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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:22 So 03.08.2014 | | Autor: | Tiiina |
Hallo zusammen, ich bin in einem Protokoll auf eine Frage gestossen, und zwar ging es darum dass die Nullstellen eines Polynoms bei Galois ja immer wieder auf Nullstellen abgebildet werden und um es genau zu sagen auf sich bzw ihr negatives...
Als Beispiel ging es um die Körpererweiterung [mm] \IQ \subset \IQ(\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5}) [/mm]
Die Körpererweiterung ist ja algebraisch, wir können ja ein Polynom f(x)=(x²-2)(x²-3)(x²-5) finden.
Dh wir haben ein [mm] /phi(\wurzel{2}=\pm2, [/mm] und genauso mit [mm] \wurzel{3}und \wurzel{5}
[/mm]
Das Nullstellen auf Nullstellen abgebildet werden ist mir bewusst und auch das sie nur auf sich selbst abgebildet werden aber warum, bzw. wie kann ich erklären/zeigen dass das so ist?
Kann mir da vllt jmd helfen? Ich wäre euch echt sehr dankbar 
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Hallo,
ich verstehe nicht wirklich was deine Frage ist.
Der ganze Text liest sich sehr schlecht, hauptsächlich weil du Fachbegriffe verwendest die in dieser Zusammenstellung keinen Sinn machen.
> Hallo zusammen, ich bin in einem Protokoll auf eine Frage
> gestossen, und zwar ging es darum dass die Nullstellen
> eines Polynoms bei Galois ja immer wieder auf Nullstellen
Passiert mit den Nullstellen z.B. bei Fermat, Hermite oder Grothendieck was anderes?
Was du evtl. meinst ist: Jedes Element der Galoisgruppe bildet Nullstellen auf Nullstellen ab.
> abgebildet werden und um es genau zu sagen auf sich bzw ihr
> negatives...
> Als Beispiel ging es um die Körpererweiterung [mm]\IQ \subset \IQ(\wurzel{2},\wurzel{3},\wurzel{5})[/mm]
> Die Körpererweiterung ist ja algebraisch, wir können ja
> ein Polynom f(x)=(x²-2)(x²-3)(x²-5) finden.
Wieso ist es wichtig, dass die Erweiterung algebraisch ist?
Und wieso ist die Erweiterung alg. weil sich ein Pol. finden lässt?
Polynome lassen sich immer finden.
Warum gerade dieses Polynom?
> Dh wir haben ein [mm]/phi(\wurzel{2}=\pm2,[/mm]
Wieso ein [mm] $\phi$ [/mm] ?
Soll das nicht für alle [mm] $\phi [/mm] $ gelten? (das wär hier meine vermutung, was die Frage ist.)
> und genauso mit
> [mm]\wurzel{3}und \wurzel{5}[/mm]
> Das Nullstellen auf Nullstellen
> abgebildet werden ist mir bewusst und auch das sie nur auf
> sich selbst abgebildet
Wieso sollten sie (die Nullstellen?) nur auf sich selbst abgebildet werden?
Und wovon?
> werden aber warum, bzw. wie kann ich
> erklären/zeigen dass das so ist?
>
> Kann mir da vllt jmd helfen? Ich wäre euch echt sehr
> dankbar
Ein Versuch als Antwort auf die vermutete Frage:
Warum gilt für jede Abb. [mm] $\phi \in Gal(\mathbbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3} ,\sqrt{5} /\mathbb [/mm] Q)$ [mm] $\phi (\sqrt{2}) [/mm] = [mm] \pm \sqrt{2}.?
[/mm]
Für jede Abb. aus der Galoisgruppe ist $2 [mm] =\phi (2)=\phi (\sqrt{2} \cdot\sqrt{2})=\phi(\sqrt{2})^2$, [/mm] da die Elemente der Galoisgruppe den Grundkörper fix lassen und Körper(auto)morphismen sind.
Nun hat aber die Gleichung [mm] $X^2=2$ [/mm] nur höchstens zwei Lösungen, in diesem Erweiterungskörper sind das [mm] $\pm \sqrt{2}$
[/mm]
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