Ganzrat. F. ; gerade/ungerade < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 30.07.2007 | | Autor: | kati93 |
Und schon wieder ich :)
Tut mir leid,dass ich im Moment schon wieder so geballt frage, aber ich hab einfach sooo viele Fragen wenn ich mit einem Thema neu anfange...
Diese hier sind aber relativ kurz:
1)Bei ganzrationalen Funktionen: Ist es auch eine ganzrationale Funktion wenn der Term nicht in der Form [mm] ax^3+bx^2+cx [/mm] +d , sonder zB in der Form [mm] ax^3+bx^2+cx+\pi [/mm] oder [mm] x^3+sin(x) [/mm] oder so vorliegt? Oder muss die oben genannte Form genauso eingehalten werden?
2)Es gibt ja gerade und ungerade Funktionen, was man an den Potenzen erkennen kann. Nun ist in dem Buch die Frage ob es auch ganzrationale Funktionen gibt die sowohl gerade als auch ungerade sind??
Ich kann mir das überhaupt nicht vorstellen! Denn entweder ist es gerade oder ungerade oder keins von beidem! Aber wie soll eine Funktion denn sowohl gerade als auch ungerade sein? Ich kann mir nur unschwer vorstellen,dass danach gefragt wird wenn die Antwort "Nein" ist...
Schonmal vorweg wieder Danke schön
Liebe Grüße,
Kati
|
|
| |
|
>
> 1)Bei ganzrationalen Funktionen: Ist es auch eine
> ganzrationale Funktion wenn der Term nicht in der Form
> [mm]ax^3+bx^2+cx[/mm] +d , sonder zB in der Form [mm]ax^3+bx^2+cx+\pi[/mm]
> oder [mm]x^3+sin(x)[/mm] oder so vorliegt? Oder muss die oben
> genannte Form genauso eingehalten werden?
Hallo,
Eine ganzrationale Funktion ist eine Polynomfunktion mit Koeffizienten aus [mm] \IR, [/mm] also so etwas
[mm] p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 [/mm] mit [mm] a_i\in \IR.
[/mm]
Also sind die ersten beiden von Dir angegebenen Funktionen ganzrationale Funktionen,
die dritte hingegen nicht.
>
> 2)Es gibt ja gerade und ungerade Funktionen, was man an den
> Potenzen erkennen kann.
Gerade heißen diejenigen Funktionen, dioe symmetrisch zur y-Achse sind, für die also f(x)=f(-x) gilt.
Es sind z.B. alle Polynome, welche nur gerade Potenzen enthalten, gerade Funktionen.
Ungerade heißen die Funktionen, die puktsymmetrisch zumUrsprung sind, für die also gilt f(x)=-f(-x).
Unter den Polynomen sind das diejenigen, die nur ungerade Potenzen enthalten und keinen konstanten Term, bzw. deren konstanter Term =0 ist.
Nun ist in dem Buch die Frage ob es
> auch ganzrationale Funktionen gibt die sowohl gerade als
> auch ungerade sind??
> Ich kann mir das überhaupt nicht vorstellen! Denn entweder
> ist es gerade oder ungerade oder keins von beidem! Aber wie
> soll eine Funktion denn sowohl gerade als auch ungerade
> sein? Ich kann mir nur unschwer vorstellen,dass danach
> gefragt wird wenn die Antwort "Nein" ist...
Angenommen, Du hättest ein Polynom [mm] p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0, [/mm] welches gleichzeitig gerade und ungerade ist.
Dann ist ja p(x)=p(-x) und p(x)=-p(-x), also p(x)=-p(x)
==> [mm] a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=-(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)
[/mm]
==> nun bring alle x auf eine Seite und ziehe Deine Schlüsse daraus.
Eine andere Möglichkeit, für die man weniger wissen muß:
Nimm an, Du hast eine Funktion, welche gleichzeitig gerade und ungerade ist.
Ihr Funktionswert an einer Stelle a sei f(a)=b.
Dann ist ja f(a)=f(-a) und f(a)=-f(-a). Hieraus kannst Du b berechnen.
Da unser a völlig beliebig aus [mm] \IR [/mm] gewählt ist, trifft das also für alle Stellen zu.
Somit ist die einzige auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Funktion, welche gleichzeitig gerade und ungerade ist ???
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:51 Di 31.07.2007 | | Autor: | kati93 |
Erstmal vielen lieben Dank für eure schnelle Hilfe!
Nur das letzte, mit dem gerade und ungerade hab ich jetzt noch nicht wirklich verstanden!
"Dann ist ja p(x)=p(-x) und p(x)=-p(-x), also p(x)=-p(x)"
Ich versteh schon hier nicht warum p(x)=-p(-x) => p(x)=-p(x)
Ich kenn das so:
Punktsymmetrisch zum Ursprung: p(-x)= -p(x)
Ist das identisch? Mich irritieren die beiden "minus" bei dir auf der einen Seite...
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
> Erstmal vielen lieben Dank für eure schnelle Hilfe!
>
> Nur das letzte, mit dem gerade und ungerade hab ich jetzt
> noch nicht wirklich verstanden!
>
>
> "Dann ist ja p(x)=p(-x) und p(x)=-p(-x), also p(x)=-p(x)"
>
> Ich versteh schon hier nicht warum p(x)=-p(-x) =>
> p(x)=-p(x)
>
> Ich kenn das so:
>
> Punktsymmetrisch zum Ursprung: p(-x)= -p(x)
>
> Ist das identisch? Mich irritieren die beiden "minus" bei
> dir auf der einen Seite...
Hallo,
dann multipliziere jetzt mal beide Seiten "Deiner Punktsymmetrie" mit minus 1. Du erhältst "meine" Punktsymmetrie.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:34 Mi 01.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo Angela,
das hab ich jetzt verstanden :)
Mein Problem ist aber,dass ich immer noch nicht verstanden habe worauf du hinaus willst *schäm*
wenn ich die x alle auf eine Seite bringe bekomm ich:
[mm] a_{n}x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{n-1}+ [/mm] ... + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{0}=0
[/mm]
Aber ich weiss nicht was mir das sagen soll? !
Ich glaub ich bin zu blöd für diese Aufgabe .... :(
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
>
> das hab ich jetzt verstanden :)
>
> Mein Problem ist aber,dass ich immer noch nicht verstanden
> habe worauf du hinaus willst *schäm*
>
> wenn ich die x alle auf eine Seite bringe bekomm ich:
>
> [mm]a_{n}x^n[/mm] + [mm]a_{n-1}x^{n-1}+[/mm] ... + [mm]a_{1}x[/mm] + [mm]a_{0}=0[/mm]
>
> Aber ich weiss nicht was mir das sagen soll? !
> Ich glaub ich bin zu blöd für diese Aufgabe .... :(
Ach was!
Steter Tropfen höhlt den Stein: man bekommt es fünfmal vorgemacht, und beim sechsten Mal verblüfft man andere...
Du hast da oben jetzt ein Polynom n-ten Grades, welches für jedes x, was Du einsetzt, gleich Null wird.
Also ist es das Nullpolynom. (Denn vom Nullpolynom vrschiedene Polynome haben höchstens soviele Nullstellen wie ihr Grad ist.)
So. Wenn Du das geschluckt hast, mach Dir klar, was Du hast:
Man ist davon ausgegangen, daß man irgendein Polynom hat, welches gleichzeitig gerade und ungerade ist.
Man hat gefolgert, daß es sich dann um das Nullpolynom handeln muß.
Nun prüft man das Polynom p(x)=0.
Ist es gerade? In der Tat: p(x)=0=p(-x)
Ist es ungerade? p(x)=0=-p(-x).
Bei der zweiten Möglichkeit, die ich Dir aufgezeigt hatte, umschiffst Du die Kenntnisse über Polynome, die man oben benötigte.
Du betrachtest eine beliebige Stelle eine Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, zeigst, daß an dieser Stelle der Funktionswert =0 sein muß, und Du schließt daraus: die Funktion muß überall =0 sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Mi 01.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke Angela für deine riesen Geduld! :)
Also kann man sagen,dass das Null-Polynom sowohl gerade als auch ungerade ist?!
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
> Danke Angela für deine riesen Geduld! :)
>
> Also kann man sagen,dass das Null-Polynom sowohl gerade als
> auch ungerade ist?!
Ja. Und das Schöne: es stimmt sogar.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:27 Do 02.08.2007 | | Autor: | kati93 |
Okay, Danke schön!!!! Ich glaub ich habe es jetzt sogar verstanden :)
Liebe Grüße,
Kati
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mo 30.07.2007 | | Autor: | Somebody |
Ich erlaube mir diese ergänzende Mitteilung, weil Angela Deine konkreten Beispiele nicht kommentiert hat:
> Ist es auch eine
> ganzrationale Funktion wenn der Term nicht in der Form
> [mm]ax^3+bx^2+cx[/mm] +d , sonder zB in der Form
>[mm]ax^3+bx^2+cx+\pi[/mm]
Ja, diese Funktion ist ganzrational.
> oder [mm]x^3+sin(x)[/mm]
Nein, diese Funktion ist nicht ganzrational, denn [mm] $\sin(x)$ [/mm] ist keine (natürliche) Potenz von $x$.
|
|
|
| |
|
> Ich erlaube mir diese ergänzende Mitteilung, weil Angela
> Deine konkreten Beispiele nicht kommentiert hat:
Das stümmt abba gaa nich...
Aber doppelt hält besser. Immerhin sind wir uns einig.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
