] ist und L enthält.
a) Zeige, daß Aut(K|N) [mm] \subset \bigcap_{\alpha \in G} \alpha*H*\alpha^{-1}. [/mm]
b) Wann gilt Gleichheit? |
Hallo,
leider habe ich nicht mal einen Ansatz, sorry :(
Gruß
Lauch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Di 03.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Lauch!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Di 03.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K [mm]\supset \IQ[/mm] eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe
> G, L ein Zwischenkörper und H = Aut(K|L). Sei N ein
> Zwischenkörper, der normal über [mm]\IQ[/mm] ist und L enthält.
> a) Zeige, daß Aut(K|N) [mm]\subset \bigcap_{\alpha \in G} \alpha*H*\alpha^{-1}.[/mm]
> b) Wann gilt Gleichheit?
> Hallo,
>
> leider habe ich nicht mal einen Ansatz, sorry :(
Bei a) kannst du das doch einfach nachrechnen! Nimm ein [mm] $\varphi \in [/mm] Aut(K/N)$, ein [mm] $\alpha \in \Aut(K/\IQ)$ [/mm] und ein [mm] $\ell \in [/mm] L$. Denn [mm] $\varphi \in \alpha [/mm] H [mm] \alpha^{-1}$ [/mm] ist aequivalent zu [mm] $\alpha^{-1} \varphi \alpha \in [/mm] H$, und das ist aequivalent zu [mm] $(\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) [/mm] = [mm] \ell$ [/mm] fuer alle [mm] $\ell \in [/mm] L$.
So. Nun brauchst du noch, dass [mm] $N/\IQ$ [/mm] normal ist: Denn das bedeutet gerade, dass [mm] $\alpha(N) \subseteq [/mm] N$ ist. Und [mm] $\ell \in [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] N$ impliziert also, dass [mm] $\alpha(\ell) \in [/mm] N$ ist. Und [mm] $\varphi$ [/mm] haelt jedes Element aus $N$ fest. Damit hast du das dann.
Ueber b) denk ich spaeter nach, hab jetzt noch was zu tun. 
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:11 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Lauch |
> Bei a) kannst du das doch einfach nachrechnen! Nimm ein
> [mm]\varphi \in Aut(K/N)[/mm], ein [mm]\alpha \in \Aut(K/\IQ)[/mm] und ein
> [mm]\ell \in L[/mm].
Warum betrachtest du ein [mm]\ell \in L[/mm] und nicht ein [mm] \beta [/mm] aus Aut(H|L) ?
> [mm]\alpha^{-1} \varphi \alpha \in H[/mm] ist aequivalent zu [mm]
> (\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) = \ell[/mm]
> fuer alle [mm]\ell \in L[/mm].
Warum?
Ich kenne nur die Definition, dass eine Eweiterung E|K normal ist wenn jedes irreduzible Polynom in K, dass in E eine Nullstelle hat, dort auch vollständig zerfällt. Inwiefern folgt daraus, dass [mm]\alpha(N) \subseteq N[/mm] ist ?
> Und [mm]\varphi[/mm] haelt jedes Element aus [mm]N[/mm] fest. Damit > hast du das dann.
Hier versteh ich noch nicht, wie das in die Lösung passt? Wir müssen ja letztendlich zeigen [mm](\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) = \ell[/mm]
> fuer alle [mm]\ell \in L[/mm]. Ok also [mm] \alpha(l) [/mm] ist in N, [mm] \varphi [/mm] lässt das Element fest und [mm] \alpha^{-1} [/mm] macht [mm] \alpha [/mm] wieder rückgängig, dann hat man also id(l) = l oder wie?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Mi 04.01.2006 | | Autor: | felixf |
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> > Bei a) kannst du das doch einfach nachrechnen! Nimm ein
> > [mm]\varphi \in Aut(K/N)[/mm], ein [mm]\alpha \in \Aut(K/\IQ)[/mm] und ein
> > [mm]\ell \in L[/mm].
>
> Warum betrachtest du ein [mm]\ell \in L[/mm] und nicht ein [mm]\beta[/mm]
> aus Aut(H|L) ?
Warum sollte ich das? [mm] $\Aut(K/L)$ [/mm] ist gerade die Menge der Automorphismen von $K$, welche $L$ elementweise festhaelt.
> > [mm]\alpha^{-1} \varphi \alpha \in H[/mm] ist aequivalent zu [mm]
> (\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) = \ell[/mm]
> > fuer alle
> [mm]\ell \in L[/mm].
>
> Warum?
Weil das die Definition von $H$ ist. Oder habt ihr eine andere Definition von [mm] $\Aut(K/L)$?
[/mm]
> Ich kenne nur die Definition, dass eine Eweiterung E|K
> normal ist wenn jedes irreduzible Polynom in K, dass in E
> eine Nullstelle hat, dort auch vollständig zerfällt.
> Inwiefern folgt daraus, dass [mm]\alpha(N) \subseteq N[/mm] ist ?
Du meinst warum daraus [mm] $\alpha(E) \subseteq [/mm] E$ folgt?
Wenn $E/K$ algebraisch ist und $a [mm] \in [/mm] E$, nimm $f := MiPo(a, K) [mm] \in [/mm] K[x]$ das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $K$. Dann ist $f(a) = 0$, womit $f$ in $E$ einen Linearfaktor hat und somit ueber $E$ vollstaendig in Linearfaktoren zerfaellt. Nun ist jedoch [mm] $f(\alpha(a)) [/mm] = [mm] \alpha(f(a))$, [/mm] da [mm] $\alpha$ [/mm] die Koeffizienten aus $K$ festhaelt, und somit [mm] $f(\alpha(a)) [/mm] = [mm] \alpha(0) [/mm] = 0$: aber damit ist [mm] $\alpha(a)$ [/mm] ebenfalls eine Nullstelle von $f$ und somit ebenfalls in $E$.
Habt ihr normal auch fuer nicht-algebraische Erweiterungen definiert?
> > Und [mm]\varphi[/mm] haelt jedes Element aus [mm]N[/mm] fest. Damit > hast
> du das dann.
>
> Hier versteh ich noch nicht, wie das in die Lösung passt?
> Wir müssen ja letztendlich zeigen [mm](\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) = \ell[/mm]
> > fuer alle [mm]\ell \in L[/mm]. Ok also [mm]\alpha(l)[/mm] ist in N, [mm]\varphi[/mm]
> lässt das Element fest und [mm]\alpha^{-1}[/mm] macht [mm]\alpha[/mm] wieder
> rückgängig, dann hat man also id(l) = l oder wie?
Ja, und du hast [mm](\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) = \ell[/mm]. Ich verstehe nicht ganz was du gerade meinst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mi 04.01.2006 | | Autor: | Lauch |
Hi felixf,
okay!
> > Wir müssen ja letztendlich zeigen [mm](\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) = \ell[/mm]
> > > fuer alle [mm]\ell \in L[/mm]. Ok also [mm]\alpha(l)[/mm] ist in N, [mm]\varphi[/mm]
> > lässt das Element fest und [mm]\alpha^{-1}[/mm] macht [mm]\alpha[/mm] wieder
> > rückgängig, dann hat man also id(l) = l oder wie?
>
Ich wollte nur wissen, ob die Erklärung von mir so richtig ist? Denn das, was wir ja schließlich zeigen wollen ist: [mm](\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) = \ell[/mm] fuer alle [mm]\ell \in L[/mm].
LG lauch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 04.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hi Lauch,
> > > Wir müssen ja letztendlich zeigen [mm](\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) = \ell[/mm]
> > > > fuer alle [mm]\ell \in L[/mm]. Ok also [mm]\alpha(l)[/mm] ist in N, [mm]\varphi[/mm]
> > > lässt das Element fest und [mm]\alpha^{-1}[/mm] macht [mm]\alpha[/mm] wieder
> > > rückgängig, dann hat man also id(l) = l oder wie?
> >
>
> Ich wollte nur wissen, ob die Erklärung von mir so richtig
> ist? Denn das, was wir ja schließlich zeigen wollen ist:
> [mm](\alpha^{-1} \varphi \alpha)(\ell) = \ell[/mm] fuer alle [mm]\ell \in L[/mm].
Jep, die ist richtig Wobei das `also [mm] $id(\ell) [/mm] = [mm] \ell$' [/mm] etwas verwirrend ist da dies ja per Definition von id schon gilt.
LG Felix
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