Gauß-Klammer < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
| Aufgabe | Wann ist
[mm] [(1+ \wurzel{2})^n] [/mm] gerade (bzw. ungerade)?
Beweis! |
Hallo zusammen!
Ich weiß, dass für n nur natürliche Zahlen in Frage kommen, allerdings muss ich die anderen Zahlbereiche ausschließen und weiß nicht genau, wie ich das für die komplexen Zahlen machen soll. Vielleicht hat einer von euch eine Idee dazu?
Zudem weiß ich, dass für gerade n das Ergebnis ungerade wird und für ungerade n wird das Ergebnis gerade, allerdings muss ich das nun noch beweisen. Ich habe bereits versucht es mit Hilfe der allgemeinen binomischen Formel zu beweisen (indem ich versucht habe auf gerade und ungerade Zahlen einzugehen), allerdings habe ich damit bisher noch keinen wirklichen Erfolg gehabt. Vielleicht denke ich auch in die falsche Richtung.
Falls jemand von euch eine andere Idee hat oder mir weiterhelfen könnte, wäre ich wirklich dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Sa 02.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Mia und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wann ist
> [mm][(1+ \wurzel{2})^n][/mm] gerade (bzw. ungerade)?
> Beweis!
> Hallo zusammen!
> Ich weiß, dass für n nur natürliche Zahlen in Frage
> kommen, allerdings muss ich die anderen Zahlbereiche
> ausschließen und weiß nicht genau, wie ich das für die
> komplexen Zahlen machen soll. Vielleicht hat einer von euch
> eine Idee dazu?
Schreib doch einfach [mm] n\in\IN
[/mm]
> Zudem weiß ich, dass für gerade n das Ergebnis ungerade
> wird und für ungerade n wird das Ergebnis gerade,
> allerdings muss ich das nun noch beweisen.
Das ist doch schonmal nen Ansatz:
> Ich habe bereits versucht es mit Hilfe der allgemeinen binomischen Formel zu
> beweisen (indem ich versucht habe auf gerade und ungerade
> Zahlen einzugehen), allerdings habe ich damit bisher noch
> keinen wirklichen Erfolg gehabt. Vielleicht denke ich auch
> in die falsche Richtung.
Die Idee ist gut. Eine gerade Zahl [mm] g\in\IN [/mm] kann man darstellen als g=2k, wobei [mm] k\in\IN, [/mm] eune underade zahl u kann man darstellen als u=2k+1, also betrachte die beiden Fälle:
[mm] \left[\left(1+\wurzel{2}\right)^{g}\right]
[/mm]
[mm] \left[\left(1+\wurzel{2}\right)^{2k}\right]
[/mm]
und
[mm] \left[\left(1+\wurzel{2}\right)^{u}\right]
[/mm]
[mm] \left[\left(1+\wurzel{2}\right)^{2k+1}\right]
[/mm]
> Falls jemand von euch eine andere Idee hat oder mir
> weiterhelfen könnte, wäre ich wirklich dankbar!
Jetzt würde ich versuchen, zuerst mal die Summanden, die durch den Binomischen Lehrsatz entstehen nach Gerade und ungerade sortieren
Dann nutze die Tatsache, dass
"Gerade"+"Gerade"="Gerade"
"Ungerade"+"Ungerade"="Gerade"
aber leider "Ungerade"+"Gerade"="Ungerade"
Also kannst du evtl jetzt etwas über die Gesamtsumme aussagen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Vielen Dank schonmal für die Antwort! Ich werde das auf jeden Fall mal auf diesem Wege ausprobieren.
Ich habe für n die Zahlen von 1-12 in die Formel eingesetzt und mit Hilfe des Binomischen Satzes die Summanden berechnet und diese dann unterteilt in Summanden ohne [mm] \wurzel{2} [/mm] und Summanden mit [mm] \wurzel{2} [/mm]. Dabei ist mir dann aufgefallen, dass die Summanden ohne [mm] \wurzel{2} [/mm] immer ungerade werden, die mit [mm] \wurzel{2} [/mm] immer abwechselnd ungerade und gerade.
Zudem gilt:
[mm] a_0+b_0*\wurzel{2} [/mm] für n,a,b=1
und [mm] (a_0+2b_0)+(a_0+b_0)*\wurzel{2} [/mm] für n=2
Jetzt muss ich an sich ja beweisen, dass der erste Summand immer gerade wird und der zweite abwechseln gerade und ungerade, wodurch ich dann eben
ungerade + gerade = ungerade
ungerade + ungerade = gerade
anwenden könnte. Allerdings habe ich momentan leider keine Ahnung, wie ich das machen könnte (vielleicht stehe ich auch einfach nur auf dem Schlauch). Ich vermute mal, dass es im Endeffekt evtl. über Induktion bewiesen werden müsste, bin mir da aber auch nicht so sicher.
Ach und außerdem stelle ich mir die Frage, ob man die Gauß-Klammer einfach "aufteilen" kann, wenn eine positive, ganze Zahl enthalten ist, d.h. ob gilt:
[mm] [1+1*\wurzel{2}]=[1]+[1*\wurzel{2}] [/mm]
wobei dann natürlich die erste Gauß-Klammer nach dem Gleichheitszeichen wegfallen kann.
Vielleicht weiß jemand von euch ja Rat und kann mir ein paar Tipps geben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Sa 02.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank schonmal für die Antwort! Ich werde das auf
> jeden Fall mal auf diesem Wege ausprobieren.
>
> Ich habe für n die Zahlen von 1-12 in die Formel
> eingesetzt und mit Hilfe des Binomischen Satzes die
> Summanden berechnet und diese dann unterteilt in Summanden
> ohne [mm]\wurzel{2}[/mm] und Summanden mit [mm]\wurzel{2} [/mm]. Dabei ist
> mir dann aufgefallen, dass die Summanden ohne [mm]\wurzel{2}[/mm]
> immer ungerade werden, die mit [mm]\wurzel{2}[/mm] immer abwechselnd
> ungerade und gerade.
> Zudem gilt:
> [mm]a_0+b_0*\wurzel{2}[/mm] für n,a,b=1
> und [mm](a_0+2b_0)+(a_0+b_0)*\wurzel{2}[/mm] für n=2
> Jetzt muss ich an sich ja beweisen, dass der erste Summand
> immer gerade wird und der zweite abwechseln gerade und
> ungerade, wodurch ich dann eben
> ungerade + gerade = ungerade
> ungerade + ungerade = gerade
> anwenden könnte. Allerdings habe ich momentan leider
> keine Ahnung, wie ich das machen könnte (vielleicht stehe
> ich auch einfach nur auf dem Schlauch). Ich vermute mal,
> dass es im Endeffekt evtl. über Induktion bewiesen werden
> müsste, bin mir da aber auch nicht so sicher.
Doch das geht ganz einfach. Angenommen, du hast [mm] $(1+\sqrt{2})^n [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n \sqrt{2}$, [/mm] dann ergibt sich sofort
[mm] $(1+\sqrt{2})^{n+1} = (1+\sqrt{2})^n * (1+\sqrt{2}) = (a_n+2b_n) + (a_n+b_n) \sqrt{2} [/mm],
also [mm] $a_{n+1}=a_n [/mm] +2 [mm] b_n$ [/mm] und [mm] $b_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n$. [/mm] Damit solltest du deine Vermutungen (alle [mm] $a_n$ [/mm] sind ungerade und die [mm] $b_n$ [/mm] abwechselnd gerade und ungerade) leicht beweisen können.
> Ach und außerdem stelle ich mir die Frage, ob man die
> Gauß-Klammer einfach "aufteilen" kann, wenn eine positive,
> ganze Zahl enthalten ist, d.h. ob gilt:
> [mm][1+1*\wurzel{2}]=[1]+[1*\wurzel{2}][/mm]
Auf jeden Fall. Wenn x eine ganze Zahl ist, so ist $[x+y] = x + [y]$. Das liegt einfach daran, dass die Gaußklammer gerade die Nachkommastellen abschneidet.
> wobei dann natürlich die erste Gauß-Klammer nach dem
> Gleichheitszeichen wegfallen kann.
Du meinst für die Überlegung, ob es gerade oder ungerade ist, nehme ich an? Wenn das x gerade ist, dann kannst du es für diese Überlegung weglassen. Wenn x ungerade ist, dann folgt aus $[y]$ ungerade, dass $[x+y]$ gerade ist und umgekehrt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Oh vielen Dank für die schnelle Antwort, das hat mir schonmal sehr geholfen!!
Dann werde ich mich nun erstmal wieder alleine damit auseinandersetzen 
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 03.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Ok das ist mir das soweit auch alles klar, allerdings stehe ich inzwischen vor dem nächsten Problem. Ich kann nun sagen, dass [mm] [a_n+b_n*\wurzel{2}]=a_n+[b_n*\wurzel{2}] [/mm] ist, da [mm] a_n [/mm] ja eine positive ganze Zahl ist.
Die [mm] b_i [/mm] sind immer abwechselnd ungerade und gerade.
Nun muss ich noch beweisen, dass [mm] [b_n*\wurzel{2}] [/mm] für die berechneten [mm] b_i [/mm] gerade wird, wenn [mm] b_n [/mm] gerade ist und umgekehrt (also ungerade wird, wenn [mm] b_n [/mm] ungerade ist).
Dies gilt aber eben nur für diejenigen [mm] b_i [/mm], welche vorher bereits berechnet wurden, d.h. ich kann es dementsprechend nicht allgemein für alle geraden bzw. ungeraden Zahlen beweisen.
Hat jemand von euch vielleicht eine Idee, wie man einen solchen Beweis führen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 So 03.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok das ist mir das soweit auch alles klar, allerdings stehe
> ich inzwischen vor dem nächsten Problem. Ich kann nun
> sagen, dass [mm][a_n+b_n*\wurzel{2}]=a_n+[b_n*\wurzel{2}][/mm] ist,
> da [mm]a_n[/mm] ja eine positive ganze Zahl ist.
> Die [mm]b_i[/mm] sind immer abwechselnd ungerade und gerade.
> Nun muss ich noch beweisen, dass [mm][b_n*\wurzel{2}][/mm] für die
> berechneten [mm]b_i[/mm] gerade wird, wenn [mm]b_n[/mm] gerade ist und
> umgekehrt (also ungerade wird, wenn [mm]b_n[/mm] ungerade ist).
> Dies gilt aber eben nur für diejenigen [mm]b_i [/mm], welche vorher
> bereits berechnet wurden, d.h. ich kann es dementsprechend
> nicht allgemein für alle geraden bzw. ungeraden Zahlen
> beweisen.
> Hat jemand von euch vielleicht eine Idee, wie man einen
> solchen Beweis führen könnte?
Nur eine Idee: es gilt doch
[mm] b_n*\wurzel{2} -1 < [b_n*\wurzel{2}] < b_n*\wurzel{2} [/mm]
Wenn du das quadrierst, steht da
[mm] 2b_n^2 +1 -2 b_n*\wurzel{2} < [b_n*\wurzel{2}]^2 < 2b_n^2 [/mm]
Da müsste sich doch was draus machen lassen!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 So 03.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Ah ja, auf die Idee bin ich noch gar nicht gekommen.... ich habe versucht das irgendwie mit dem Binomischen Satz und dem Pascalschen Dreieck in Verbindung zu bringen und bin bisher damit eher gescheitert.
Vielen Dank, dann versuche ich mich mal daran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Hallo!
Also die Idee konnte ich bisher noch nicht richtig einbauen, aber ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
Es gilt ja:
[mm] [a_n+b_n*\wurzel{2}]=a_n+[b_n*\wurzel{2}] [/mm]
Nachdem ich nun einige Werte eingesetzt und ausgerechnet habe, ergibt sich folgende Vermutung:
[mm] a_n=[b_n*\wurzel{2}] [/mm] wenn n ungerade ist (und somit, laut vorherigem Beweis auch [mm] b_n [/mm] ungerade)
und [mm] a_{n+1}=[b_{n+1}*\wurzel{2}]-1 [/mm] wenn n+1 gerade (und mm] [mm] b_{n+1} [/mm] [/mm] gerade)
Wenn es mir gelingt diese Vermutung zu beweisen, dann habe ich doch auch bewiesen, dass die Endergebnisse abwechselnd gerade und ungerade sind.... oder liege ich damit falsch?
Kann mir evtl. jemand sagen, ob das als Beweis reichen würde?
Viele Grüße
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Hallo nochmal,
ja, das würde als Beweis reichen, aber mir scheint die Ausgangsvoraussetzung nicht zu stimmen.
Sei [mm] (1+\wurzel{2})^n=a_n+b_n\wurzel{2}
[/mm]
Dann ist [mm] a_1=b_1=1 [/mm] und allgemein:
[mm] a_{k+1}=a_k+2b_k [/mm] und [mm] b_{k+1}=a_k+b_k
[/mm]
Es ist nun leicht zu zeigen, dass alle [mm] a_n [/mm] ungerade sind.
Damit genügt es zu zeigen, dass [mm] \lfloor \wurzel{2}b_n \rfloor [/mm] abwechselnd gerade und ungerade ist.
Es zeigt sich, dass [mm] \wurzel{2}b_n -\lfloor \wurzel{2}b_n \rfloor [/mm] alternierend an Null annähert, die eigentlich untersuchte Funktion aber tatsächlich abwechselnd gerade und ungerade Werte hervorbringt. Die mir hier im Büro zur Verfügung stehende Software ist allerdings schnell am Rand der Rechengenauigkeit angelangt (wie schon vorhin bemerkt).
Einen allgemeinen Beweis sehe ich aber immer noch nicht.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Hallo reverend,
erstmal vielen Dank für deine Antworten. Ich denke mal, dass ich in Bezug auf die Zahlbereiche nochmal mit meinem Dozenten sprechen werde.
Was genau meinst du mit der Ausgangsvoraussetzung, die nicht stimmt?
An sich besteht mein Problem eben auch darin, dass ich beweisen muss, dass [mm] [b_n*\wurzel{2}] [/mm] abwechselnd gerade und ungerade wird. Und die oben erwähnte Vermutung aufgestellt, allerdings weiß ich dabei auch noch nicht so genau, wie ich das beweisen soll, aber es ist momentan das einzige, was mir noch einfällt.
Falls sonst noch jemand Ideen oder Tipps hat, wäre ich wirklich dankbar.
Viele Grüße
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Hallo Mia,
vielleicht stimmt die zu zeigende Behauptung ja doch...
Gefühlsmäßig hätte ich das bezweifelt, aber eine etwas genauere Betrachtung der Folge [mm] b_n [/mm] spricht doch dafür, dass an der Sache etwas dran ist.
Ich hatte folgende Beziehung aufgestellt:
[mm] a_1=b_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+b_n,\ b_{n+1}=a_n+b_n
[/mm]
Nun lassen sich die beiden Folgen voneinander lösen, indem man sie rekursiv definiert:
[mm] a_1=1,\ a_2=3,\ a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n
[/mm]
[mm] b_1=1,\ b_2=2,\ b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n
[/mm]
Da uns ja nur [mm] b_n [/mm] interessiert, beschränke ich mich hier darauf, diese Folge zu untersuchen, obwohl eigentlich alles, was nun folgt, genauso für [mm] a_n [/mm] gilt.
Wir definieren uns eine Folge [mm] c_n=\bruch{b_{n+1}}{b_n}.
[/mm]
Aus der Definition von [mm] b_n [/mm] ist herzuleiten [mm] c_{n+2}=2+\bruch{1}{c_n}
[/mm]
Es zeigt sich damit, dass [mm] c_n [/mm] gegen [mm] (1+\wurzel{2}) [/mm] konvergiert.
Außerdem kann man zeigen, dass die Folge [mm] c'n=c_n-(1+\wurzel{2}) [/mm] alterniert.
Das reicht noch nicht ganz, um die ursprüngliche Behauptung zu beweisen, oder? Was würde also noch fehlen? Die obigen Schritte gebe ich einmal nur als Arbeitsergebnisse bekannt. Wenn diese Ergebnisse nützlich sind, können wir ja immer noch daran arbeiten.
Erst einmal aber brauchst Du einen Plan, was noch zu zeigen ist, um die Behauptung zu beweisen.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Vielen Dank, dass Du dich so mit meinen Fragen beschäftigst!
Ich werde heute und morgen mal meine Notizen und Ideen nochmal in Ruhe durchgehen und schauen, was ich damit noch so anfangen kann und versuchen Deine Ideen miteinzubeziehen und dann mal sehen, was ich noch beweisen und zeigen muss.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Di 05.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Hallo!
Hm also ich habe nun versucht daraus irgendwie zu schließen, dass [mm] [b_n*\wurzel{2}] [/mm] ungerade wird und [mm] [b_{n+1}*\wurzel{2}] [/mm] gerade wird (wenn man bei [mm] n=1 [/mm] beginnt), aber ich bekomme das nicht hin.
Ich habe zudem noch folgende Beobachtung versucht einzubeziehen, aber auch das klappt nicht...
[mm] a_n=[b_n*\wurzel{2}] [/mm] und
[mm] a_{n+1}=[b_{n+1}*\wurzel{2}]-1 [/mm]
(Die Beobachtung ist mir bei der Berechnung von Beispielen aufgefallen)
Vielleicht hat jemand von euch noch eine Idee?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 07.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
>
> Hm also ich habe nun versucht daraus irgendwie zu
> schließen, dass [mm][b_n*\wurzel{2}][/mm] ungerade wird und
> [mm][b_{n+1}*\wurzel{2}][/mm] gerade wird (wenn man bei [mm]n=1[/mm]
> beginnt), aber ich bekomme das nicht hin.
>
> Ich habe zudem noch folgende Beobachtung versucht
> einzubeziehen, aber auch das klappt nicht...
>
> [mm]a_n=[b_n*\wurzel{2}][/mm] und
> [mm]a_{n+1}=[b_{n+1}*\wurzel{2}]-1[/mm]
>
> (Die Beobachtung ist mir bei der Berechnung von Beispielen
> aufgefallen)
Besser (da es abwechselnd für gerade und ungerade n gilt:
[mm] a_{2n}=[b_{2n}n*\wurzel{2}][/mm] und
[mm]a_{2n+1}=[b_{2n+1}*\wurzel{2}]-1[/mm]
Wenn du diese Beobachtung beweisen kannst, bist du fertig; denn die [mm] $a_n$ [/mm] sind alle ungerade, daher müssen nach dieser Beobachtung die [mm] $[b_n*\wurzel{2}]$ [/mm] abwechselnd gerade und ungerade sein.
Viel mehr fällt mir dazu auch nicht ein, nur eine Überlegung: in Reverends rekursiver Darstellung der Folge [mm] $b_n$ [/mm] ist
[mm] b_{n+2} = 2b_{n+1} +b_n [/mm],
woraus unmittelbar
[mm] [b_{n+2}*\wurzel{2}] = [2b_{n+1}*\wurzel{2}+b_n*\wurzel{2}] [/mm]
folgt. Nun ist aber $[x]+[y] [mm] \le [/mm] [x+y] [mm] \le [/mm] [x]+[y] +1 $, wobei genau eines der beiden Gleichheitszeichen gilt:
[mm] [2b_{n+1}*\wurzel{2}] + [b_n*\wurzel{2}] \le [b_{n+2}*\wurzel{2}] \le [2b_{n+1}*\wurzel{2}] + [b_n*\wurzel{2}] +1 [/mm]
Das heisst, dass entweder
[mm] [2b_{n+1}*\wurzel{2}] = [b_{n+2}*\wurzel{2}] - [b_n*\wurzel{2}] [/mm]
oder aber
[mm] [2b_{n+1}*\wurzel{2}] +1 = [b_{n+2}*\wurzel{2}] - [b_n*\wurzel{2}] [/mm]
ist.
Zu zeigen ist nun, dass [mm] $[b_{n+2}*\wurzel{2}] [/mm] - [mm] [b_n*\wurzel{2}]$ [/mm] gerade ist.
Mit der gleichen Überlegung wie eben ist entweder
[mm] [2b_{n+1}*\wurzel{2}] = 2 [2b_{n+1}*\wurzel{2}] [/mm]
oder aber
[mm] [2b_{n+1}*\wurzel{2}] = 2 [2b_{n+1}*\wurzel{2}] +1 [/mm]
Zusammen gefasst musst [mm] $[2b_{n+1}*\wurzel{2}]\le [2b_{n+2}*\wurzel{2}]$ [/mm] einen der drei Werte
[mm] 2 [2b_{n+1}*\wurzel{2}] [/mm], [mm] 2 [2b_{n+1}*\wurzel{2}]+1 [/mm], [mm] 2 [2b_{n+1}*\wurzel{2}]+2 [/mm]
haben; davon ist nur der mittlere ungerade.
Es wäre also zu zeigen
[mm] [b_{n+2}*\wurzel{2}] - [b_n*\wurzel{2}] \not = 2 [2b_{n+1}*\wurzel{2}]+1 [/mm].
(Wenn du das mit deiner Beobachtung vergleichst, siehst du, dass die beiden Möglichkeiten gerade den anderen beiden möglichen Werten entsprechen.)
An dieser Stelle bin ich wieder steckengeblieben.
Vielleicht führt Reverends Idee mit der Folge [mm] $c_n$ [/mm] eher zum Erfolg.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Vielen Dank für deine Bemühungen!
Dann werde ich es mal mit beiden Ideen weiter versuchen! Vielleicht komme ich ja noch zu einer Lösung!
Danke!
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Hallo zusammen!
Bei der oben genannten Aufgabe ist für n kein bestimmter Zahlbereich definiert. Ich muss nun beweisen, dass nur noch ein Zahlbereich für diese Aufgabe in Frage kommt, d.h. ich muss die anderen Zahlbereiche ausschließen.
Die komplexen Zahlen fallen durch die Definition der Gauß-Klammer weg. Als nächstes wäre demnach der Zahlbereich der reellen Zahlen da.
Inzwischen habe ich bereits bewiesen, dass allgemein die negativen Zahlen nicht zur Lösung der Aufgabe beitragen und daher weggelassen werden können. Nun habe ich allerdings Schwierigkeiten damit die positiven rationalen und irrationalen Zahlen auszuschließen. Hat jemand von euch evtl. eine Idee, wie ich das machen könnte?
Ich habe schon versucht die rationalen Zahlen in die Bereiche 0<n<1 und n>1 einzuteilen, bin damit aber bisher auch noch zu keinem Ergebnis gekommen.
Über einen Tipp oder Ansatz würde ich mich wirklich freuen!
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Hallo Mia,
für n<0 ist f(n)=0, eine gerade Zahl.
Ich denke, Du wirst den Definitionsbereich nicht kleiner als [mm] \IR [/mm] setzen können.
Schau Dir mal diesen Plot an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das dürfte kaum zu zeigen sein. Natürlich kannst Du den Beginn jeder "Treppenstufe" genau ermitteln.
Ich denke trotzdem, dass der erste Teil dieses Diskussionsstrangs schon auf der richtigen Linie liegt und du tatsächlich nur [mm] n\in\IN [/mm] untersuchen sollst. Nur dann ist die Aufgabe interessant.
Hier der Anfang einer Excel-Berechnung; danach wird die Rechenungenauigkeit zu groß und auch die auf Teilbarkeit durch 2 zu untersuchende Zahl zu lang.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viel Erfolg!
lg
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Mo 04.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
An sich ist mir auch klar, dass ich nur die natürlichen Zahlen betrachten muss, jedoch sagte mein Dozent eben, dass ich die anderen Zahlbereiche durch Beweise ausschließen müsste, was mir bisher jedoch nicht gelungen ist. Aber dann wird es wohl vorerst ohne gehen müssen denn alleine mit den natürlichen Zahlen und dem Beweis meiner Vermutung habe ich noch so einige Probleme....
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Mo 04.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Mia,
schon klar.
Mit dem Plot wollte ich Dir nur vor Augen führen, dass die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist und sinnvolle Werte ergibt. Sie hat auch nur ganz wenige Unstetigkeiten, gerade mal abzählbar unendlich viele, was an der Definition der Gaußklammer liegt...
Wie man das aber für alle [mm] n\in\IN [/mm] beweisen soll, erschließt sich mir auch noch gar nicht. Schließlich ist [mm] \wurzel{2} [/mm] irrational und damit ziemlich unvorhersagbar - Du weißt, was ich meine. Natürlich kann man auch die [mm] 10^{30}-te [/mm] Stelle nach dem Komma exakt berechnen, aber für einen Beweis würde das dann ja doch niemand tun; der müsste anders laufen. Mal sehen, ob Rainers Idee klappt. Im Moment sehe ich da aber noch kein Licht.
Also viel Erfolg damit,
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:08 So 17.01.2010 | | Autor: | Mia09 |
Hallo!
Also ich habe die oben genannte Aufgabe versucht zu lösen und auch die bereits gegebenen Antworten mit einzubeziehen, aber ich schaffe es einfach nicht, diese Aufgabe vollständig zu lösen. Ich bin inzwischen schon vollkommen verzweifelt, weil es einfach nicht klappen will.
Nun überlege ich, ob es vielleicht noch andere Möglichkeiten oder Ansätze für eine Lösung dieser Aufgabe gibt. D.h. vielleicht ohne die binomische Formel.... und ich sehe das einfach nicht, weil ich mich schon zu sehr auf "meinen" Weg versteift habe.
Hat jemand von euch vielleicht eine Idee, wie man die Aufgabe sonst noch lösen könnte??? Ich würde mich über jede Anregung und jeden Tipp wirklich freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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