Galoissche Erweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 25.03.2006 | | Autor: | goldie20 |
| Aufgabe | | Ist [mm] \IQ(i, \wurzel[4]{10}):\IQ [/mm] galoissche Erweiterung? |
Hallo zusammen,
Bei der Aufgabe habe ich folgende Lösung heraus bekommen:
- Irr [mm] (\wurzel[4]{10},\IQ)=x^4-10 [/mm] normiert
- irreduzibel nach Eisenstein für p=5
- Nullstelle von [mm] x^4-10 [/mm] ist [mm] \wurzel[4]{10}
[/mm]
- zerfällt vollständig in [mm] \IQ(i, \wurzel[4]{10}) [/mm] in Linearfaktoren
[mm] \Rightarrow [/mm] normal
Charakteristik von [mm] \IQ [/mm] ist Null [mm] \Rightarrow [/mm] separabel
Da normal und separabel [mm] \Rightarrow [/mm] galoissche Körpererweiterung.
Nun zu meiner Frage: Wie würde es im folgenden Fall aussehen:
Ist [mm] \IQ(i*\wurzel[4]{10}):\IQ [/mm] galoissche Erweiterung?
Danke im voraus.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Sa 25.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Ist [mm]\IQ(i, \wurzel[4]{10}):\IQ[/mm] galoissche Erweiterung?
> Hallo zusammen,
>
> Bei der Aufgabe habe ich folgende Lösung heraus bekommen:
>
> - Irr [mm](\wurzel[4]{10},\IQ)=x^4-10[/mm] normiert
> - irreduzibel nach Eisenstein für p=5
> - Nullstelle von [mm]x^4-10[/mm] ist [mm]\wurzel[4]{10}[/mm]
> - zerfällt vollständig in [mm]\IQ(i, \wurzel[4]{10})[/mm] in
> Linearfaktoren
Bis hierher richtig.
> [mm]\Rightarrow[/mm] normal
Die Folgerung gilt nicht: Du musst das fuer alle ueber [mm] $\IQ$ [/mm] irreduziblen Polynome zeigen, die in [mm]\IQ(i, \wurzel[4]{10})[/mm] eine Nullstelle haben!
Einfacher geht es so: Zeige, dass [mm] $\IQ(i, \wurzel[4]{10})$ [/mm] der Zerfaellungskoerper von [mm] $x^4 [/mm] - 10$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist: Zerfaellungskoerper sind immer normal!
> Charakteristik von [mm]\IQ[/mm] ist Null [mm]\Rightarrow[/mm] separabel
Genau.
> Da normal und separabel [mm]\Rightarrow[/mm] galoissche
> Körpererweiterung.
Ja.
> Nun zu meiner Frage: Wie würde es im folgenden Fall
> aussehen:
>
> Ist [mm]\IQ(i*\wurzel[4]{10}):\IQ[/mm] galoissche Erweiterung?
Ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist eine endliche Erweiterung genau dann normal, wenn sie ein Zerfaellungskoerper eines Polynoms ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Betrachte mal das Minimalpolynom von $i [mm] \sqrt[4]{10}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$: [/mm] Liegen alle Nullstellen davon in [mm] $\IQ(i*\wurzel[4]{10})$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 25.03.2006 | | Autor: | goldie20 |
Ich würde mal nein sagen, oder??
Daraus würde dann folgen, dass die Normalität nicht gilt und somit nicht galoissch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 25.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Ich würde mal nein sagen, oder??
Genau.
> Daraus würde dann folgen, dass die Normalität nicht gilt
> und somit nicht galoissch
Exakt. Das muesstest du halt nur noch irgendwie zeigen 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Sa 25.03.2006 | | Autor: | goldie20 |
Wie könnte man denn zeigen, dass nicht alles Nullstellen darin liegen? Ich hätte da leider keine Idee. :-/
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Hallo,
gib doch mal das Minimalpolynom der Körpererweiterung an. Betrachte alle Nullstellen und wäge dann ab, ob diese drin liegen!
Das Minimalpolynom solltest du schon allein hinbekommen!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 So 26.03.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
würde das Minimalpolynom zu [mm] \IQ(i\cdot\wurzel[4]{10}):\IQ [/mm] so lauten??
Minimalpolynom zu i:
[mm] p(x)=x^2+1 [/mm]
Minimalpolynom zu [mm] \wurzel[4]{10}: [/mm]
[mm] q(x)=x^4-10 [/mm]
Minimalpolynom zu [mm] \IQ(i\cdot\wurzel[4]{10}):\IQ: [/mm]
[mm] p(x)\cdot q(x)=(x^2+1)*(x^4-10)
[/mm]
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Hallo cloe,
das sieht doch schon mal gut aus! Und? Ist nun [mm] \IQ(i*\wurzel[4]{10}) [/mm] Zerfällungskörper von p(x)*q(x) bzw. sind alle Nullstellen darin?
Felix' Hinweis kannst du auch beachten. Da steht ja im Prinzip schon die Begründung!
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Sa 25.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Wie könnte man denn zeigen, dass nicht alles Nullstellen
> darin liegen? Ich hätte da leider keine Idee. :-/
Eine weitere Nullstelle ist ja [mm] $\sqrt[4]{10}$. [/mm] Ein Allgemeines Element aus [mm] $\IQ(i \sqrt[4]{10})$ [/mm] ist ja von der Form [mm] $\lambda_0 [/mm] + [mm] \lambda_1 [/mm] i [mm] \sqrt[4]{10} [/mm] - [mm] \lambda_2 \sqrt{10} [/mm] - [mm] \lambda_3 [/mm] i [mm] \sqrt[4]{1000}$ [/mm] mit [mm] $\lambda_i \in \IQ$ [/mm] (weisst du warum?).
Wenn das jetzt gleich [mm] $\sqrt[4]{10}$ [/mm] sein soll, muss ja auch der Realteil davon gleich [mm] $\Re \sqrt[4]{100} [/mm] = [mm] \sqrt[4]{100}$ [/mm] sein. Der Realteil von dem Element ist jedoch [mm] $\lambda_0 [/mm] - [mm] \lambda_2 \sqrt{10}$. [/mm] Jetzt musst du zeigen, dass dies fuer [mm] $\lambda_0, \lambda_2 \in \IQ$ [/mm] nicht [mm] $\sqrt[4]{10}$ [/mm] sein kann.
LG Felix
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