Gammafunktion Rechenregel < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Die Beta-Funktion [mm] B:(0,\infty)^{2}\rightarrow \IR [/mm] ist definiert durch
[mm] B(r,s):=\integral_{0}^{1}{t^{r-1}(1-t)^{s-1}dt}=\bruch{\Gamma(r)\Gamma(s)}{\Gamma(r+s)}
[/mm]
wobei [mm] \Gamma [/mm] die Gamma-Funktion ist. Es sei X eine Beta-verteilte Zufallsvariable, d.h. X besitzt die Dichte
[mm] f(x)=\bruch{x^{r-1}(1-x)^{s-1}}{B(r,s)}, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1], und 0 sonst,
wobei r>0, s>0. Zeigen Sie, dass für jedes k [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
[mm] E[X^{k}]=\bruch{B(r+k,s)}{B(r,s)}=\bruch{\Gamma(r+k)\Gamma(r+s)}{\Gamma(r)\Gamma(r+s+k)} [/mm] |
Hallo,
die erste Gleichung war relativ schnell gezeigt, nun sitze ich an der zweiten und komme nicht ganz weiter..
Es gilt: [mm] \bruch{B(r+k,s)}{B(r,s)}=\bruch{\Gamma(r+k)\Gamma(s)}{\Gamma(r+k+s)}=\bruch{\Gamma(r+k)\Gamma(s)\Gamma(r)}{\Gamma(r)\Gamma(r+k+s)}
[/mm]
und nun hapert es, weil ich zeigen müsste das gilt
[mm] \Gamma(r)\Gamma(s)=\Gamma(r+s). [/mm] Nur da stecke ich voll in einer Sackgasse. Mit den Fakultäten hab ich mir das auch schon aufgeschrieben und müsste zeigen (r-1)!(s-1)!=(r+s-1)! Aber dann hapert es schon recht schnell.
Hat jemand vllt einen Tipp?
LG 
|
|
| |
|
Hallo Topologe,
> Die Beta-Funktion [mm]B:(0,\infty)^{2}\rightarrow \IR[/mm] ist
> definiert durch
>
> [mm]B(r,s):=\integral_{0}^{1}{t^{r-1}(1-t)^{s-1}dt}=\bruch{\Gamma(r)\Gamma(s)}{\Gamma(r+s)}[/mm]
>
> wobei [mm]\Gamma[/mm] die Gamma-Funktion ist. Es sei X eine
> Beta-verteilte Zufallsvariable, d.h. X besitzt die Dichte
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^{r-1}(1-x)^{s-1}}{B(r,s)},[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1], und 0
> sonst,
>
> wobei r>0, s>0. Zeigen Sie, dass für jedes k [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> gilt:
>
> [mm]E[X^{k}]=\bruch{B(r+k,s)}{B(r,s)}=\bruch{\Gamma(r+k)\Gamma(r+s)}{\Gamma(r)\Gamma(r+s+k)}[/mm]
> Hallo,
>
> die erste Gleichung war relativ schnell gezeigt, nun sitze
> ich an der zweiten und komme nicht ganz weiter..
>
> Es gilt:
> [mm]\bruch{B(r+k,s)}{B(r,s)}=\bruch{\Gamma(r+k)\Gamma(s)}{\Gamma(r+k+s)}=\bruch{\Gamma(r+k)\Gamma(s)\Gamma(r)}{\Gamma(r)\Gamma(r+k+s)}[/mm]
Wo ist denn der Nenner [mm]B(r,s)[/mm] im zweiten Term hin?
Wenn du den mal dazu schreibst, kürzt sich doch im nächsten Schritt [mm]\Gamma(s)[/mm] raus und es steht direkt der gewünschte Term da ...
Oder habe ich gerade Tomaten auf den Augen?!
> und nun hapert es, weil ich zeigen müsste das gilt
>
> [mm]\Gamma(r)\Gamma(s)=\Gamma(r+s).[/mm] Nur da stecke ich voll in
> einer Sackgasse. Mit den Fakultäten hab ich mir das auch
> schon aufgeschrieben und müsste zeigen
> (r-1)!(s-1)!=(r+s-1)! Aber dann hapert es schon recht
> schnell.
> Hat jemand vllt einen Tipp?
>
> LG
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Topologe |
Stimmt, ich kleiner Depp
LG
|
|
|
|
